如何理解這個 16 世紀的方程？

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我一直沒怎麼看懂，能不能詳細解讀下，這個方程是怎麼建造的。

用一句話說，方程的左邊是正弦函數的45倍角公式。

下面揉碎了慢慢分解。

在高中的時候，大家都學過三角函數的倍角公式：

$sin 2alpha = 2 sinalpha cosalpha$ $cos 2alpha = cos^2 alpha - sin^2 alpha = 2cos^2 alpha - 1 = 1 - 2sin^2 alpha$

這些公式把 $2alpha$ 的三角函數表示成了 $alpha$ 的三角函數的多項式。

實際上， $3alpha$ 、 $4alpha$ 等更多倍角也都有類似的公式，只不過因為高中幾乎用不到，所以課本沒有講。

三倍角公式：

$sin 3alpha = -4 sin^3 alpha + 3 sin alpha$ $cos 3alpha = 4 cos^3 alpha - 3 cos alpha$

四倍角公式：

$sin 4alpha = 4 sin alpha cos alpha (1 - 2 sin^2 alpha)$ $cos 4alpha = 8 cos^4 alpha - 8 cos^2 alpha + 1$

五倍角公式：

$sin 5alpha = 16 sin^5 alpha -20 sin^3 alpha + 5 sin alpha$ $cos 5alpha = 16 cos^5 alpha - 20 cos^3 alpha + 5 cos alpha$

等等等等。

在這些倍角公式中， $cos nalpha$ 總可以寫成 $cos alpha$ 的 $n$ 次多項式。

這些多項式就是切比雪夫多項式，它們是一類特殊函數，會用在濾波器設計中。

$sin nalpha$ 在 $n$ 為偶數時不能寫成 $sin alpha$ 的多項式，公式中總會出現 $cos alpha$ 。

當 $n$ 為形如 $4k+1$ 的奇數時， $sin nalpha$ 的公式正是 $sin alpha$ 的 $n$ 次切比雪夫多項式；

當 $n$ 為形如 $4k+3$ 的奇數時， $sin nalpha$ 的公式是 $sin alpha$ 的 $n$ 次切比雪夫多項式再加一個負號。

那麼， $sin 45alpha$ 的公式，就是把 $sin alpha$ 代入45次切比雪夫多項式了。

45次切比雪夫多項式是這樣子的：

$17592186044416 , x^{45} \ -197912092999680 , x^{43} \ +1039038488248320 , x^{41} \ -3380998255411200 , x^{39} \ +7638169839206400 , x^{37} \ -12717552782278656 , x^{35} \ +16168683558666240 , x^{33} \ -16047114509352960 , x^{31} \ +12604574741299200 , x^{29} \ -7897310717542400 , x^{27} \ +3959937231224832 , x^{25} \ -1588210119475200 , x^{23} \ +507344899276800 , x^{21} \ -128055803904000 , x^{19} \ +25227583488000 , x^{17} \ -3812168171520 , x^{15} \ +431333683200 , x^{13} \ -35340364800 , x^{11} \ +1999712000 , x^{9} \ -72864000 , x^{7} \ +1530144 , x^{5} \ -15180 , x^{3} \ +45 , x$

確實，切比雪夫多項式隨著次數的增長，係數是會爆炸的。

但也並不是完全沒有規律： $n$ 次切比雪夫多項式的最高次項係數，等於 $2^{n-1}$ 。

如果把「二倍正弦」（ $2sinalpha$ ）定義成一個新的三角函數，那麼就可以把 $2sin 45alpha$ 用 $x = 2sinalpha$ 的多項式表示出來，此時最高次項係數就是1了。

這個多項式是：

$x^{45} \ -45 , x^{43} \ +945 , x^{41} \ -12300 , x^{39} \ +111150 , x^{37} \ -740259 , x^{35} \ +3764565 , x^{33} \ -14945040 , x^{31} \ +46955700 , x^{29} \ -117679100 , x^{27} \ +236030652 , x^{25} \ -378658800 , x^{23} \ +483841800 , x^{21} \ -488494125 , x^{19} \ +384942375 , x^{17} \ -232676280 , x^{15} \ +105306075 , x^{13} \ -34512075 , x^{11} \ +7811375 , x^{9} \ -1138500 , x^{7} \ +95634 , x^{5} \ -3795 , x^{3} \ +45 , x$

這個多項式的係數就小多了，而且能看出一些規律，比如 $n$ 次項的係數為1， $n-2$ 次項的係數為 $-n$ ， $n-4$ 次項的係數為 $frac{n(n-3)}{2}$ ，1次項的係數為 $n$ 。

現在再回去看題目中的方程，左邊是不是就是這個多項式？

所以，出題人其實就是拿了一個（變形後的）45次切比雪夫多項式，讓一般人感到不明覺厲，但韋達見得多了，早就看穿了一切。

《從一次方程到伽羅瓦理論》？