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向量場的冪 (exp) 怎樣計算？

12-30

我看到一本書里說：考慮向量場 $mathbf{V} = frac{partial}{partial x} equiv partial_x$ ，它生成的流： $e^{t mathbf{V}} x = e^{t partial x} x = x + t$
另一個向量場 $mathbf{V} = x partial_x$ 則 $e^{t x partial_x} x = e^t x$
這兩處計算看不懂，有沒有人能解釋一下？

謝邀。首先有這麼一回事，每個光滑向量場都能生成一個（局部）流。

這件事你可以理解成常微分方程解的存在唯一性定理。

具體來說，一個流是一族用實參數t標記的光滑同胚

$g^t : M o M quad t in mathbb R$

並且滿足

$g^t cdot g^s = g^{t+s} quad g^0 = Id$

這裡Id指的是恆等映射。看起來有群的樣子，實際上一個流就是一個左 $mathbb R$ -作用。

如同字面意思，你可以想像一個點被這個流「搬著跑」的感覺。

每個流都對應於一個向量場。考慮一個點 $x in M$ ，這個流的作用得到一條曲線

$sigma_x(t) = g^t(x)$

那麼考慮向量場 $v(x)=sigma_x$ ，即上面那條曲線取在x處的切向量放在x處，然後每個點都這樣取，即得到了一個向量場。這個向量場大概是光滑的。

反過來，如果有一個光滑向量場，那麼有個定理說你可以得到一個流。

事實上有可能不是流，只是局部流，意思是說

$g^t : M o M$ 但t不一定對所有實數都有定義。。對於每個點x，g^t可能只對一個包含0的小區間中那些t有定義。試著回憶常微分方程解的存在性，它並沒有說解是大範圍存在的，也是說的局部存在。

舉個例子，就用 $dfrac {partial }{partial x}$ 來說，如果你把原點給挖掉，那就只能是一個局部流了。

回到原題，那個exp就是說的向量場生成的流。看一下你的兩個例子，大概可以理解了。

至於說計算，這個計算就等價於解常微分方程吧。

我看你的標籤裡面有李代數，李代數到李群的exp也可以類似的想。

謝邀。兩位答主說得很清楚了，就是解一個常微分方程。至於為什麼用exp記號？因為向量場全體構成一個（無窮維）李代數，對應的李群是自微分同胚群。這個exp就是相應的李代數到李群的指數映射。所以也可以用冪級數展開來展開exp。

不知道題主有沒有注意到，向量場被寫成一個微分算符 $V=frac{partial}{partial x}$ ，而微分算符的冪定義是清楚的，是它的power series。在R^n中形象的例子：這個power series 作用在一個函數上，效果是把這個函數給平移了，也就是所謂的「流」。

一階微分算符是向量場的定義，最根本的一個。注意到這個定義之後，看其他幾位的回答就可以了。

所有的exp函數都應該視為泰勒展開形式，其參數可以是數，也可以是運算元。所以， $e^{tpartial_x}$ 也就好理解了。

$e^{tpartial_x}=1+tpartial_x+frac12(t^2partial_x^2)+cdots$

類似地

$e^{txpartial_x}=1+txpartial_x+frac12t^2(xpartial_x)^2+cdots$

注意 $partial_x,tpartial_x,xpartial_x,e^{tpartial_x},e^{txpartial_x}$ 都應該視為運算元，只不過 $t$ 作為常數可以提前，而且有

$(xpartial_x)^kx=(xpartial_x)cdots(xpartial_x)x=x$

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