lqr控制的權重函數要如何定量選取？

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各位大神大家好，請問lqr中的權重函數Q,R是否可以定量的選取，當我的控制輸入有最大值限制的時候，能否實時選取Q,R使得lqr的計算結果嚴格控制在最大限制以下？Q,R能否通過解析法或者數值法在線求出來？
還有就是面對控制輸入的最大值限制，現代控制理論一般都是如何處理的？小弟我學過經典控制理論，線性控制理論，但是對於非線性和時變控制還是知之甚少，希望各位大神可以指點一二。感激不盡！
我現在在做一個ESP車身穩定控制，所需轉矩通過實時lqr控制器算出。直接把轉矩施加到車身上的控制效果特別好，證明這個實時lqr給出的結果是可行的。但是現在要把轉矩通過車輪制動力實現，這時候問題就來了，車輪制動力是有最大值限制的，很多時候所需轉矩無法滿足，飽和在了最大可達轉矩，也就無法體現lqr的優越性，因為在飽和線以上的所需轉矩的變化都被忽略了，請問這種情況應該怎麼辦？

我目前的想法是通過實時調節Q,R權重矩陣，把lqr的計算結果控制在最大可達轉矩以下，但是不知道是否可行。

請參考

丁海濤, 郭孔輝, 陳虹，汽車穩定性控制中橫擺力矩決策的 LQR 方法[J]. 吉林大學學報: 工學版, 2010(3): 597–601.

介紹了Q R的選取。

但是這種方式不能保證一定滿足約束，而且有些工況就是實現不了（比如路面摩擦係數非常小）。

MPC可以用，但是計算比較複雜，實時可能有問題

我現在是分兩步，第一步計算橫擺力矩，第二步控制分配；但是在計算橫擺力矩的時候已經考慮橫擺力矩的可達域，若超出可達域，那就只能降低性能了

你這個怎麼說呢。。強答一下吧，說的不一定對。

不論什麼執行器都是會飽和的。控制器的輸出值不僅取決於控制器的設計，還取決於當前的誤差呀。你如果誤差太大，不論怎麼樣設計LQR都是會可能飽和的。當然了在有些設計下控制器的輸出會小一些，這樣可能會減少飽和帶來的震蕩超調之類的問題（也不很確定是否一定會帶來這樣的影響，理論上這個的影響怎麼樣我不知道），代價就是響應速度會變慢。

執行器飽和這個東西在理論上是不好討論。LQR怎麼個減小飽和的影響我還真不知道，不過調節cost function使其增益變小應該是可以的，可以試試。另外給點別的可能的建議：MPC是會討論系統的約束的；數字控制裡面的D-step通過配權重也可以一定程度上避免飽和。

最後好奇一下，汽車這個動態特性非線性應該挺強的呀，是怎麼上的LQR？近似為線性模型的？

也來強答。

執行器飽和這種問題吧，想不影響動態性能挺難的，就像 @李崇說的，調節Q、R降低增益，誤差大了照樣飽和。如果只是初始誤差較大的話，我曾經通過安排系統過渡過程的方式減小過初始輸出，但同樣也會影響收斂速度。MPC不了解就不說了。

面對控制輸入的最大值限制的研究是一個大方向，前段時間正好看了一些相關的資料，裡面提到目前最常用的辦法還是加補償器，具體演算法我還沒開始研究，把之前下載的相關博士論文分享過來吧。

鏈接：http://pan.baidu.com/s/1o7u9JuE 密碼：wrby

謝邀。

在工程實際中沒有理想的執行器，不存在一個我們需要多大扭矩就能產生多大扭矩的機器。假設我們執行機構能提供的最大扭矩範圍是 $[-a,a]$ 。

考慮LQR控制問題，控制量（扭矩） $u=Kx$ ，這裡 $K$ 是增益， $x$ 是狀態，也可以看成跟蹤控制問題的誤差（具體是狀態還是誤差不重要）。當控制問題出現執行機構總是輸出最大時，通常有兩種情況：

1、控制增益 $K$ 過大：導致誤差在正常變化時過大，總是大於 $a$ ，或小於 $-a$ 。這時執行機構在正負的極值間振蕩，這種情況屬於控制律設計不當，需要減小控制增益，放在LQR裡面增大 $R$ 就可以實現；

2、誤差 $x$ 過大。但是實際系統總是有界的系統，也就是說誤差 $x$ 是有界的，這時完全可以調整 $R$ 使得 $left| Kx ight|leq a$ ，也就使執行機構不飽和。

所以如果是工程中我不覺得實時調整 $Q,R$ 是個好主意。只要恰當選擇 $R$ 使得 $left| Kx ight|leq a$ 就行了。

如果是做理論研究，這個解決輸入飽和問題的思路有點繞。

如果每個時間點都重設 $Q,R$ 然後解黎卡地方程的話，計算量會大的驚人。

如果採用MPC的思路，把每個時刻的狀態當作初始狀態，然後求解有限時域的開環最優控制問題。又要考慮一系列終端約束問題，使這一系列開環最優解和（真正）初始條件下無窮時域最優控制問題的解等價，又牽扯到了大量的證明。

建議到WOS上搜input saturation，有很多方法可以參考。

也來強答。

我的想法與其他答案不同。第一反應是這篇論文——

Kalman R E. When is a linear control system optimal ?[J]. Journal of Basic Engineering, 1963, 86(86).

這篇文章是Kalman 1963年對最優控制逆問題的研究，即給定控制率u，找出所有使得控制率達到最優的性能指標J。換句話說，給出了使能使控制律達到最優的Q和R需要滿足的條件。

你現在的問題是：u是有界的，固定Q和R算出來的u可能超過上確界，你想考慮在這種情況下怎麼改變Q和R。而文中的定理5正給出了一個頻域的條件——其回差矩陣對於所有的 $omega$ 至少應大於等於1。

所以，你對系統的回差矩陣做出的某種約束，即可作為Q和R選取的可行域。另一方面，可以在此約束基礎上額外的選取另一性能指標，以確定QR的具體值。

奇怪的是，針對有界的控制量u，同樣是做最優控制，為什麼不用極小值原理解HJB方程呢？

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附：The abstract of When is a linear control system optimal?

The purpose of this paper is to formulate, study, and (in certain cases) resolve the Inverse Problem of Optimal Control Theory, which is the following: Given a control law, find all performance indices for which this control law is optimal. Under the assumptions of (a) linear constant plant, (b) linear constant control law, (c) measurable state variables, (d) quadratic loss functions with constant coefficients, (e) single control variable, we give a complete analysis of this problem and obtain various explicit conditions for the optimality of a given control law. An interesting feature of the analysis is the central role of frequency-domain concepts, which have been ignored in optimal control theory until very recently. The discussion is presented in rigorous mathematical form. The central conclusion is the following (Theorem 6): A stable control law is optimal if and only if the absolute value of the corresponding return difference is at least equal to one at all frequencies. This provides a beautifully simple connecting link between modern control theory and the classical point of view which regards feedback as a means of reducing component variations.

佔個坑，下周開完會，接著答。我們系裡，prof. Erlich研發的 mvmo, mean variance mapping optimization, university duisburg-essen, 演算法，已被系裡面大師兄應用到包括風機的電網低壓穿越控制中，優化演算法使用lqr控制，權重矩陣Q, R使用mvmo優化確定，從而確保定子電壓大於最低閥值，電機側端電壓小於某一確定值，從而避免過調製。使用經過mvmo優化確定的Q, R權重矩陣，上述兩約束可以在lqr優化結果里得到滿足,但是，面對的問題是，這兩個優化矩陣是保守的，優化的控制結果也是保守的，不能充分調用控制能量(在不敏感時段，仍然飽受).因此,我對引入mpc, 或者， constrained lqr，代替上述調節權重矩陣Q, R,的lqr控制器的控制方案比較感興趣。等想法成型了，到時候再補充答案。

mpc即可解決約束問題。對於上面回答提到的實時性問題，可以通過explicit mpc，fast mpc解決。mpc的問題在於規劃求解有些封閉，對於我們這種非雙控的學生來說還是有些難度的

https://www.researchgate.net/post/how_to_determine_the_values_of_the_control_matrices_Q_and_R_for_the_LQR_strategy_when_numerically_simulating_the_semi-active_TLCD

http://www.cds.caltech.edu/~murray/courses/cds110/wi06/lqr.pdf

強答

QR矩陣想要在線調整同時計算dlqr，計算量並不大，至少比MPC少多了。要注意每個採樣時間使他計算一次，否則會有很多毫無意義的運算。

如果真的用MPC去做，效果應該會好很多，因為它考慮了控制量增量的約束。

constrainted optimal control --- Model Predictive Control.

雙控的來強答一下。最實際的入門方式其實是是用MPT3 toolbox來玩一圈。比看論文輕鬆很多。