為什麼First fundamental form被認為是intrinsic的？

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我手頭的講義上說，假如曲面的某些東西可以完全由first fundamental form決定，那麼這個東西應該被認為是intrinsic的，比如Gauss curvature. 我不理解的是為什麼first fundamental form決定的東西被認為是intrinsic的？我講義上對first fundamental form的定義是從一個由U到$R^3$的parametrization開始的。這一步不是已經考慮了surface周圍的空間了嗎？

第一基本形式可以告訴我們如何測量曲線的長度（然後就有了角度，面積等量）。這可以認為是內在的東西。比如人們還沒有意識到地球是球面的時候也可以測量長度（例如用走多少步來測量）；這件事在某種意義下是不需要飛到曲面外面去做的。曲面上的度量（第一基本形式）決定了曲面的很多關鍵的幾何性質；說這些性質是intrinsic的，那麼就相當於說它只依賴於如何測量長度。

因為它是等距變換下的不變數，也就是說雖然形式上它和外部空間有關，但是實際上它在外部空間不同時是保持不變的，是良定的。

直覺告訴我們等距變換是一個很重要概念，比如一個不可拉伸材料做成的曲面，它的形變就是等距變化。

所以當這種材料的曲面變形狀時，第一基本型是不會變的，但是第二基本型就變化了。也就是說不管它在空間中如何扭曲，你計算出的第一基本型（看做雙線性函數）都是一樣的。但是第二基本型就是反應它如何在空間中扭曲的，所以你的第二基本型不能保持不變。

第一基本型決定了曲面本身是如何彎曲的，第二基本型決定了曲面在一個空間中如何彎曲的，所以說第一基本型是內蘊的。

first fundamental form 你可以看作曲面上度量，書中的參數化是曲面等距放進R3中【平面和柱面的局部是同一個曲面，因為他們局部是微分同胚的，並且對應點之間的距離相同（有這樣的映射）】曲面上的距離是內蘊的，作為柱面還是平面放進歐氏空間是外在的，但我們要計算的話要應用歐氏空間這個外圍空間，所以會出現參數化.你把曲面放進其他空間裡面【保持和平面一點附近局部微分同胚，對應點距離相同】Gauss curvature 還是0. 具體學明白還是要學黎曼幾何.

所謂一個量是intrinsic的是指，在參數化改變，但first fundamental form不變的情況下，這個量仍不變。例如，Gauss絕妙定理說的就是，在參數化改變的情況下，Gauss曲率只依賴於所謂第一基本形式，所以Gauss曲率是內蘊量。

你可以用標準球面的兩個不同參數化試著計算一下。

You are talking about the pull back metric on a surface.

When you compute it, you push tangent vector ON the surface forward to Euclidean space then use the canonical metric compute their inner product.

However you cannot pull your NORMAL vector back to the tangent space. Therefore II is not intrinsic.

I can"t type Chinese right now. Sorry for my sloppy English.