關於大學至博士期間的數學學習你有什麼學習的經驗？

12-30

謝邀。

我們這些學純數的人，學數學的動機可能就已經和應用學科的不太相同。我學數學並不一定為了解決什麼問題，也並不怎麼考慮它有什麼「現實應用」，而只是單純地想搞懂，這本書／這篇論文到底在說什麼。我知道別的專業的人學數學會帶有一定的功利心，比如我TA線代的時候，有學生問我「線代學了有什麼用」，我也不好說具體有什麼用，只好告訴他，線代是一門非常基礎的課程，在工程、金融等很多領域都很重要，他聽了以後不太滿意地走了。。我知道線代在工科、在很多應用型領域都有重要用處，可是我真的不關心他有哪些具體用處啊。。我只知道它是研究線性空間、線性映射的學科不就行了，為什麼要去關心具體的現實模型。。順便說一下，如果有知乎er以後也要TA的話，確實可以了解下你TA的這門課到底有哪些現實應用，因為學生真會問的。。

所以我學數學的動機，僅僅是 I want to know more about math，最主要的是好奇心、求知慾。這跟應用型學科的人學數學的動機是截然不同的，他們會根據自己的目的而有選擇性、針對性地學習會用到的數學知識。而像我們這樣，花大量的時間、精力，去系統性地學習一門數學學科，對於他們而言也許是挺「浪費時間」的行為。所以不同的動機會導致不同的學習方式，不同的學習方式可借鑒的學習經驗其實很少的。如果你要問我如何學習泛函分析，我會告訴你，拿一本泛函書，從頭看到尾，花一兩個月時間把這本書講了什麼給搞懂；而你希望聽到的答案可能是泛函裡面哪些內容對於你所從事的行業有用，以非數學專業的知識基礎應該如何去學習、速成，然而很抱歉，我也不知道哪些內容對你更有針對性，我只知道泛函分析整門學科就是一個完整的體系。

順便想向知乎er們了解一下黎曼幾何有哪些實際應用。我只知道顧險峰老師的那些應用工作，機器學習裡面也有流形學習，力學考慮configuration space也有可能是一個流形，不過具體哪些地方會用到微分幾何的哪些想法我也不太清楚。

題主讓我想起了那名因沒有「數學氣質」被我發好人卡的CS同學。。。

他被我發卡以後都幹了啥？買了幾本程序員的數學並聲稱要好好學數學，我很醉。。。

【當然，我發卡的原因遠不止這條，我只是選了一條比較委婉的，然並卵】

講真，你的想法和他沒什麼本質區別。你說的靈感其實就是我說的「數學氣質」，這種東西很私人化的，根本就不是一蹴而就的，更不是聽取長者人生經驗就能獲取的，甚至全世界的文字都太單薄，承載不住的，輸出的時候就已經所剩無幾了，再去由另一個人獲取，又能吸收幾何？

還不如看看擺在自己面前的問題需要什麼數學，直接去學就是了。靈感也好，氣質也罷，是靠自己躬身學來的，不是聽來的。

順便，純數、應數的學法和非數學要學數學的學法壓根不是一個套路……打個比方，純數是手持一堆不知道通向哪裡的船票，遊山玩水；應數是手持一堆知道目的地的船票，選一個最優方案到自己要去的地方；其他是知道目的地找船票。

找一堆學數學的問，效率很低的。

居然刪除題目描述了，留此存照吧，

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題主說對數學特別感興趣，直白點說吧，這就是借口，言不由心。帶有這麼多目的的學數學，都是為稻糧謀。

真正喜歡學數學的就是純粹喜歡。數學就像音樂，文學小說，繪畫一樣，是人類智慧的藝術品。喜歡學數學就是無聊的時候，去欣賞一下藝術。人和人之間總有一些喜好的差別，有些人喜歡運動，打籃球，跑步健身，有些妹紙是吃貨驢友，滿世界浪，吃新鮮的味道。有些好靜的人就喜歡安安靜靜地坐下來看看數學書，跟小孩子看漫畫，愛因斯坦拉小提琴，薛定諤喜歡把妹沒啥區別，玩耍消遣而已。就好像我這兩天回答了好幾個問題一樣，無聊了，閑的，答一答題好玩。

所有非得為了啥事情才學數學的，都是功利主義。回到數學最古老的傳統吧，歐幾里得的故事。斯托貝烏斯記述了一則故事,一位學生曾這樣問歐幾里得：「老師，學習幾何會使我得到什麼好處？」歐幾里得思索了一下，請僕人拿點錢給這位學生。歐幾里得說：給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利。

再講個大學隨處可見的故事，很多大學裡都可以見到一些年過退休之齡的老教授依然在學校里出沒，開心地上班。為什麼呢？我跟同學討論過這個問題，結論是生活太無聊啊，上班才能打發時間，才有趣啊。七八十歲的老頭，如果不去學校里上班，有什麼事情可做啊？天天鬥地主，打太極，看電視，帶娃？這都沒有去做點學術這種有智力挑戰的事情有趣啊。

我本科學的是數學專業，碩士做運籌學與控制論，博士做數理經濟學。

回顧本科層面的數學，熟練地掌握微積分與線性代數的運算是一切的基礎。與許多人想法不同，我對數學的態度一直是以應用為導向的。我個人認為，一門絲毫不考慮應用的學科是沒有意義的。在真正接觸嚴格的高等微積分之前，我個人首先把微積分和向量分析在其他學科，如力學、系統工程學、經濟學中的應用了解了個遍，這樣再回過頭來鑽研更為嚴密的高等微積分，會有一種醍醐灌頂的感覺。紮實掌握高等微積分，是通向泛函分析的必經之路。

本科數學中，我最感興趣的應該就是微分幾何，包括曲線論與曲面論，一般拓撲的初步知識以及流形上的微積分。這塊內容，為學習研究生階段的非線性動力學、非線性系統控制的幾何理論打下了堅實的基礎。我覺得，局部歐式化的方法-微分同胚，是近現代數學最瑰麗的思想之一。也因此，我們常說反函數定理是現代分析、微分拓撲的基石，一點也不為過。

工程數學和經濟數學，包括複變函數、運籌學、數學物理方程、應用隨機過程、矩陣分析、數值分析、數理統計學、最優控制等等都是可以通過大量習題與演算就可以學好的。但是類似於拓撲學這樣的基礎數學，個人感覺做大量習題是無用的（免疫物理攻擊），個人經驗是多找幾本經典的教科書、多讀幾遍。真的是"讀書百遍，其義自見"，這類科目靠的是"悟"。

最後學習的一門數學專業課是"非線性泛函分析"。這門課逼格很高。但是由於我在學習這門課之前，已經在工程、經濟類學科的研究中經歷過了許多的、具體的常微分方程問題、偏微分方程問題、變分學問題、不動點問題，已經有了比較全面的直觀背景，這樣"帶著一堆問題"，去求教"非線性泛函分析"，因此學得就比較快。最後，針對非線性泛函分析幾個重要的議題，正如我在非線性科學中現代數學的力量——一個綜述這篇文章中一樣，也會找時間給予一個總結。初步設計以下幾塊內容：

1.變分學、泛函的臨界點與Sobolev空間的Euler-Lagrange方程、Nehari流形（泛函的纖維化方法）及其在偏微分方程中的應用

2.Banach空間的隱函數定理、局部微分同胚（反函數定理）、無窮維流形導引-Hilbert Manifold

3.Brouwer拓撲度、指數定理及其無限維空間的推廣：Leray-Schaulder度及其指數定理、山路引理、流形的環繞（linking theorem）與泛函的臨界點。以上內容在非線性偏微分方程（組）中的應用

以上這些內容應該已經涵蓋了非線性泛函分析的主幹內容。

我的專業一級學科是機械工程。博士期間，課堂上的數學課，我們開設了《偏微分方程數值》、《科學計算方法》、《近代數學物理方法》。此外，還有一些專業課程，比如《多剛體動力學》、《多智能體控制》等等，對數學的要求也比較高。這些課程都是偏應用的數學。

說實話，這些課挺難學的，也是掛科最多的課程。

我在學習中總結了一些學習方法，先分享出來。

第一，找一些數學史的書看看，搞明白這個數學方法是怎麼產生的，產生的應用背景是什麼。這可以提起你學習的興趣。另外，還可以加深理解。

第二，中間不要缺課。數學的邏輯性很強，缺課很難補。

第三，勤問，多討論，多做練習題。做幾道題，理解會深入很多。

第四，試著把學到的數學方法應用到自己的專業中。

不邀自來

我算是很理解題主的感受，因為我本科的時候，身為修水管（給排水）專業的，平時並不需要學太多的數學知識，高數勉強拿了個良，線代和概率論都是中。至於建模？編程？不存在的……

到了讀博之後突然選了個對數學要求蠻高的方向……專業上涉及到很多數值計算、信號處理等等方面的知識，不得已只能硬著頭皮學。直博第二年開始的時候，在沒有準備的情況下參加了全國研究生數學建模競賽，拿了二等獎，算是還不錯的學習效果了（這個成績其實說不上特別好，但是本身是為了解決科研上的問題去學習的數學以及建模，並未特別針對競賽做什麼準備。）

至於學習經驗，我認為最重要的兩點：1、提起興趣 2、以解決問題為導向。

1、興趣

我個人認為「興趣」兩個字的意義絕對比大多數人想像的要重要。學一個沒有興趣的科目的時候你是在被動的接受知識，看書的時候會覺得「瑪德這個怎麼這麼多公式，好煩，勞資不想學，勞資要去浪！」這樣學起來效率不會高，並且被動接受知識的時候你對它的了解並不深刻。答主在意識到自己要學一大堆以前沒接觸過的數學知識的時候，第一件事兒是強行提起自己對數學的興趣。（既然已經知道要被QJ了，那為何不調整一下姿勢感受快感呢……）。更何況其實數學知識確實蠻好玩的。以答主自己為例子，感受到了數值計算裡面的離散的思維、傅里葉分析的時頻轉換等等，就覺得學這些知識，讓自己認識世界的時候有了不一樣的視角。同時，學到一些別人不懂而自己懂的知識，自己確實就……感覺很爽啊哈哈哈哈哈

有興趣之後，你才會開始主動的吸收學到的知識。對所謂知識的「本質」接觸、吸收的更快，也不會那麼累。

2、以解決問題為導向

很多以前沒接觸過數學，然後突然接觸數學的人會陷入兩種極端：要麼不知道從哪兒開始學，索性就自暴自棄；要麼學著學著就學的太深入了，以至於忘記了自己學習這個知識的初衷。對於非數學系的人而言。大多時候，數學只是我們解決問題的工具。因此，你只要知道它是用來幹啥的，怎麼用，有什麼性質，這就足夠了。至於工具是怎麼造出來的？怎麼造出更牛逼的工具？那是數學系的人去研究的。舉個例子，答主有段時間看論文看到關於馬爾科夫鏈的一些知識，想去了解一下。去圖書館發現有兩種書，一種是很厚的，一般起名為《馬爾科夫過程》、《馬爾科夫過程原理》甚至《馬爾科夫過程研究進展》等等，而另一種是《馬爾科夫過程及其應用》。這種時候當然要選擇名字帶上「工程」、「應用」這些字眼的書來看。我也曾經挑戰過書名裡帶著「原理」的，後來，覺得自己的智商受到了侮辱之後就果斷放棄了。攤手~

「以解決問題為導向」的另外的含義是你要多動手去做。最好是，你的目標是解決什麼問題，你學習了你需要用到的知識之後，馬上就把它運用到你的程序裡面。書籍上告訴你的知識是偏向於原理的，這些和解決問題的思維是不一樣的。另一方面，只有你真的動手去做的時候，你才會發現很多看書的時候沒有發現的問題，才可以進一步的去想該看什麼書、該解決哪些BUG。所以我的推薦是一邊看書一邊把程序、模型就建立起來，這是一個螺旋上升的過程。不看書你不知道怎麼建模，但同時不動手建立模型的話你也不知道你看書的時候有啥問題。不要像高中、本科的時候學習一樣，書都看完了然後才去做題。博士生階段或者各種建模競賽的時候，用到的知識，或者要解決的問題，是沒有一個統一的模板的，你永遠不知道你會遇到什麼BUG或者要接觸到什麼演算法。更重要的是養成一種，快速發現問題，快速找到數學工具，快速掌握數學工具，快速解決問題的能力。

分享一些答主學習數學過程中的收穫：

周嘯：如何通俗並儘可能詳細解釋卡爾曼濾波？

周嘯：傅里葉變換有哪些具體的應用？

https://www.zhihu.com/question/53174071/answer/133847819

數學很難有經驗一說，比如我一眼能看出解題方法的題目有人要思考半天；我們專業牛人一眼能看出結論反思推論過程的我就看不出結論。這玩意看天賦

樓上學純數學的理由我可以一摸一樣搬過去玩網遊【x

來這種正經討論ml需要什麼數學的問題強答有意思嗎？

言歸正傳

ml用到數學不多基礎概率，隨機過程，基礎統計就夠了

別的數學用到就學唄……特意去學沒必要吧

流形學慣用了很多數學么？？？如果不做理論誰看啊……不如直接去算割圖呢【雖然最近也有割圖和laplace蒜子關係

嘛

反正基礎數學靠著之前歷史影響還活著

按現在部分人態度

遲早要玩

說不定過幾年知乎就要勸退數學了

在美國

applied and computational math下有很多厲害的老師都在做ml相關工作

可以關注下

看到有意思的工作再去學數學好了

雜誌的話可能最相關的是

acha：應用與計算調和分析

工科的娃，一定要學好概率論和矩陣論

我來說說自己的看法吧。

首先，我覺得如果目標是更好的解決當下現實中的問題。那麼帶有目的性和功利性地學習其實是挺好的。因為數學在機器學習或者演算法競賽中充當了一種工具的角色。雖然說數學知識越深入，越有可能變成威力強大的武器。但我們顯然到不了這樣的境界。

另一方面，不抱功利性的收益也大都是，讓人在挫折的時候能夠繼續下去或者因為心無旁騖所以我研究的更深入透徹。

那麼，既然你的目標是理解某些數學公式的推導，完全可以用到什麼數學知識了，就把相應部分的內容看一遍，如果仍然不能理解，那就適當擴大範圍，再看一遍。在這個期間可以想一想，我看到的這部分數學知識在演算法的構造中的起到了什麼作用。

我目前的感覺是，做應用比賽，理解它這個理論怎麼跟現實事物的數據結合起來的更重要。當你要發展這個機器學習模型的時候，才需要有體系地學習數學是怎樣構建這個模型的。

題主如果時間比較充分的話，可以追求這樣的一個折中：當給出一個機器學習的模型時候，你能寫出它的數學推導過程，並且從這個推導過程，你能總結出來這個模型的一些先決條件，從而知道它適合用在哪些問題上。

當然我的學習經歷還很淺薄，所以說的可能不是那麼正確。

可以先嘗試把數學分析自學完再看看自己還有沒有興趣。

占坑，快轉博了，方向可能是高分子聚合物薄膜電池，一邊膜拜大神，一邊總結經驗，希望能多學點數學技能，早點發夠文章畢業。以後來答

我個人感覺就是工科類的就是經世濟用就行了。看論文遇到什麼學什麼。想系統學習一下數學，估計對工科博士比較難。

越早越好

要說是唯一的經驗心得，就是「拳不離手、曲不離口」，會看懂公式和會推導公式完全是兩個概念，自己得多練，最好還得在計算機上自己編代碼進行計算。

學歷沒那麼高，不好意思。

不客氣的說，題主這個問題有民科傾向。

工程數學遇到原理性困惑如果沒有足夠的數學功底要麼放棄，要麼走歪路到死胡同。

而且問題又雜揉了

你的問題不是困惑於非理工類學習數學這種長期數學學習

而是為了kaggle，需要哪些數學基礎和計算機科學基礎的學習

不好意思，大一大二如果演算法卡到數學問題，多數都是數學功底差的問題；

如果是少年翹楚ACM大神，那題主的問題起碼高一就應該碰到了。

奉勸你老老實實補習高數，現代，概率論，數理方法，離散數學，圖論；

然後再系統的學習代碼。

現在題主就是白要一套學習經驗，以為數學問題碰到以後現學現賣就可以了，不好意思，沒這好事，歷來的CS大神們都是經過了刻苦嚴格的數學學習的，題主有什麼資格認為自己能逃過這一步？

更糟糕的是，把對比賽的數學學習和對攀本碩博的數學學習放到一個問題上，看來題主根本對應用科學的完全沒經驗，完全沒有注意你的當前需求是比賽，卻把注意力放在漫無目的的長期數學培養上，一點不實際，抓不住主要問題，不會解決實際問題，思路不正確，方法不正確，說你啥好~

你還是匿了吧，我都替你丟人~