如何證明「光線在任意閉合圖形內經過若干次反射後都能回到起點」？

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額，幾何題……

嚴格來說是不對的，比如單位正方形裡面斜率為無理數的光線反射就不一定回起點。但平面光滑簡單閉曲線圍成的撞球桌面上，母球從一般位置出發，充分時間後一定會回到起點附近的小鄰域里，甚至連方向也很接近起初。證明可以用 Poincare 常返定理。更多相關的研究可以參見 Dynamical billiards 在維基百科。謝謝邀請。

考慮閉合的正方形，雖然光線在頂點的反射沒有定義，不過沒有關係。

正方形邊長是1，頂點在(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)。

從(0,0)開始，一條斜率是無理數比如e的光線。

光線不會經過任意的頂點，因為y=ex除了0，0沒有任何整點，光路可以展開成直線，如果光線經過頂點說明展開的直線經過非0整點。

所以光線不會回到原來的點。

如果嫌出發點在邊界，那麼從（1/2，1/2）出發也可。

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考慮一個擁有光滑邊界的閉合圖形，圓，考慮一條張角是比如說pi/e的弦，反正跟pi是無理關係就行，光線從弦的一端出發沿著弦，光線不會回到出發點，因為光線跟圓的交點都在pi/e的整數倍角度上（考慮平面標準單位圓），但是，pi/e的任何整數倍不會等於pi的任何整數倍。

如果嫌出發點在邊界上，從弦中點出發也可。

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該命題為假

反例：

設該區域為(0,0)(0,1)(1,1)(0,1)構成的單位正方形，光線從(0.5,0.5)發出，光線與豎直方向夾角為arctan(a)，a為任意無理數

由光線反射定理，易知當光線到達y=0.5時，橫向經過的距離為na，n為整數

故na為無理數，光線與出發點不重合

湊活看吧，不怎麼嚴謹

如果你的「若干」指的是有窮多次，那麼顯然這個結論不對，考慮圓周即可。