π是如何定義的？

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什麼「圓周長與直徑的比值」就算了，我指的是高等數學中嚴格的定義。
PS: 補充一下，上述描述的確有問題，我實際想要的是數學分析上的定義，謝謝大家的指正。

如果我們嚴格定義了曲線的長度，那麼將 $pi$ 定義成圓的周長除以直徑是可以接受的。如果不想涉及任何幾何概念，在分析上，一個 $pi$ 的定義如下：

首先定義三角函數，採用冪級數定義，這樣可以將三角函數定義在複數上。

定義. 定義餘弦函數 $cos:mathbf{C} omathbf{C}$ 和正弦函數 $sin:mathbf{C} omathbf{C}$

$egin{align} cos(z):=sum_{n=0}^infty frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}\ sin(z):=sum_{n=0}^infty frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1} end{align}$

定義好了三角函數後，定義 $pi$ 就很簡單了。

定義 $pi$ 為

$pi:=inf{xin (0,infty):sin(x)=0}$

這裡 $(0,infty):={xinmathbf{R}:x>0}$ ，這樣定義的 $pi$ 與通常的 $pi$ 是相同的。

題主想要的大概是一個非幾何的定義。

有一個從數學分析出發的定義興許可以滿足題主的期望

可以定義2pi為正弦函數最小正周期，這裡正弦函數用級數定義後證明它是一個周期函數即可

在分析數學裡，Pi可以嚴格地定義為滿足sinx=0的最小正實數x

等價的定義很多啊，不過用三角函數就可以了

高等教育出版社的《數學分析（上冊）》在介紹單調單調有界必收斂時有寫到無理數π和e的導出。這裡π是一個數列的極限，通過對該數列收斂的證明定義了π。

定義當然就是題主提到的「周長和直徑的比值」了，因為要用到極限的思想，把這句話轉化成「單位圓內接n邊形的周長比直徑2（因為是單位圓）」，即「單位圓內接n邊形的半周長」。

證明數列收斂，思路是先證明其單調，再證明有界。

這本來就是pi的起始定義