計量經濟學中如何檢驗模型是線性的假設？

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計量經濟學中最基本的假設是模型是線性的，即Y=Xβ+ε，可是這個假設要如何檢驗呢？就是如何知道回歸的方程是否真的就是線性於參數的呢？
感覺不同於其他檢驗，這個假設的檢驗的備擇假設不知道怎麼選取，原假設：模型是線性的。他的對立面感覺有很多種形式。。
雖然這個問題可能很少被討論，但是感覺還是比較關鍵的假定，需要檢驗一下。

望各路大神賜教！謝謝！

這個問題在計量經濟學裡面叫做「consistent model specification test」，是一個研究的領域，文獻很多，介紹一下Cheng Hsiao, Qi Li and Jefrrey Racine在journal of econometrics上一篇文章里提出的方法。假設我們現在想檢驗參數模型設定是正確的： $H_{0}:Prleft[ E(y_{i}|x_{i})=m(x_{i},eta) ight]=1$

其中 $m(x_{i},eta)$ 是某個你想檢驗的已知的參數模型，那麼備註假設就為：

$H_{0}:Prleft[ E(y_{i}|x_{i})=m(x_{i},eta) ight]<1$ .

於此提出一個檢驗統計量 $I=E(u_{i}E(u_{i}|x_{i})f(x_{i}))$ ,其中 $u_{i}=y_{i}-m(x_{i},eta)$ .發現如果 $I=0$ 時 $H_{0}$ 才為真。 $I$ 的計算方法為：

$I_{n}=n^{-2}sum_{i}sum_{i e j}{u_{i}u_{j}K_{gamma,ij}}$ 其中 $K_{gamma,ij}=W_{h,ij}L_{lambda,ij}$ 是離散、連續數據非參數回歸的核函數（可見李奇老師那本非參數計量經濟學的經典教科書）， $u_{i}=y_{i}-m(x_{i}, ilde{eta})$ ， $ilde{eta}$ 是原假設下的估計量。進而構造檢驗原假設的統計量為：

$J_{n}=n(h_{1},...,h_{q})^{1/2}I_{n}/sqrt{Omega} ightarrow N(0,1)$

其中 $Omega=frac{2(h_{1},...,h_{q})^{1/2}}{n^{2}}sum_{i}sum_{j e i}{u_{i}^{2}u_{j}^{2}W_{h,ij}^{2}L_{lambda,ij}^{2}}$

Racine 提供了上述檢驗的R代碼，隨便舉個R例子：

DGP1： $Y=1*X1+2*X2+3*X3+4*X4+rnorm(50)$

DGP2: $Y=X1+SIN(X2)+X3^{3}+ln{X4}+rnorm(50)$

用OLS分別去估計上述兩個式子，分別得到

由此可見用線性模型去估計DGP1不能拒絕原假設，模型設定正確；而用線性模型去估計DGP2拒絕原假設，模型設定不正確。

Cheng, H., Li, Q., Racine, J. S. (2007). A consistent model specification test with mixed discrete and continuous data. Journal of Econometrics, 140(2), 802-826.

Tristen Hayfield, Jeffrey S. Racine. (2008). Nonparametric econometrics: the np package. Journal of Statistical Software, 27(5), 2008.

備則假設是非參模型。

然後似然比檢驗。

有多種檢驗方式。有非參檢驗，這個我學的不多，所以無法回答。

如果想從線性回歸裡面直接檢驗，可以對回歸殘差的分布性質進行分析，比如是否正態分布，是否序列相關等等。。。比較著名的有 ARCH，GARCH 等。。。如果英語好的話可以參考以下網頁

How can I test a nonlinear vs a linear regression model?

有的用state-space model （狀態-空間模型？是這樣翻譯的嗎？）進行 time-varying coefficient 的估計，具體可以去看看相關論文（直接搜就好）。

現在發展的最成熟的非線性模型有兩種，第一種就是直接從線性模型的變體來看，比如加入 log 項，二次項，三次項，乃至更高次冪的項，還有加入交叉乘積項等等。。。

第二種是是備擇假設是局部線性（local linear）或者是分段線性（piece-wise linear）也是我比較熟悉的領域。這裡面最早包括結構斷點檢驗（structural break test），著名華人經濟學家鄒至庄在這裡有深入研究（chow"s test）。

局部線性或者分段線性的非線性模型有閾值模型（Threshold model），機制轉換模型（Regime-Switching model），這兩類模型都有相應的線性-非線性的檢驗（只有一種狀態的話就是線性，有兩種或者兩種以上狀態就是非線性）。