如何理解Sard"s theorem？

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如何理解各種版本的Sard"s theorem(數學分析版本，微分拓撲版本，代數幾何版本）

這個定理很自然但是同時很微妙

先澄清幾個必要的概念：

smooth map： $f:M^m o N^n$

critical point: $x in M ,(df_x)(T_xM) e T_{f(x)}N$

critical value:image of critical point.

null:set with measure zero.

微分拓撲裡面的sard定理的自然的表述如下：

the set of critical value of f is null set.

這裡我們說的manifold上的零測集是指：we say a sat $S$ is null set in a manifold iff its image in $R^n$ under every coordinate chart is null set.

值得注意的一點是：當 $m<n$ 時這個定理時trivial的， $m=n$ 時在sipivak上也有很簡潔的證明，但是這個定理的威力就在於對於任何的m，n都是對的。當然我們下面給出的證明包含所有情形。

proof：

不是一般性，主要由於manifold第二可數以及null在manifold上的定義我們只需處理如下情形：

$M=U subset R^m,U open,N=R^n, f: U o R^n,f=(f_1,...,f_n)$

那麼critical point p就是滿足 $x in M ,(df_x)(T_xM) e T_{f(x)}N$ 的點

對critical point做一個分劃，用 $C$ 代表全部的critical point組成的集合， $C supset C_1 supset C_2...supset C_i supset....$

where $C_i$ is the set of point p satisfied: $forall$ $le$ i_th derivatives of f at p vanish.

接下來證明過程中我們對m進行歸納，m等於0的時候定理當然是對的因為此時 $M$ 退化為一點或者 $N$ 退化為一點。

下面的引理證明暫時先給個大概思路因為我寫累了＝＝

lemma1: $f(C- C_1)$ is null set.

根據一些標準的推導過程，我們只需處理如下情形： $xin C-C_1,exists V_x,V_x is open set,f(V_xcap C) is null set.$

暫時先給個大概思路因為我寫累了＝＝，很簡單，這種情況下由f誘導的切向量場的映射沒有完全退化，把沒有退化的方向拉直，然後由於lesbegue測度是乘積測度，那麼用fubini定理（更準確的說用toneli定理）加上歸納假設我們可以得出結果。。。

lemma2: $f(C_i - C_{i+1}) forall iin N^*$ is null set

這個情況更加簡單，比如 $i=1$ 情況，這個情況下考察某個 $frac{partial_if}{partial x_j}$ 誘導的切向場的映射，沒有完全退化，一樣的方法把這些方向拉直，因為我們要保證 $frac{partial_if}{partial x_j}$ vanish，所以用隱函數定理我們知道每個p點附近沒有退化的方向上都只有p點能保證 $frac{partial_if}{partial x_j}$ vanish，所以把這些方向去掉我們成功的完成了降維，在用歸納假設即可。

lemma3:for suffice large j, $f(C_j)$ is null set.

這個證明和前面略有不同，我們用taylor展開直接估計這種點的測度即可，實際上就用第二可數性我們知道 $f(C_j)$ 可以被可數個cube覆蓋，把每個cube邊長做k等分，直接的估計告訴我們k趨於無窮時 $f(C_j)$ 測度趨於0因此是零測集。

這三個引理告訴我們critical point的集合是零測集。

Q.E.D.