物理學常量（例如光速）把量綱去除（如果有的話）都是有理數還是無理數？

12-30

註：討論得是一個數值，和量綱無關。

問出這個問題, 反映出題主物理學基本常識存在若干問題.

(儘管題主已經改過題目, 但我的回答依然對此問題適用. 原本的問題是: 萬有引力常數是有理數還是無理數? )

談一個有量綱量是有理數還是有理數毫無意義. 這是因為基本單位是可以由人隨便選取的.

最典型的例子是電磁學中的國際單位制和高斯單位制. 在國際單位制下, Coulomb 定律為 $F=frac{1}{4piepsilon_0}frac{q_1q_2}{r^2}$ ; 在高斯單位制下, Coulomb 定律為 $F=frac{q_1q_2}{r^2}$ . 在 $q$ 為兩種單位制下的單位電荷, $r$ 為單位長度時, $F$ 在國際單位制中是無理數, 在高斯單位制中是有理數. 再比如, 磁場強度 $H$ 在國際單位制中的 $1mathrm{A/m}$ 在高斯單位制中是 $4pi imes10^{-3}mathrm{Oe}$ .

更激進的例子是理論物理學家們喜愛的自然單位制, 在這個單位制中 $hbar=c=k_B=1$ , Planck 常數, Boltzmann 常數和光速不僅量綱相同, 而且都為1. 至於題主提到的萬有引力常數, 在所謂 Planck 單位制( $c = G = hbar = frac{1}{4 pi epsilon_0} = k_B = 1$ )中也為1.

有意義的應當為無量綱量, 它們不隨單位制的選取而定. 比如表徵電磁相互作用強度的精細結構常數 $alpha=frac{e^2}{hbar c (4 pi epsilon_0)} = frac{1}{137.035999074}$ . 與萬有引力常數相關的無量綱量比如 Planck 質量與電子質量的比值. 常見的無量綱物理常數可以參考 Wikipedia: Dimensionless physical constant.

在最新被修改過的問題中, 由於米就是按照真空中光速的 1/299792458 定義的, 所以"光速與每秒1千米的比值"是有理數. 但這個數只是一個定義, 沒有任何實際的物理意義. 等物理學家們統治世界以後, 完全可以重新定義為米為真空中光速的 1/100000000π, 此時"光速與每秒1千米的比值"就是無理數.

探討一個(無量綱)物理量是否是有理數毫無意義. 這是因為由於實驗精度, 人類永遠只能測量一個物理量確定至一定的範圍內.

比如精細結構常數, 已知的測量結果(CODATA Value: fine-structure constant)為 $alpha=(7.297 352 5698pm0.000 000 0024) imes 10^{-3}$ . 無論其為有理數與否, 人類永遠無法證明或者證偽. 就這一點來說, 這不是一個科學問題. 因此談論一個(無量綱)物理量是否是有理數(在物理上)毫無意義. 物理學不是數學, 任何物理學理論永遠只是一個近似理論.

相關問題: 為什麼物理學常數確實都是常數？ - andrew shen 的回答

有理數，可以去看米的定義

"" Since 1983, it has been defined as "the length of the path travelled by light in vacuum during a time interval of 1/299,792,458 of a second." ""

http://en.wikipedia.org/wiki/Metre

同時鄙視一下改題目的行為

個人意見。

自然界中一切物理量的絕對數量，即能夠基於給定的單位制，通過實驗方式為人所具體感知的數量，在數學意義上都是無理數，除非它本身被選做基準。

對於常數而言，只要是自然常數，即數值不會隨著實驗條件變化而變化的常數，包括萬有引力常數，在給定的單位制下都應該是無理數，除非該數本身被用作基準，比如溫度的表示，按攝氏溫標，絕對零度的具體值是無理數，而以絕對零度為基準，那麼絕對零度的數值便是0這個有理數。

而自然界中客觀存在的相對數量，比如上面提到的無量綱常數，也許可以基於物理學中最基礎的理論，以嚴格的數學證明，像數學中嚴格證明π或e是無理數的方式一樣來證明其是不是無理數，但目前為止人類還並未做到。

而另一些表示相對量的常數，比如阿伏伽德羅常數，按定義它是整數，所以嚴格來說它不是自然常數，只是個人為規定的數值。阿伏伽德羅常數實際上是根據碳12原子質量的測量值規定的一個數值，其值是受碳12原子質量的測量影響的，所以本身不是個自然常數。

但從物理的角度來說，物理中涉及的「數」與數學裡研究的「數」並不一樣，物理中的「數」是「數據」，這個數在數學上通常是無理數，但在物理上我們只會以有理數的眼光對其進行考量。

一方面，物理學中一切數量的表達，都必須基於給定的量綱和測量儀器的精確度，也就是說物理學中數量表示的基礎就是近似。測量儀器能將一個物理量測定到小數點後無數位，但其表達出來的方式終究只是個有限小數。

另一方面，物理學中的數量都要基於量綱來表達，而量綱本身就是一種有理數限定，比如國際單位制中秒是「銫－133原子基態的兩個超精細能級之間躍遷的輻射周期的9192631770倍的持續時間」，米是「1/299792458秒的時間間隔內光在真空中行程的長度」，這裡面的限定都是有理數，也就說單位制本身就是一種限定在有理數範圍內的近似表量。

綜上所述，自然界中的數量，基於給定的單位制，在數學上會是無理數，但在物理學上，人們只會從有理數的範疇對其進行考量。

我覺得題主的意思是能否把一個數值測量的無限精確的問題。

在國際單位制下，

我想是的。

樓主的想法跟我幾年前看到的某位科學家的想法近乎一致，愛因斯坦。他考慮選擇自然-幾何--高斯-普朗克單位制，並約定玻爾茲曼常量為1後，其餘所有的物理常量只是一些可推導的積分常量(例如此時真空磁導率μ=4π)。

各位知友已經討論得很清楚了，我再狗尾續貂一把。阿伏加德羅常量雖然原則上可以是無理數，但是總歸不如定個整數舒服。雖然在si單位制里是個有量綱量，但是大家都知道摩爾是個濫竽充數的。

怎麼把萬有常量換成光速了？

__________________________________________________________

只是一個約數，哪有什麼有理數無理數。。。

萬有引力定律是近似定律，這樣來看，這個萬有引力常數根本不是常數，不同情形下會不一樣，這樣更難說了。

萬有引力定律的數值依賴於使用的具體單位，如果就按現在使用的那些單位制，數值基本可以認為是隨機的。

如果不考慮上面那些近似，從概率論的角度基本可以斷言是無理數。

曾經想過類似的一個問題，

「物理測量量用有理數表示足矣，應為有理數可以逼近任何實數。

而量子不確定性，漲落，等等導致，沒有任何可測物理量是精確的。

所以建立在實數微積分基礎上的物理微恙。

估計幾百年後數學可能會克服這點」