為什麼會出現chern類這個同倫不變數，這個不變數怎麼發現的？

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謝邀。由於我現在看不到歷史文獻，所以無法具體追溯陳當年的發現過程。但陳類是示性類的一種，我或許可以以陳類為例憑記憶侃一侃示性類是怎麼出現的，討論一下為什麼是同倫不變數。（從歷史順序看，陳類的發現稍有別於這條主線，所以這個回答會偏一些題。）

首先需要強調的是，示性類的定義是純拓撲的，與微分結構無關，和度量，聯絡，曲率等等更沒有關係。陳類作為示性類的一種，自然也只與拓撲有關，雖然它最早是由陳從幾何角度得到。

事實上，問題緣起於如何判斷兩個纖維叢同構。

比如對於仿緊(paracompact)拓撲流形 M上的兩個相同rank 的復向量叢，我們很難找到辦法判斷他們是否同構。拓撲中的經典辦法就是構造同構意義下的不變數，兩個叢的不變數不同自然不同構。示性類就是這樣的不變數。陳省身構造的示性類叫做陳類。

構造大概是這樣的（這是整理過的一般的示性類的拓撲構造辦法，和陳的原始構造有區別）：

對於仿緊拓撲流形 M, N, f: M--&> N. 那麼 f 把N上的叢拉回到M上的叢。從拉回的定義上看，拉回叢的信息不會多於原叢，所以越拉回，叢越簡單。一個天才的想法是是否存在一個最複雜的叢使得所有相同纖維的叢都是它的拉回，如果有，我們就可以通過研究這個最複雜的叢來研究所有的叢。這個想法的腦洞有點大，但出人意料的是對於所有有緊結構群的纖維叢，這個最複雜的叢都是存在的，叫做萬有叢（名副其實）。在陳這裡，n階復向量叢的萬有叢就是無窮維Grassmannian BU(n)上的典則向量叢 EU(n).

用數學語言來說，就是對任一仿緊拓撲流形 M上的任一n階復向量叢 E，存在連續映射f: M--&> BU(n),使得 f*EU(n)同構於 E. 所以一個復向量叢只與底空間到BU(n) 的映射f 有關。f不光拉回叢還可以拉回上同調 f*: H*(BU(n), Z)--&>H*(M, Z).在這裡 f*在H*(M,Z)中的像就叫做陳類。因為上同調映射是同倫不變的，所以陳類定義的合理性依賴於下面結果：

設E, F 為仿緊拓撲流形上的兩個同階復向量叢，f, g 為對應的映射，那麼E 與 F 同構當且僅當 f 與g 同倫。這也應該是大家把陳類叫做同倫不變數的原因。

上面的這個過程對所有的有緊結構群的纖維叢都是成立的，在一般情況下，f*的像就叫示性類。

陳類相對於其它示性類的優勢在於 BU(n)的上同調比其它萬有空間的簡單。

H*(BU(n),Z)=Z [c_1, c_2, ..., c_n], 由n個生成元生成的Z係數多項式環，其中生成元c_k在 H^{2k}(BU(n),Z) 中。所以所有 f*在H*(M,Z)中的像都可以用 f*c_1, f*c_2,..., f*c_n 來生成。所以也把 f*c_k叫做陳類，也記為 c_k(E).

至於Chern-Weil 理論，再侃的話恐怕離題更遠了。

第一問不太理解問的什麼。一般很少會說陳類是同倫不變數，雖然它確實是復叢分類映射的同倫不變數。陳數們確實是複流形的同構不變數。比較馬後炮的解釋是，它們就像線性變換該有行列式一樣自然。

第二問我查了一下 J. Dieudonne 的《 A History of Algebraic and Differential Topology, 1900—1960 》。說法是陳省身受了 Pontrjagin 類引入方式的啟發發現了 Hermitian 流形的陳類，一般單純復形上復叢的陳類則賴於吳文俊的推廣。在陳的論文里這個說法也有印證，可以看他論文的介紹部分。陳也在論文里說示性類是研究微分流形拓撲的比較靈敏的不變數，而且可以通過大範圍微分幾何刻畫，（如果我轉述準確的話）。值得注意的是 Milnor 怪球的發現大概晚於其文十年，所以陳當時說拓撲應該跟微分拓撲是沒有區別的。

謝謝邀請……

謝邀。

我跑個題哈，微分幾何上怎麼構造我是不知道的，拓撲上Chern classes就是BU（你可以看作是某種Grassmannian）的整係數上同調類的對稱多項式。而整係數上同調本來就是同倫不變的。

但是這個對應我是不知道怎麼給的，所以我沒學微分幾何（逃）。

我猜測是通過某種空間到Z的連續映射給出來的。這樣連續性保證了同倫不變性，類似基本群那樣。

微分幾何歷史不熟，以下純屬胡說：Gauss-Bonnet-Chern公式可能有最早的陳類。

匿了……

我寫一個大概想法，能不能這樣干啊。。。。

step1 M上兩個向量從如果同構的話能看成看成在M*[0,1]這個空間上的一個向量從限制到0和1得到的

這一步用局部轉移函數的變換exp(tln(Pi))過去

step2 用度量取平均，因為PiAijPj（-1）這樣的話tr不一樣，但是取完平均之後會是一個相似這樣取tr限制到0和1就是一樣的

step3 說明所有度量得到的量是一樣的

源頭應該是Gauss-Bonet定理，陳在給出其一個內蘊證明後, 思考其高維推廣時提出的陳類．