凹凸性定義需要函數可導嗎？

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發現凹凸性在不同教材里定義不同，有的是在函數可導上定義的，有的直接在函數連續上定義的。是否一樣？

不需要，比如說函數 $f(x) = |x| + x^2$ ，它在x = 0的地方有個尖點，但這並不影響它在整個定義域上嚴格下凸。

通常我們採用的定義是：對於任意定義域內的 $x_1, x_2, forall lambda in (0,1)$ ，有

$f(lambda x_1 + (1-lambda) x_2) le lambda f(x_1) + (1-lambda)f(x_2)$

則稱f是一個下凸函數，上凸則不等號符號相反。

對於這類函數， $forall x_1, x_2, x_3, x_1 < x_2 < x_3$ ，設 $x_2 = lambda x_1 + (1-lambda) x_3$ ，則

$frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} le frac{lambda f(x_1) + (1-lambda)f(x_3) - f(x_1)}{lambda x_1 - x_1 + (1-lambda)x_3} = frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1}$

同理有

$frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2} ge frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1}$

這意味著對於任意的 $x_0$ ，函數

$frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ 在 $x_0$ 的空心領域內是單調遞增的，根據單調且有下界、單調且有上界，在任意 $x_0$ 的兩側，左導數和右導數都存在：

$lim_{x ightarrow x_0^+} frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f$

$lim_{x ightarrow x_0^-} frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f$

且有

$f$

但是只有左右導數相等的時候，函數在這一點上才是可導的，否則可能有尖點。尖點可以有無限多個，考慮把 $f(x) = x^2$ 的所有x為整數的點用折線連起來的情況。

不需要函數可導

PS你為啥不能參考一下呢→_→

可導是不需要的，

不過幾乎處處可微還是需要的。

實際上，凸性在分析上是一個很強的性質，蘊含局部Lipschitz，凸函數一定是連續的，而且是幾乎處處可微，甚至是幾乎處處二次可微的。

可以看看這篇paper開頭

http://www.ams.org/journals/tran/1994-342-01/S0002-9947-1994-1145959-4/S0002-9947-1994-1145959-4.pdf

The classical theorem of Alexandrov states that a convex function on R^n is
almost everywhere second order differentiable. This was first proved by Busemann
and Feller [12] for functions on R^2 and later was extended by Alexandrov
[2] to R^n . More recent proofs were obtained by Mignot [26], Bangert [6], and
Rockafellar [36].

《數學分析》中，凹凸性定義，連續也不需要，當然根據定義本身能證明在區間內部每個點都連續。

另外要注意，不同教材有時凹凸定義剛好相反。就像有些國家左側通行一樣。

定義什麼是凸函數和在什麼情況下函數是凸函數是不同的，前者必須是充要的，後者只是充分的。比如，樓上貼的維基百科的定理，都是在說一個函數是凸函數的充分條件，而不是必要條件，即不充要，自然不能說是凸函數的定義。