求關於旋轉陀螺不倒的原理，困惑很久了?

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可以說這個問題和角動量有關，但不能完全用角動量作為解釋。「陀螺不倒」本質上是一個「穩定性」問題，應當從勢能曲線的角度去研究。有效勢能函數中的極小值對應「穩定平衡點」，極大值對應「不穩定平衡點」。物體處於穩定平衡點，便是真正的平衡了。

一、陀螺運動分析

現在對陀螺的運動做一個分析（這是一個不複雜的力學問題）。下圖是陀螺示意圖，與地面的接觸點為定點O。

我們建立了兩個坐標系，一個固定不動（綠色），另一個坐標系（黃色）「安裝」在陀螺上隨它一起運動，虛線是xoy平面與XOY平面的交線，通過φ、ψ、θ三個角就能確定陀螺的空間位置。我們感興趣的是θ角，因為它決定了陀螺的「倒」與「不倒」。

陀螺的動能表示為 $T=frac{1}{2}(I_1omega _x^2+I_2omega _y^2+I_3omega _z^2)$ 。這裡認為陀螺是對稱的，因此 $I_1=I_2$ ，再藉助歐拉運動學方程，角速度分量可用φ、ψ、θ表出，得到陀螺的動能

$T=frac{I_1}{2}(dotvarphi^2sin^2 heta+dot heta^2)+frac{I_3}{2}(dotvarphi cos heta+dotpsi)^2$ 。

設陀螺重心離O距離為d，則陀螺的重力勢能為 $V=mgdcos heta$ 。因此陀螺的拉格朗日量為：

$L=frac{I_1}{2}(dotvarphi^2sin^2 heta+dot heta^2)+frac{I_3}{2}(dotvarphi cos heta+dotpsi)^2-mgdcos heta$

拉氏量中不顯含φ、ψ，因此有兩個循環積分： $frac{partial L}{partialdot varphi} =C_1,frac{partial L}{partialdot psi}=C_2$ ，根據能量守恆得到第三個積分，即 $T+V=E$ 。按順序寫出這三個積分：

$(I_1sin^2 heta+I_3cos^2 heta)dotvarphi+I_3dotpsi cos heta=C_1$

$I_3(dotvarphi cos heta+dotpsi)=C_2$

$frac{I_1}{2}(dotvarphi^2sin^2 heta+dot heta^2)+frac{I_3}{2}(dotvarphi cos heta+dotpsi)^2+mgdcos heta=E$

這是一個方程組，我們感興趣的是θ角，需要把其他未知量消去。將②式代入③式，得方程④，由①②解出 $dotvarphi$ 代入④，得到

$frac{I_1}{2}dot heta ^2+frac{(C_1-C_2cos heta)^2 }{2I_1sin^2 heta }+mgdcos heta =E$

其中 $E$ ，也是一個常數。下面我們通過這個式子確定出有效勢能函數。

二、關於θ的有效勢能函數/陀螺為何不倒

在之前式子中，等號左邊第一項相當於「動能」，等號的右邊常量可以視為等效的能量，剩下的項就是有效勢能了。現在我們轉動陀螺，設一開始陀螺是直立的，則 $C_1=C_2=J_z$ （即角動量z軸分量，以下簡稱「角動量」）。我們寫出有效勢能函數U：

$U( heta )=frac{{J_z}^2(1-cos heta)^2 }{2I_1sin^2 heta }+mgdcos heta$

對於一般的陀螺（如玩具陀螺），可以做出數量級估計： $I_1sim10^{-6}$ 千克平方米， $mgdsim0.002$ 焦耳。代入這些數值後我們畫出不同角動量（單位為 $10^{-4}kgcdot m^2/s$ ）下的勢能曲線：

橫軸是θ角（對稱起見讓其取了負值）。為了解釋陀螺不倒的原因，我們把上圖想像成一個動態過程。

初始時角動量=1.5，θ=0是極小值點，陀螺能穩定地直立。隨著角動量下降，曲線逐漸變「平坦」。角動量降為0.4時，曲線轉為「上凸」形，θ=0變為極大值點，成為不穩定平衡位置：形象理解，可把勢能曲線想像成豎直平面的光滑軌道，陀螺看作放在頂端的質點。很小的擾動都可讓質點「滑落」下來，相當於陀螺的θ不斷增大，若大到一定值陀螺便倒下了。

「高速旋轉時陀螺每一秒的偏移都被平均分散了」

不轉的陀螺為什麼放不穩？

不是因為陀螺受力不平衡，而是陀螺的支點太小。一個支點較大的台體是容易穩定的。

稍微一個輕微的晃動，陀螺的中心軸就會偏離重心方向，這樣就會產生重力力矩，

在力矩的作用下陀螺偏移加大，最終倒下。

而當陀螺高速旋轉時，我們假設陀螺最高面某一點向水平面左下偏移，如果陀螺不轉的話結果就像剛剛一樣倒下。而此時陀螺是旋轉的，一瞬間，向左下偏移的這個點還沒來得及把陀螺向左拖倒，就運動到了中心軸的右側，而它同樣在水平面以下，又會想把陀螺向右側推倒。在高速旋轉的情況下，每一點產生的偏移都被旋轉平均到各個方向，平均結果一瞬間完成，就顯現出沒有偏轉中心軸的平均結果。（此時也因為力矩極小作用效果不明顯，轉速不受影響）

還有個證據就是，當陀螺轉速變慢時，我們會觀察到它不是只往一個方向偏，而是往左一下，然後往右偏一下、再往左，最後速度太慢，不足以分散足夠的偏移，受力矩作用而倒下。

要想徹底明白這個問題，你需要了解力矩，角動量，慣性張量，進動，章動等概念。

這個我可以很確定的回答，因為運行軌跡。

請看博文陀螺旋轉為何不倒？

陀螺，這是很多人都玩過的玩具，但究其陀螺旋轉不倒的原因，卻沒有很完美的解答，如果百度搜索，答案很多，但都不具代表性，甚至物理權威，也沒有解答出陀螺旋轉為什麼不倒的原因，由於在網上，有好事者拿出陀螺來刁難網友，擺出一些陀螺旋轉的各種圖片，還有在太空里，太空員講解「陀螺在太空里旋轉」的視頻，針對所有物理學者所給出的解釋，我無法認同，就陀螺旋轉不倒，一些物理學者寫出了幾萬字，運用了大量物理表達式，甚至把高等物理也利用上，仍是意猶未盡之感覺。看得頭昏腦漲，不知其所以然。就此問題，我表達一下我對這個陀螺現象的看法，由於多年不接觸物理知識，才疏學淺，或有一些表達不夠完美。

根據陀螺旋轉不倒現象，我們分析陀螺旋轉中，陀螺涉及到那些因素？

一，陀螺旋轉，必須要給陀螺一個外力，使其陀螺在慣性的作用下發生旋轉。

二，陀螺的重心不能過高，重心越低，陀螺旋轉就越穩定。

三，陀螺應呈圓形，使得陀螺旋轉與空氣摩擦力減小。

四，陀螺的外體光滑，減小阻力。

五，陀螺旋轉所遇到的阻力，是陀螺外體與空氣間的摩擦力，以及旋轉支點的摩擦力。

根據上面的分析，我們製作的陀螺都是比較理想的，也從上面的幾個因素考慮製作陀螺，但為什麼陀螺旋轉後，就保持一段時間不倒，只要旋轉，就能以一個支點站立，這就讓人有些迷惑起來，是什麼力把旋轉的陀螺控制住？

我們回頭看上面的分析，第五點很關鍵，陀螺旋轉，勢必與空氣產生摩擦力，有了摩擦力，陀螺旋轉的同時，帶動空氣旋轉，形成肉眼看不到的空氣渦流，陀螺轉動越快，空氣渦流也隨之加快，那麼，旋轉的空氣渦流就產生了向心力，由於渦流呈圓形旋轉，那麼渦流就給了陀螺一個均勻的向心力，將陀螺控制在空氣所形成的渦流中。另外一點，當陀螺發生角度傾斜，會自行的調整，在一個平面上旋轉陀螺，當陀螺重心偏向左側，那麼陀螺的軸線與平面夾角小於右側，而這中間的空氣渦流的排斥力大於右側空氣渦流旋轉的排斥力，陀螺重心開始向右側偏移。陀螺的重心就是這樣反覆被調整，最後趨於穩定。

為什麼太空試驗中，陀螺軸線與地面平行，也無支點，陀螺依然可以旋轉？在太空里，物質出現了失重，也就是物體沒有了重量，但值得說明的是，太空並不是沒有了空氣，只能是空氣稀薄而已，這個時候，由於沒有了重力，支點就沒有作用了。太空里旋轉陀螺，開始固定什麼角度，旋轉之後也依然保持初始的角度，這仍然是空氣所產生的渦流旋轉對陀螺的排斥力，沒有重力，也就沒有了重心，重心不存在，陀螺就沒有了搖擺現象，這樣，在太空里，陀螺旋轉相對穩定，由於空氣稀薄，空氣與陀螺摩擦力減小，更使得陀螺旋轉時間長。

在真空里，陀螺會怎樣旋轉呢？

第一種情況，如果在地面上做實驗，把陀螺置於密閉容器內，讓陀螺旋轉，把密閉容器吸成真空，就會發現，陀螺會瞬間倒下，自行的維持重力平衡點，發生旋轉，而且要旋轉很久，密閉容器接近真空，陀螺的摩擦力就減小，只有重力所維持的支點摩擦力，因此，陀螺倒下後會旋轉很久。

第二種情況，假如，陀螺在失重的真空做旋轉，那麼就該是這樣的情形，陀螺失重，呈漂浮，如果將陀螺旋轉，由於是真空，陀螺沒有了摩擦力，陀螺旋轉就不受外力干擾，假如，陀螺與相對真空的摩擦力為零，那麼，陀螺將無限制旋轉下去。

如果沒有了空氣，有重力的陀螺無法正常旋轉，飛機也無法飛上天。

上面就是我對陀螺的分析與看法，解答的不一定很全面，供學者們分析，揣摩，指正。

2014年9月6日

我感覺如果不通過計算，想要直觀上理解陀螺不倒就不能把陀螺當作一個整體來考慮，應該考慮每個局部的受力。如圖所示：

（滑鼠畫圖勿吐槽。。。）在沒有重力情況下A，B兩點受到的向心力是相同的，於是會維持原有的轉動不變。當重力存在時，抵消了B的一部分向心力，增加了A的向心力。由於原本A，B兩點原本線速度相同，B向心力小，因此旋轉的曲率半徑大，A向心力大，因此旋轉的曲率半徑小。由於它們旋轉的曲率半徑不一致，於是產生圖示方向的進動。不知道這樣理解對不對。

這個問題，約15年前，力學老師在黑板上眉飛色舞的分析角動量，當時沒聽懂，現在都快不知道角動量了。

這個需要先了解你是否知道角動量定理dL/dt=M=r×mg

青年才俊丁老師前來解答你的困惑

慣性才是要點

先解釋下什麼是慣性，慣性就是物體保持自己原先運動狀態的能力，具體說下就是你在太空中射個紙飛機，紙飛機離開你手的時候（也就是不受你施加的力的作用），紙飛機會以這個時候的速度方向和大小去運動。思維延伸一下，紙飛機之後的運動狀態只和離開你手的瞬間狀態有關（也就是相同），也就是說一個物體一旦不受力的作用，或者受力平衡了，那它就會以恰好不受力或剛剛平衡時的運動狀態去運動。

再就是說，你在太空中扔個籃球，如果籃球離手時有旋轉那他就會繼續旋轉，如果你扔的是一坨翔，那坨翔離手時是旋轉的，那他就會繼續轉。

同理，陀螺離手時是轉動的，它還會繼續轉動，把轉動的這部分動能轉化成地面摩擦產生的熱能需要一定的時間，所以陀螺在這段時間會一直轉。

再深入下，你可以想像下陀螺在你手指的作用下怎麼運動的，它還會繼續那麼運動。

上面討論的是太空環境，現在討論地球環境

陀螺在地球的桌子上

受力分析

敲黑板，支持力是陀螺對桌子施加壓力的反作用力，所以支持力應該那樣畫，你可以用電鑽嘗試幾個不同的角度鑽牆，感受下是不是朝哪鑽，阻力就在哪。另外，圖上摩擦力沒畫出來，因為它和運動方向相反，會變化。

陀螺在慣性的作用下，繼續那樣旋轉，但是，在上述三種力的作用下，陀螺會有倒下的趨勢，而且陀螺離轉軸的夾角越大，也就是越傾斜，倒得越快，可以在幾個不同夾角時，受力分析。最終陀螺倒下，動能和重力勢能都化成熱能。

還想再寫點，原諒我腦洞大。

假設阿姆斯特朗，帶了個陀螺登月，在快要登陸時在空中轉了陀螺，這個時候陀螺的運動和受力就等於是把上圖的支持力和摩擦力去掉。只受月球重力影響，那他到登陸月球，抬頭看到的陀螺是怎麼個運動狀態？？？

完）