如何想像四維空間和四維圖形？

12-29

為什麼要嘗試著想像四維空間？我們有數學呀。

在其他問題里回答，無奈答晚回答沉底，因不舍碼字一天的內容，故潤筆後自問自答，忘知友們海涵。另本人是中學教師，以下內容設計高數若有錯誤，還請各位不吝賜教。

　　本文的絕大部分內容來自於數學科普視頻《維度·數學漫步》，向大家強烈推薦這個系列視頻。

零、理論鋪墊（想看四維圖形的朋友可以直接往下拉）

0.1.維度

　　是數學上的一個名詞，表示獨立變數的個數，例如有 $(x_{1},x_{x},...,x_{n})$ 這 $n$ 個變數，不管其中一個變數如何變化，都不會影響其他的變數，我們就說這 $n$ 個變數是獨立的。

　　維度不單單可以應用在幾何上，例如顯示器上用來表示顏色的RGB是三個獨立的變數，我們可以說RGB顏色空間是三維的；在列印的時候，一般用CMYK來表示顏色，因為這是四個獨立的變數，所以我們可以說CMYK顏色空間是四維的。

　　當然，也不是說有幾個變數，則變數都是獨立的，比如三圍= =

0.2.空間

　　數學上「空間」的概念，個人認為指的是元素和某種運算律的統稱（近代老師對不起T T知識全還給你了）。比方歐幾里得空間，元素是幾何體，滿足五個公理。此外還有拓撲空間、黎曼空間、概率空間、盜夢空間、色彩空間（好像混入了奇怪的東西）等等。

0.3.線面體與一二三維的關係

　　我們一般說直線是一維的，平面是二維的，立體空間是三維的。這種說法並沒有錯，但如果倒過來說，是不成立的。

　　原本，直線、平面、空間這類的幾何概念和變數是沒有關係的，自從笛卡爾（1596-1650）這位神人在《指導哲理之原則》裡面提出了坐標系後，就把幾何上的每一個點同一個有序對結合起來，誕生了解析幾何（成為我數學系苦逼學生大學期間唯一可以用來安慰智商的課程）。在此之後幾何圖形可以用幾個變數來表示，我們就開始用維度來表示幾何空間了。

0.4.四維空間

　　一二三維歐式空間都可以和幾何空間對應，那四維歐式空間是否有對應的空間呢？

　　當然有，前面說的CMYK不就是四維色彩空間么？

　　大家應該更關心的是四維幾何空間。

　　其實這個問題筆者暫且沒有答案，因為目前還找不到空間中獨立的四個變數，特別是在現有立體空間三個維度之外再找一個獨立的維度（你說時間也可以，但通過這個想像出來的圖形很有局限性，如果你讀完下面的內容，應該也可以通過這個想像出對應的四維圖形）。但雖然看不到，我們可以有其他的方法來探索四維圖形的性質呀。下一節我們進入正題，開始探索歐式四維空間的圖形。

0.x.小複習

　　提問：球面是幾維的呢？

一、方法概論

　　想要了解四維圖形，一個方法就降維。降維之後所得到的幾何圖形就是我們可以理解的，藉由得到的降維圖形，我們可以思考原來圖形的性質。再理解了眾多性質之後，我們便可以大致想像原來的圖形是什麼樣子了。為了方便大家理解，我接下來的篇幅會簡單地用三維降二維或者二維降一維的方式進行解釋，再給大家看四維降三維的圖形。此外以下篇幅或會涉及解析幾何。首先看幾個概念，後面會陸續用到：

正方形四個頂點坐標（±1，±1）

立方體八個頂點坐標（±1，±1，±1）

四維超正方體十六個頂點坐標（±1，±1，±1，±1）

二維單位圓方程： $x^{2} +y^{2} =1$

三維單位圓（球）方程： $x^{2} +y^{2} +z^{2} =1$

提問：四維單位圓方程

二、透視

　　這個圖形是幾維的？

　　這是個三稜錐，是三維空間里的圖形。但是且慢，我們看到的應該只是一個平面圖片吧？

　　是的，因為我們生存在一個三維歐式空間當中，所以即便我們看到的只是一個二維圖形，我們也可以通過腦補，想像出一個三維圖形。

　　同理，我們也可以直接畫出一個四維圖形的直觀透視圖。直接給出稍顯有點沒意思，所以為濕就和大家一起，一步步地畫出最簡單的四維圖形。

2.1

　　畫出任意兩點，然後連線，我們可以得到一條直線

　　這是最簡單的一維圖形

2.2

　　畫出兩兩不共線的三個點，然後連線，我們可以得到一個三角形

　　這是最簡單的二維圖形

　　它有 $C_{3}^{2} =3$ 條邊，同時我們也懂得，任意不共線的三個點確定一個平面

2.3

　　畫出兩兩不共線的四個點，然後連線，我們可以得到什麼？

　　再畫一下簡單的輔助線，進行立體透視

　　它有 $C_{4}^{2} =6$ 條邊，有 $C_{4}^{3} =4$ 個面

　　這是最簡單的三點陣圖形——三稜錐，至此我們可以知道，不共面的四個點可以確定一個立體圖形（稱之為胞）

2.4

　　所以可以很容易進一步猜想，如果我們畫出五個兩兩不共線的點，是不是就可以畫出最簡單的四維圖形？

　　在嘗試之前，我們先用之前的方法來猜想一下性質：

　　它有幾個邊，幾個面，幾個胞？

　　好，畫圖：

　　這不就是個四稜錐么？

　　當然沒有這麼簡單，我們熟悉三維歐式空間，所以即使看到四維的透視圖，還是很簡單地將其想像為三維圖形。我們需要對其進行簡單的立體處理，順便讓這個圖形在四維空間中旋轉一下，我們來欣賞一下它在三維空間中旋轉的英姿（PS：強烈推薦大家去看原視頻，就在前面介紹的視頻里，酷斃了~）。

　　這個，便是最簡單的四維圖形——單純形（Simplex），又稱五胞體。

　　通過直觀圖，我們可以看到圖像的樣子，明確圖形點線面胞的個數，但似乎只能這樣了。

　　也順便給出其他四維圖形的透視圖：

　　動圖在此：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/55/8-cell-simple.gif

三、展開

　　「直觀圖」確實不是很直觀，我們來考慮一下其他方法。

　　展開大家很好理解，小學數學課都玩過。

　　正方形是最典型的用來展開的圖形：

　　展開的好處，例如原來的正方體，我們即便知道它有六個面，但無法知道面和面之間的關係。通過展開，我們可以方便地了解面和面之間的相鄰關係——但這存在缺陷，因為展開方法有非常多種，很多原來是相鄰的圖形，被我們強行展開了。但不要緊，只要多展開幾個，我們還是可以了解它們之間的相鄰關係。

　　展開方法非常多種，我們也來試試正方形、立方體在四維歐式幾何空間的推廣——超立方體（Tesseract），又稱正八胞體。讓我們來欣賞一下超立方體的展開圖：

　　提問：正方體有11種展開方式，大家猜看看四維超立方體有幾種展開？

　　筆者找了很多材料，但是找不到其他展開圖，不知道知友們有沒有超立方體的其他展開圖，或者其他四維圖形的展開圖。

　　順便和大家分享一下展開的動圖，不過反正我是沒看懂= =

File:Hcube fold.gif

四、切割

　　我們將一個三角形推入一條直線，那麼我們將得到一個怎樣漸變的圖形呢？

4.1.二維降一維

　　如圖所示，這個應該很好想像。我們得到一個從點開始，不斷伸長的線段，最後突然消失。　　

4.2.三維降二維

　　同理，我們將一個立體圖形推入平面當中，也是可以得到截面的，例如

　　如果通過這個角度，我們將一直得到一個正方形，然後消失。

　　但現實不總是如此友好，如果我們是斜著推呢？

　　我們也可以看看其他圖形

　　看起來很好想像是不是？

　　那我們嘗試一下，這個是什麼圖形

4.3.四維降三維

　　那我們接下來看看四維高立方體在三維里的投影吧

　　動圖點這：http://s13.sinaimg.cn/middle/610b154ega59929fbaf7c690

　　其實這裡就應該可以看出了，切割的本質，就是有規律地變動某一個變數，然後看其他幾個變數是怎麼變化的。四維圖形中有 $(x,y,z,t)$ 四個變數，我們有規律地固定 $t$ ，看其他的三個變數 $(x,y,z)$ 如何變化。

　　百度不到其他圖形的投影，感興趣的同學可以去看視頻~

五、奧義·投影

　　先解釋一下什麼是投影。

5.1.二維降一維

　　我們先把一個單位圓放在如圖所示的位置，然後在圓內換一個內接多邊形。之後我們把多邊形對應的弦用同樣的顏色染上

　　然後以點（0,1）為端點，畫出射線。射線與x軸有交點，在交點染上相同的顏色。

　　伴隨著圓中間的三角形的旋轉，投影也會跟著改變。雖然長度已經變化，但我們至少可以通過這個方法，看出圖形中每個邊之間的相鄰關係。

5.2.三維降二維

　　同理，這個方法自然可以拓展到立體圖形。

　　當然，圖形也是可以翻滾的。

　　誒誒別滾走呀。

　　我們可以通過投影在平面上的圖片，看出一定的性質。比如有六個頂點，十二條棱，另外每塊顏色代表一個面共有六個面。

　　給個挑戰，這是什麼三維圖形在二維平面上的投影？

5.3.四維降三維

　　將高立方體放入四維球當中，得到的三維投影是這樣的

　　我們可以看出，它有16個頂點，32條棱。當然，除此之外還會有其他東西，面和胞。我們接下來對面和胞也進行投影。

　　這樣就能輕(jiān)松(nán)地識別出四個共面的頂點構成的平面，和八個共胞頂點構成的胞了吧。

　　當然，我們還可以繼續看看它是怎麼翻滾的：

　　也給給其他圖形：這個是24號

　　這個是120號：

　　投影雖然是最終奧義，但是它有個致命傷——對凹圖形沒有殺傷力= =

　　以上，就是在筆者所知道範圍內的方法。在筆者看來，降維的方法其實就是盲人摸象，但如果各個角度都進行了探索，我們也就大概可以想像出四維圖形是什麼模樣的了。

。

　　我需要一塊二向箔，清理用。

參考答案

第零節答案：2維

第一節答案： $x^{2} +y^{2} +z^{2} +u^{2} =1$

第二節答案：它有 $C_{5}^{2} =10$ 條邊， $C_{5}^{3} =10$ 個面， $C_{5}^{4} =5$ 個胞。

第三節答案：261種

第四節答案：

第五節答案：四個頂點，六條棱，四個平面，三稜錐。

大部分的四維透視圖是錯誤的，以四維球超體為例，在三維的正投影始終為球體，不論如何旋轉，其大小不發生任何變化。類似於正球體在平面的正投影是一個正圓，只要球不發生變化，其正投影也不會發生變化。以下內容很枯燥，有興趣的請耐心看完，我後續陸續配圖。

首先，一個完美的四維超球在三維空間正投影為一個完美的球體，不論任意角度旋轉，投影都為球體，大小不變。

似乎沒什麼感覺……那麼我們建一個閉合的完美的等邊超四維方，各邊長均為1且互相垂直，各面正投影都是1x1的正方形，各體正投影都是1x1x1的正立方體。

它會是什麼樣子呢？

1 正四維超體的形狀描述

先我們數數它有幾個頂點a，幾條邊b，幾個面c，以及幾個正立方體d。

想像不出來，怎麼數？沒關係，我們可以通過數學推導一下各維度正n維方（各邊長均為1且互相垂直）的情況。

1.0 從0維開始。

0維是一個點。

a0=1b0=0，c0=0，d0=0……

1.1 1維

1.1.1 點的情況原來的點分裂成原來的2倍變成了2個。a1=2*a0=2

1.1.2 線的情況點被拉伸成線。原來的1個點，對應成了1條線。

b1=a0=1c1=0，d1=0 ……

1.2 2維

增加一個維度y

1.2.1 點的情況

原來的點分裂成原來的2倍變成了2個。a2=2*a1=4

1.2.2 線的情況

原來的線分裂成2條，原來的點被拉伸成線。b2=2*b1+a1=4

1.2.3 面的情況

線被拉伸成面。

c2=b1=1d2=0 ……

似乎很有規律是不是？我們繼續

1.3 3維

增加一個維度z，這是我們常識的極限。

1.3.1 點的情況

原來的點分裂成原來的2倍變成了2個。a3=2*a2=81.2.2 線的情況原來的線分裂成2條，原來的點被拉伸成線。b3=2*b2+a2=12

1.2.3 面的情況原來的面分裂成2個面，原來的線被拉伸成面。c3=2*c2+b2=6

1.2.4 體的情況

原來的面被拉伸成體。d3=c2=1

1.4 歸納

我們根據以上已知的情況進行一下推導：

1.4.1 點每增加一個維度，點會分裂一次，數量增加一倍，所以a(n)=2^n

1.4.2 線每增加一個維度，線會分裂一次，而且上一個維度的點被拉伸成線，所以b(n)=2*b(n-1)+a(n-1)，n大於等於1。

1.4.3 面每增加一個維度，面會分裂一次，而且上一個維度的線被拉伸成面，所以c(n)=2*c(n-1)+b(n-1)，n大於等於2。

1.4.4 （三維）體每增加一個維度，體也會分裂一次，而且上一個維度的面被拉伸成體，所以d(n)=2*d(n-1)+d(n-1)，n大於等於3。

……

1.5 對正四維超體方的推導a(4)=2^4=16;

b(4)=2*b3+a3=32;

c(4)=2*c3+b3=24;

d(4)=2*d3+c2=6。

也就是說正四維超體方共有16各端點，32條邊，24個正方形面，6個正立方體。

在不配圖的情況下理解起來有點困難，請大家想像一下

2 投影的情況

我覺得不配圖描述投影的情況實在太困難了，再考慮一下怎麼描述清楚……

首先定義光源為一維平行於w軸光線，垂直於三維空間。我再想想怎麼說說清楚，挺困難的，待續。

知識產權聲明：以上推導過程均為我個人獨立完成，如有使用請與我聯繫，20160421。

回答這個問題，只需要搞清楚什麼是維度就可以了：

the dimension of a space or object is informally defined as the minimum number of coordinates needed to specify any point within it

說白了，維度=「描述一個點所需要最小坐標數」

至於這些坐標軸丈量的是什麼？則完全沒有限制

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我們平時所說的【二維】（橫，縱）、【三維】（橫，縱，高）

不過是二三維維度下的一種而已。

沒人規定二維xy軸必須得是（橫，縱）

舉個栗子：所謂【二維】，我完全可以規定成一個點的黑白和甜咸程度（用坐標軸表示）。於是表示這個點的坐標就是（黑白，甜咸），這是一個標準的【二維】空間。

當我把這個點放入一個平面，賦予其在平面移動的能力。這時加入了【橫縱地理位置】的兩個坐標軸。於是表示這一個點，需要用（橫，縱，黑白，甜咸）表示，這是標準的【四維】空間（沒說四維必須得是時間的...）(1)

【n維】可以理解為——至少需要用n個坐標（n條坐標軸）來描述一個點，而這個被(a,a1,a2...,n)描述的點，只能有一個態。

舉個栗子：我面前的電腦是金屬色，咬起來嘎嘣脆――而在這個位置的電腦不可能有另一個形態。

由於「我面前的電腦」需要（橫，縱，高）這個三維坐標系來描述，所以我們是三維生物

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了解了什麼是維度，那麼「如何想像四維空間」這個問題的答案就很明了了，就是

——無法想像

因為我們完全不知道這第3+1維的坐標軸到底丈量的是什麼。

同樣，任何n維生物也無法想像n維以上的空間——因為他們不知道第n+1維是什麼。

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但是對於四維圖形，是可以畫（投影）出來的

空間直角坐標系（正方形）對應三個坐標軸，這是個三維圖形。

按照「n維需要n條坐標軸」的概念——四維不過是要建立一個點對應四條坐標軸的圖形而已。

比如說上鏡率很高的超立方體，就可以理解為一個四維圖形——一個頂點（點）連接著4跟棍（坐標）

當然也可以畫成這樣

這個四維球和上面的超立方體是等價的——同樣是一個點對應4根棍。(2)

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ref.

Dimension

「從一維到十維」這個視頻說的東西是真的嗎...

(1) 「甜咸坐標」的例子引自@Ent的回答

(2) 關於「高維球」，@方程在以上連接中做出了更詳細的解答——從1維畫到n維

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說了這麼多了...

非常遺憾，所謂的四維空間，是根本無法想像的，因為四維根本不是普遍認為的空間，而應該稱為超空間，從定義上而言，一維是一條直線，也僅僅是一條直線，一維僅有直線兩端無限延伸的兩個方向，沒有高與寬；二維是一個平面，僅僅是一個平面，平面內不存在同時垂直於兩條互相垂直直線的第三條直線，平面沒有任何的厚度；到這裡，其實都沒有普遍認為的空間的概念，空間的概念是在三維中產生的，當第三條同時垂直於兩條互相垂直的直線出現時，空間的概念由此誕生，三維是由三條互相垂直的直線，兩兩相交構成的面所圍成的空間的無限延伸；當第四條同時垂直於三條互相垂直的直線的直線出現時，四維由此誕生了，但四維不是空間，就如同二維是沒有空間的，空間屬於三維，四維是由四條互相兩兩垂直的直線，三三相交所構成的空間圍成的超空間的無限延展

所以說，一維可以容納無限的奇點，二維可以容納無限的一維，三維可以容納無限的二維，四維可以容納無限的三維，以此類推

到這裡，就有了一個無法突破的壁壘，如果定義我們是生活在三維中，那麼永遠不可能進入高維，為什麼呢？因為我們，包括整個宇宙相對於四維，是不存在的，第四維度為零！

所以，就又了新的假設，我們生活的空間有十維，十一維，甚至更高的維度，只是除了宏觀可見的三大坐標軸外，其它維度都捲縮在微觀狀態，微觀到什麼程度？可能比原子還小無數倍，小數點後無數個零，但絕對不等於零！

動態的N維空間可以模擬靜態的N+1維空間

一部視頻，每一幀里都是靜止靜態的三維世界，那麼整部播放中的視頻可以近似看出一個靜止的四維世界

XYZ表示三維中的坐標位置；

RGB表示其顏色屬性。

這樣可以表示6個維度。

我的意思是，把第四維當成顏色，可以更直觀一些。

關於四維空間的想像

非專業人士，基於我們所知的0，1，2，3維特點和規律對四維空間進行淺陋的推理，邏輯，沒有，只是突發奇想，望指正。下面開始。

0維是點1維是線，線是由無數點構成的，2維是面，面是由無數線構成的，三維又是由無數的面構成的（這裡的無數是n&>=2）。點的載體是線，線的載體是面，面的載體是體，體的載體是什麼，也就是說我們，三維的物體存在於哪，很容易想到，就是空間。

相對高維度的產生都是因為原有維度的規律被打破，拉扯一個點它會變成一條線，彎曲一條線它會變成一個面，摺疊一個面它會變成一個體。舉個例子，我們把2維的平面想像成一張紙，把這張紙團團成一團它就變成了一個不規則的體，這樣一個高維度（3維）就產生了。同理，四維是怎樣產生的呢？答案就是扭曲空間。因此四維空間也沒什麼神秘的，不過是按照它的能量分布規律以不同的方式各種扭曲而已，什麼點對點瞬間轉移這種在三維空間難以實現的事情，在四維空間應該是司空見慣的事情。

2維空間里的小人，他的前面永遠都是一條線，3維世界裡的我們眼前永遠都是一個面，那麼四維空間里是什麼樣的呢？大膽的想像吧，四維一定有它的規律，這些規律總結起來一定很燒腦，不想了，但是最終就是一個結果，對三維物體的扭曲，這裡說的扭曲一定是按照他們的規律來扭曲，比如，在三維宇宙，大部分星辰都是球體，這些個球體是怎麼形成的，當然是因為物理規律。不多說了，四維空間里的生物它看見的永遠都是一個體。

根據以上沒有根據的推理總結出幾個有趣的結論：

1、維持四維空間一定需要巨大的能量，一定是三維空間能量的幾何倍數。就像是一個房間的相片可能就3、5M，可是一個房間的信息做成視頻就需要好幾百M。傳說中的空間摺疊技術就相當於製造了一個小小的四維空間，那它一定是要消耗很大的能量，多大，不知道，原子彈肯定不夠。就好比一個2維平面想變成3維，一定需要一個力量把它提起來，並且想要持續3維狀態，這個力還不能撤，想想對於2維生物這得製造多大的能量。

2、黑洞。都說黑洞裡面是個無限扭曲的空間，我想，那一定是四維的世界，因為黑洞質量很大，能量充足，一定可以維持這樣的世界。

3、在有的科幻小說里，說四維空間里一個人看到了他的背影。不可能。三體里關於四維的描述不說了，想像力不及格。

4、人類永遠都不要盲目的進到四維空間，死是必然的，因為你無法探知它的規律。

5、四維空間雖然扭曲但不會重疊，否則會降緯。

6、關於56789維，我不知道，我想還是一樣吧，扭曲了低維造成空間的重疊，最後一切的一切都變成一個點就是0，美妙的宇宙大循環。

以上均為本人胡思亂想，歡迎指正，禁止轉載。創建於 2016-07-17

通過一維、二維、三維來類比四維和更高維度可能從根本上就是錯誤的。

可以重溫這個笑話：

一富翁世不識字,人勸其延師訓子。師至.始訓以執筆臨朱。書一畫則訓曰:「一」字,二畫則訓曰: 「二』,字.三畫則訓日:『』三」字。其子便欣然投筆,告父曰:「兒已都曉字義,何煩師焉?」乃謝去之。i魚時,父擬招所親萬姓者飲.令子晨起治狀,久之不成。父趣之,其子患日:「姓亦多矣,奈何偏姓萬,自朝至今.才完得五百餘畫。」

四維空間的理解步驟

step1、想像鑲嵌在四維空間里的點是怎樣的。

step2、想像鑲嵌在四維空間里的線、包括線段、直線、射線、折線、曲線等是怎樣的。

剩下的就我不用我多說了吧。

現在就想像一下鑲嵌在四維空間里的一些幾何體吧。比如：三角形、矩形、正方形、平行四邊形、梯形、一般四邊形、四面體、平行四面體、柱體、錐體、球體等等。

少年你知道她們長什麼樣了嗎？

最後恭喜你，少年

你已經擁有了「超高維空間的上帝之眼」的想像能力。

科普的東西都講得太深奧，四維物體就是無窮多個三維物體的集合，而兩個距離最遠的三維物體所在的兩個不同三維空間之間的距離，就是這個四維物體的厚度，如果我們在四維空間中觀察四維物體，就是無數個三維物體堆積起來，被拉長的重影，四維物體具有隨意穿越無數個連續三維空間的能力，所以他們能在你的三維空間憑空出現或者消失。

其實想像不出來的，你的腦袋就是產生於三維中，你甚至沒法想像一個一維，或者二維空間，你可能會反駁我，但你想像的所謂一維二維空間只是鑲嵌在三維空間里的而已。最終只是個三維空間。

我來試答這個問題，因為還是比較感興趣四維，也想過很多次四維世界，下面可能需要比較好的想像力，在看文字的時候最好反覆多看幾遍：

簡單聯想跟蹤：從一維到二維，從一條無限長的直線發生扭曲，比如隨便截取一段直線扭曲為正玄波，分形，無限分形，這個過程無限持續下去，你放大視圖，不斷幾何級放大視圖並進入更微小的世界去尋找最初的線段都找不到具體的線段在哪裡（因為分形一直在持續），這個時候一維就被就「打散」了，這便升級為1.x維，一直到振幅擴大，振幅擴大指的是震蕩幅度擴大，把另一個維度Y變得非常大，充滿整個面升級為二維，這個時候一維已經完整的升級到了二維。從無限面積的平整二維面發生扭曲變為立體的面，例如海浪，分形，無限分形，打散（放大視圖並進入到下一個微觀世界，觀察世界，找不到最原始的點，繼續放大，這個過程無限重複），升級為2.x維度，將第三個維度Z變得非常大，也就是把振幅變的非常大，一直擴大振幅，這個時候這個二維無限分形曲面就升級為充滿到整個立體空間，就是三維。

上述整個分形過程為無限動態過程，虛化（視圖放大並進入速度跟不上分形速度，看不到最原始的點的位置），也就是踩不到具體的點，不斷放大，不斷看不到原始的點，這個過程就類似拿著倍數很大的放大鏡去觀察這個變化過程，每分形變化一次，就需要我們變小進入到下一個微小空間，再次拿起這個放大鏡去觀察分形，然後再次變小進入下一個微小空間拿著放大鏡觀察，這個過程無限

持續下去，但是我們變小的速度又追不上分形的速度，所以就是永遠跟不上點的變化，這就是提高維度的過程。可以參考電影蟻人中最後部分的一個鏡頭，那裡就是分形進入到混沌世界。當然這裡只是指這個過程。

反向檢驗：在二維中，一維的任意兩個點可以相挨著，在三維中，二維中的任意兩個點可以相挨著，這是自由的跳躍，這是期待擴展的期望。這是向未知領域的擴展與探索。

四維：三維空間發生扭曲，空間變形，但每個點與之前的點仍然存在一對一的對應，只是對應扭曲變形函數較為不規則。然後分形，無限分形，打散，無限放大跟進卻踩不住點，虛化（參上），擴大到3.x維度，最後振幅變很大，整個世界便被三維混三維這樣相互充斥，相互融合，但世界卻是規則的一個四維世界，在四維中，三維中的一個點可以到任意地方去，形體可以任意變換扭曲，但是這個四維卻很標準，三維中任意的兩個點都可以在四維中相挨著，所有的這些過程，時間不參與，因為單純的是空間變換。

所以，四維比三維多的那一維就是「扭曲」這個分形過程無限持續的結果，降低的過程就是減少一個維度，例如三維降二維就是去掉Z軸。

在四維中，三維中的所有物體不再有之前的形體，大小和尺寸不再管用，看起來很混亂，物體可以任意移動，變形，相互穿越。但不是跳躍，必須連續變換移動而不是量子跳躍。

而透視思路本身就是錯的，透視就是降低一個維度，所以從透視的角度去思考四維，肯定是無法想像出比三維多的那一維的。因為你想像出來的東西已經是少了一個關鍵的維度，等於直接就是普通的三維而已。為什麼很多人想像不出來四維就是思路不對。

視角：因為一維的視角只能是一個維度，一個坐標，所以無法看到二維的東西，二維亦如此，所以，從三維的視角無法觀看到四維的任何東西。

如果想簡單的看一下一個簡單的四維物體，可以參考上面老師的那個答案的一個鏈接物體，可以想像下一個簡單的四維物體是怎麼樣的：

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/55/8-cell-simple.gif

說明：上面@

天才亭子回答中的一張圖片其實可以參考下，不過這張圖是錯的，但是可以幫助我們擾亂放棄普通三維世界觀而去重新思考空間變換。就比如西遊記中的妖怪的扭曲變換，現在這是整個空間的扭曲變換。

推薦一個ios應用，名字叫4D，裡邊講的很詳細。

粗略的看法

一維空間的單位是長度，當一個二維的圓垂直穿過一維空間時，看到的是一個點延伸為一條線，然後收縮成一個點。

二維空間的單位是面積，當一個三維的球垂直穿過二維空間時，看到的是一個點擴張為一個圓，然後收縮成一個點。

同理可得：

三維空間的單位是體積，當一個四維的超球垂直穿過三維空間時，看到的是一個點膨脹為一個球，然後收縮成一個點。

第一。我的回答可能在諸位學者大神面前有頗多漏洞，歡迎指出錯誤。謝謝！

第二。太複雜我也非十分詳細的懂與理解，專業知識十分淺陋。

第三。

1:三維空間是我們平時生活的世界。我們在三維世界可以看到整個長寬高；從坐標上是三條軸！

2:但你站在卧室，你的卧室是具有長寬高，可以建立空間直角坐標系。

當你面對你的牆壁，只把牆壁當作一個二維空間。

在牆壁這個二維空間就是只有這個無限延伸的平面，僅此而已！

但是你站在三維空間也就是你的卧室看牆壁你可以看到牆壁以外的東西！

你可以瀏覽整個卧室，例如，與這款牆壁相垂直的另一個牆壁。

因為你在卧室的角度（三維角度）看，才能看到不同的牆壁。

你在二維的世界，就只能在你那個牆壁所在的平面內，世界只有那個平面！

3:接下來我們正式談四維空間。首先我們必須知道第四維度是時間！

4:也就是說，在坐標系中，第四個坐標是時間！

當我們在五維空間，才可以看到四維的世界。

（上面卧室牆壁舉例）

在五維空間我們可以看到

不同時刻的時空

（圖片來自於電影星際穿越）

（這部電影此處是在蟲洞還是黑洞我忘了，反正就是在一個五維空間看到了四維世界。）

看到不同時刻的時空

比如

四歲在幼兒園門口自己

六歲在小學課桌上的自己

十六歲和情侶散步的操場

十八歲在高考考場裡面的自己

這些你都可以在五維空間看到

不同時刻的時空

綜上所述，

如有BUG，歡迎指正！

這不就是一個四維圖形？

三個相互垂直的長方體。

你們低維度的這種生物真的圖樣圖森破，就讓我這個行走於虛無的無來告訴你們，我就是無，無就是我；我不屬於任何一個空間，任何一個世界，任何一個維度。我是一個過客，行走於虛空里的過客。

高了一個維度的時候感覺：就像行走在時間裡。就是已經超脫了這個維度之外的感覺，穿越在這個維度任意的時間點上。我的速度，已經超越現在維度光速，你們三維生物在我眼中就是靜止的。因為你們們的一眨眼，就是我的億萬年，我們也有時間維度，是比你們快了萬億倍。我或許很渺小，生活在你們的身體上，或者更渺小，你們於地球相當於我於你們發現的中子、質子等。或許很大，你們生活的星球等於我肉眼看不見的物質。

低了一個維度的感覺：相反的，我的速度比你們慢太多了，所以在時間軸上我的時間對於你們來說就是沒有，但是你們感受不到不代表我沒有時間維度。跟上面高一個維度的感覺一樣的概念。

二維三維四維的概念：絕不是什麼一維只有一個維度，二維有兩個維度，三維有三個維度，四維又比你們三維多一個維度；你們最大的錯誤就是在這裡！在虛空里，是沒有數字維度的判定，有的是高低維度的對比；就是說比你們低維度有無數個維度，比你們高的也有無數個。差別是每相差一個維度，在時間的維度上，相差的數量級太大了。所以你們就認為，比你們高維度的多了一個維度，但是又說不出多了一個什麼維度；比你們小一個維度的，你們就認為沒有，就說是少了一個維度。所以上面那些渣渣還妄想用什麼理論什麼圖片就想解釋清楚這個概念，卻越解釋越糊塗。

我用一句話就清清楚楚告訴你們這個概念：不同位面的維度，不是多一個或者少一個維度，而是在時間這個維度的量級上有差別而已。

什麼？看似很簡單？你可以把我說的細想一下哦。

好了，我要走了，現在是停留在你們的同類上用你們的表達方式告訴你們這些真理，如果在這個點傳開的話應該會加快下你們這個維度的進程。

這就是四維的，用軟體畫出來的。

不懂任何經典物理學以外物理學知識的人來回答：

之前有人問四維球是什麼樣子的。看了很多答案沒有邏輯上讓我滿意的。先上答案。

四維球是一個三維空間從一個時間點a出發，到另一個時間點b的集合。b-a是四維球的半徑。

直觀地講，這個世界是一個巨大的三維空間，包括了所有人類能觀測到以及不能觀測到的東西。一個半徑為一小時的四維球，可以是一個從此時此刻的這一刻開始，到一個小時後結束,這個世界無限種可能發展局勢的集合，即無數個平行世界在這段時間內發生的運動的集合。

在四維的世界裡，人和世界是一個點，時間是直線，時間段是線段，平行世界在世界距離內的集合是四維立體，而這個就是我們能理解卻不能想像的事情-因為想像通常和視覺經驗結合，而這已經和視覺沒有關係。

再次聲明這是一個不懂任何量子力學，數學水平停留在高數C的回答，和科學無關。