數學高手在解題時，是形成了一種難以用語言表達的感覺，還是僅僅搜尋套用以前解過的題的思路？

12-29

如果是前者的話，你們是什麼時候和怎樣形成這種感覺的？
很想知道數學好的人和這方面天資平平的人在思維上有什麼差異，生活的決策是不是也用數學去構建的呢？

謝邀。

完全是套用以前或別人的思路。不存在所謂的「難以用語言表達的感覺」。

再牛的數學家也是在套用已有的思路方法。

數學能力的高低體現在套用的境界。大牛巴拿赫曾說：

A mathematician is a person who can find analogies between theorems;
a better mathematician is one who can see analogies between proofs
and the best mathematician can notice analogies between theories.
One can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies.

還有人說，解答數學題，就是把數學題轉化為已經解決的問題。＠祝風翔所引的 Polya 的計劃制定要點，也處處體現著這個意思。

沒有什麼神秘的靈感，最多就是套用得詭異，以致說不清怎麼套的。

我以拼圖來做個比喻：

上帝有一卷書，數學家們稱之為 The Book。此書被撕得粉碎扔給人類。數學家們做的就是把這書卷給拼起來。這比拼圖還難，因為我們都不知道這書原來長什麼樣子。比如這裡是目前可憐的一點成果：http://book.douban.com/subject/4107941/

拼圖大家都玩過。沒有人會在第一步去解決中間一塊碎片，如果有人這麼做，就算他聲稱自己有「靈感」，大家也一定知道他在忽悠。數學上倒經常發生這種事，比如這位老兄 http://arxiv.org/abs/1110.3465v1，而且還真有人信。

小學裡最基礎的數學，就像是在解決拼圖的四角和邊緣。越往上學，就像是越接近拼圖的中心。

那些已經拼好的部分，就相當於已經掌握的數學知識和思維方法，或者像是別人解決了的難題。

解答一個數學題，一定是基於已經掌握的知識；這就像加上新碎片一定是根據已經拼好的部分。

數學水平的高低，就如同一般人會根據碎片上的圖案拼，好一點的會根據碎片的顏色拼，優秀的會根據邊緣的形狀拼，而神級人物會根據碎片的紋理拼。

不管什麼水平，要正確拼上新的碎片，都需要對已經拼好的部分足夠熟悉。

體現在數學學習上，就是要對學過的東西深入理解，用過的方法熟練掌握。

體現在數學研究上，就是要對別人的工作反覆鑽研，完全消化已有的成果。

理解得淺顯，只能看到拼圖上的圖案；理解得透徹，就能看清拼圖的紋理。

有些所謂大牛，好像隨便想想就做出來了。他們拼上去的東西，怎麼看都像是信手一扔。

但人家能夠達到這個境界，是因為所學的知識已經融匯貫通，拼好的部分已爛熟於心了。

因此數學水平的提高，無他，唯腦熟爾。多玩玩拼圖，多總結經驗，自然就會越玩越好。

數學菜鳥斗膽答一次。

Polya在數學教育書系列How to Solve it中有一個《怎樣解題表》，很好的闡述了數學問題的一般解題思路。摘錄下來和大家共勉下。原文摘錄如下：

1.Understanding The Problem

First,You have to understand the problem.

What is the unknown? What are the data? What is the condition?
Is it possible to satisfy the condition? Is the condition sufficient to determine the unknown? Or is it insufficient? Or redundant? Or contradictory?
Draw a figure. Introduce suitable notation.
Separate the various parts of the condition. Can you write them down?

2.Devising A Plan

Second. Find the connection between the data and the unknown. You may be obliged to consider auxiliary problems if an immediate connection cannot be found. You should obtain eventually a plan of the solution.

Have you seen it before? Or have you seen the same problem in a slightly different form?
Do you know a related problem? Do you know a theorem that could be useful?
Look at the unknown! And try to think of a familiar problem having the same or a similar unknown.
Here is a problem related to yours and solved before. Could you use it? Could you use its result? Could you use its method? Should you introduce some auxiliary element in order to make its use possible?
Could you restate the problem? Could you restate it still differently? Go back to definitions.
If you cannot solve the proposed problem try to solve first some related problem. Could you imagine a more accessible related problem? A more general problem? A more special problem? An analogous problem?
Could you solve a part of the problem? Keep only a part of the condition, drop the other part; how far is the unknown then determined, how can it vary? Could you derive something useful from the data? Could you think of other data appropriate to determine the unknown? Could you change the unknown or data, or both if necessary, so that the new unknown and the new data are nearer to each other?
Did you use all the data? Did you use the whole condition? Have you taken into account all essential notions involved in the problem?

3.Carring Out The Plan

Third. Carry out your plan.

Carrying out your plan of the solution, check each step. Can you see clearly that the step is correct? Can you prove that it is correct?

4.Looking Back

Fourth. Examine the solution obtained.

Can you check the result? Can you check the argument?
Can you derive the solution differently? Can you see it at a glance?
Can you use the result, or the method, for some other problem?

中文的翻譯如下：

1.弄清問題

首先你必須弄清問題

未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？
滿足條件是否可能？要確定未知數，條件是否充分？或者多餘？還是矛盾？
畫一張圖，使用恰當的符號。
理清不同的條件，試著把它們都寫下來。

2.擬訂計劃

找出已知數與未知數之間的聯繫。如果沒有直接的聯繫，就必須先考慮輔助性的問題。最終你應該得到一個求解計劃。

你以前見過它嗎？你是否見過相同的或形式稍有不同的問題？
你是否知道與此有關的問題？或者一個可以用得上的定理？
看著未知數，試著想出一個有相同或相似未知數的熟悉問題。
如果有一個與現在的問題有關並且早已解決的問題，你能否利用它？能否利用它的結果或方法？為了利用它是否應該先引入某些輔助元素？
你能否重新敘述這個問題，儘可能地從不同的角度？很多時候你必須回到定義中去。
如果你不能解決所提出的問題，可以嘗試先解決一個與此有關的。你能否提出一個更容易著手的相關問題——像是一個更普遍的或者更特殊的，或者一個類比的問題？
你能否解決這個問題的一部分？僅僅保留條件的一部分而捨棄其餘，這樣對於未知數能確定到什麼程度？它還能怎樣變化？你能否從已知數據推導出某些有用的信息？你是否考慮過用其它數據來確定未知數？如果需要的話，你能否轉化未知數或數據（或者二者同時），以使得新未知數和新數據聯繫更緊密？
你是否利用了所有的已知數據？你是否利用了全部的條件？你是否考慮了問題中包含的所有基本概念？

3. 實行計劃

實行你的計劃。

實現你的解題計劃，檢查每個步驟。你能否清楚地看出這一步驟的正確性？你能否證明？

4. 回顧

驗算所得到的解。

你能否驗算這個解？能否解決爭議？
你能否用別的方法得到這個解答？或者你其實能夠一眼就看出它來？
你能否把本題的結果或方法應用於其它的問題？

參考文獻：

[1] [Pol57] G. Polya. How to Solve It, Second Edition. Princeton University Press, 1957

[2] 胡伯濤《最小割在信息學競賽中的應用》2007年國家集訓隊論文。

作為數學系的學渣，就描述一下自己做題時的感受吧

碰到一道題，看清題目條件結論，第一步就是考慮是不是做過類似題目，是不是有統一處理方法，是不是某個定理可以完成第一步或者最後一步，假如答案是「是」，那後續就是去看那個題目/方法/定理怎麼用，條件怎麼轉化的事情了。

假如是「不「，我一般就會仔細考慮一下題目描述的情景，想想有具體的數學對象就在眼前，考慮一下要證明/計算的東西在哪裡，問一下自己知道了什麼就可以知道什麼，一般大部分時間這種題目最後的結局是去問大神，但是偶爾有那麼一兩次可以通過自己思維搭好橋，這應該就是所謂的難以描述的感覺吧。

我覺得對於有些題，是有一種難以言表的感覺的。

固然，解法可以用嚴格的數學語言敘述出來，但解法的形象理解、背後的直覺，卻不容易用語言傳達。

從解法的讀者的角度來看，如果讀者也是高手，他可以很快看懂解法背後的直覺，甚至不需要認真讀每一個式子，就能理解解法。如果讀者是初學者，很可能完全被式子牽著鼻子走，感覺不到背後的思路，也會覺得有些地方特別跳躍。

而形象理解、直覺這些東西，往往需要自己在數學世界中摸爬滾打一段時間後才能獲得，難以僅通過聽別人講授的方式學到。

事實上很多事情的「經驗」都是如此。譬如做飯，好的廚師不需要量具也能把握各種材料的量，不需要鐘錶也能把握火候；而初學者拿著精確的菜譜也不一定做得好菜。

僅僅搜尋套用以前解答過的題目思路

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這個題目應該理解廣泛一些，不宜局限於具體的題目。

比如第一次接觸無窮維的問題，先想想有限維的結論。

第一次接觸複分析的時候，先想想實函數。

……

當大腦的整個活動快到了一定程度的時候，就成了難以用語言表達的感覺。

謝邀。

大學並不學數學，但自學了一學期高數，也參加了市裡的競賽，但大多時候注重的是理論，只能說說高考之前做數學題的感覺。

解題時最大的感受就是知道出題人的套路，注意是套路，而不是知識點，比如數列的題目，數列就那些知識點，記住了並不困難，但要熟悉出題人的套路就得有點靈性了。

總而言之，你一眼望穿出題人的套路後，不困這題步驟有多少，計算量有多大，你只要堅定信念就可以了。

最難的題目是哪種你摸不著套路的，放心，這類題目一般只會在競賽中遇到，人家出題人也是苦思冥想好久的。

對於這類題目，引用數學帝葛軍的一句話（我是江蘇的，不知道別的省的同學有沒有聽過他，反正在江蘇葛軍就是神一般的存在）：解數學題是有許多方向的，不一定每一條路都能走得通，但你每一個方向都必須去嘗試，值到把這條路走通了。（大意如此）

如果做難題時你能產生一種山重水複疑無路，柳暗花明又一村的感覺，那往往是最幸福的。

曾經全國大學生數學競賽裸考省級3等獎的來弱答一記。

其他人我不知道，我自己的通用解決問題的方式（注意這裡是解決問題，不是指單純做題）是這樣的：

1 分析線索：我已經有哪些線索了？

2 分析結果：結果需要我解決什麼問題？

3 已有線索是否能夠解決問題？

4 如果能，如何組織利用線索？

5 如果不能，還缺什麼樣的線索？

6 所缺線索是因為我還沒找到，還是因為它已經呈現在我眼前但我沒有意識到它是線索？

7 針對6，重新審視問題。

這是正向思考

逆向思考是這樣：

在答主的思維方式中，會將擁有的線索看成此案，問題的最終解決當做彼岸，解決問題的過程就是修一座從此案到彼岸的橋。那麼實際上可以從問題出發：最終步（問題解決）-&>逆推一步（這一步是怎樣的結果？）-&>再逆一步（這一步又該是怎樣的結果？）....-&>逆推至已有線索

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OK，以上是答主在解決問題時經常使用的一個思維模式，說是經常使用的意思是，在某些特殊問題情景中也會有些其他的變通，這個實在不知道應該怎麼用言語描述，就略過吧。

重新回到題主的問題上來，數學解題一個很重要的事情就是要總結方法，這裡的方法就可以歸類到經驗裡面去，事實上答主當年考研備考時數學就經常注意推廣一些結論，從特殊推廣到一般，這樣再碰到相似問題時會極大提高解題效率。而當你碰到的多了，總結的多了，腦子裡面裝進去的東西多了，很多問題都會自然而然的產生思路，這就是中國的老話：熟能生巧。答主考研的複習後期，很多數學題一看就知道該怎麼做，思路自然產生，我也不知道為什麼會產生這樣的解題思路，但我知道這樣做肯定對，這或許就是題主所說的那種難以言表的感覺吧。套用福爾摩斯的一句話：如果你把1000個案子都研究透了，那還有什麼案子能難住你呢？

這是一個很有意思的問題。波利亞的解題方法只是數學理論中的一支，他的理論被後人不斷的補充和發展。並不是在解決每個問題時都要簡單的按照那條路來走的。擴展的理論里就有一種叫「街頭格鬥數學」，講究的就是快速的反應，顯然與按部就班的方法大相徑庭。

專家在解題時，首先識別出來這道題的特徵（pattern recognition），然後根據特徵提取出對應的解題思路。圍棋高手下圍棋也是如此。他們平日看棋譜就是這個過程的準備。

一些數學家追求的境界是solve problems intuitively ——即根據直覺來解題。數學家能這樣做的原因是他們身經百戰（額，續一秒）。在我們看來是很難的題，他們會覺得簡單，用直覺就可以解決。這種題叫excercise。其實我們在面對簡單問題時也是用直覺就可以找出解題思路。

那麼問題來了，如果遇到困難的題——problem——的時候怎麼辦呢？答案是類比、歸納和猜想。

數學家是能夠發現定理之間的聯繫與類比的人，一個更好的數學家能夠發現證明之間的相似性，而最好的數學家能夠注意到理論之間的相似性。終極數學家能夠發現類比之間的相似性。

——波蘭數學家斯特凡·巴拿赫

正確的數學思維的核心是認識到：數學的本質是要在已經解決的問題的基礎上，通過化歸的手段把新的問題轉換成已知或者已經解決的問題。

為了形象的闡述上述內容，我們可以先來看一個關於數學家的小笑話。一個工程師和一個數學家被帶到廚房裡，給他倆每人一個空的水壺，並讓他們各燒開一壺水。工程師和數學家都擰開了水龍頭，把水壺灌滿，然後把壺放在爐子上，將水燒開。第二天，他們又被帶到廚房裡去了，這一次，給了他倆每人一個裝滿水的水壺，讓他們把水燒開。工程師直接把壺放在爐子上，把水燒開了。數學家想了想卻把壺裡的水倒掉了，這樣就變成了一個他已經解決過的問題。
雖然從一個普通人的角度去看數學家的做法很可笑，但是它卻形象得表達了數學家們是怎樣思維的：他們通過類比、歸納、聯想的方法，在不同的問題之間找相似性，從而把新的問題轉化成已經解決的問題。其實這種解決問題的方法不僅僅適用於做題，還被應用在數學的創新發現當中。數學大師歐拉就是通過一步一步的歸納和猜想，最終發現了凸多面體的歐拉公式（頂點數-棱數+面數=2）。
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http://weixin.qq.com/r/HT8HH0zEmxHkrQh892oP (二維碼自動識別)

高中的時候我們學校數學霸王級人物，幾乎無題不會，考試基本在滿分徘徊，老師同學們都認為他聰明，思路開闊，恰巧我媽媽和他媽媽是同事，高考過後去他家做客，見了他做的兩麻袋數學題後，我知道了真相。

兩者都有，只靠思路不靠感覺的那是計算機，只靠感覺不靠思路的那是外行人

（別點贊同了！！！）

轉：

一天，一直埋頭搞理論的數學家覺得自己已受夠了數學，於是他跑到消防隊去應聘說他想當消防員。

　　消防隊長說：「您看上去不錯，可是我得先給您一個測試。」

消防隊長帶數學家到消防隊後院小巷，巷子里有一個小店，一隻消防栓和一卷軟管。消防隊長問：「假設小商店起火了，您怎麼辦？」數學家立即回答道：「我把消

防栓接到軟管上，打開水龍，把火澆滅。」消防隊長說：「完全正確！最後一個問題：假設您走進小巷，而商店沒有起火，您該怎麼辦？」

　　數學家疑惑地思索了半天，終於答道：「我就去放火把商店點燃。」消防隊長大叫起來：「什麼？太可怕了！您為什麼要去放火？」數學家回答：「這樣我就把這個問題化簡為一個我已經解決過的簡單問題了

這種形而上學的問題好討厭啊

你乾脆問怎麼成為牛頓吧

同意前面@祝鳳翔所說。補充：

1）G. Polya的解題方法有一本中文翻譯，就叫《怎樣解題》，上海科技教育出版社。回到主頁君的問題：其中步驟1：理解問題和步驟3：執行計劃基本上是嚴謹的推導。但是步驟2：擬定計劃，其中有很多都是「難以描述」的感覺，所以才會有類似阿基米德「Eurica!」這樣的驚喜。

2）有一本《數學天賦》（基斯.德夫林，上海科技教育出版社）認為，許多計算能力不是學來的，而是天生的。例如狗接飛盤的路線基本跟微積分模擬的一致、鳥類導航的計算等。（人類也有天生的計算能力，不過被人類超強的學習能力掩蓋了。我的理解：這些計算用的不是軟體，而是硬體或固件）。也許這就是主頁君所說的難以描述的部分吧。

解題既是感覺也是思路。

實際上，感覺與思路並無本質區別，至多是預判的成功率大或小，或者預判的步數多與少，都需要聯想和試探。

感覺或思路都可以用語言表達，但說的太細緻，會顯得「啰嗦」。而且其間摻雜私貨，帶有個性的想像色彩。即使結果相同，許多人的思路也是不同的。

沒有做過題的人，就不會有思路。做題越多，思考越多，肚子里存貨就越多；記憶調度越迅速，聯想就越快，試探就越迅速。

總之，世上沒有一蹴而就的天才，只有平地而起的高樓，解題也是一樣。世上沒有說不清的道理，只有肚子缺乏墨水的人，解題也是一樣。

同濟大學第五版的高數書上，不定積分那節，編者說，怎麼解題呢？多看多做。其實，都是根據已有的方法來解題，所謂靈感，只不過是從前見過的方法的變相再現罷了。

人和人之間在思維模式上存在很大差異。

樓主的說話，與其說感覺，不如說是一種思維經驗。因為如果是套用，也要能聯想得到可以套用的例子。你說的那種數學高手，偏向抽象思維，可以從數字和符號中一路推斷，並聯想到原來的例子、經驗和思維，從而套用，甚至直接摸索出結論。而擅長具象思維的人就很難從單純的數字和符號中推理得出結論，具象思維的人是從文字和圖形中展開聯想，從而形成結論。地球人都知道，漢字是典型的具象思維形式。

數學、物理高手、高級工程師是這樣的：

1）不知不覺在套用已有的思路和經驗。

2）如果經驗不管用了，會考慮其他思路，或者和同行討論。

3）不管什麼樣的思路，必須每一小步都能用邏輯對自己說得明白。

4）有的科學家無法理解有的人的邏輯思維為什麼那麼差。其實就是興趣不高，方法不得當。

解題的過程沒有什麼難以表達的感覺，但很投入，不會去想別的事情。

藝術大師：

1）藝術是難以用語言表達的感覺。

2）如果非要表達，至少有一部分是此人完全屬於自己的感覺。

3）製作藝術品過程中如果每一步都能用邏輯說得明白那是不可能的。

4）有的藝術家無法理解為什麼有的人對美的東西毫無感覺。

共通點：興趣、激情、習慣、經驗、難以表達的熱愛。

確實存在一些人，既不是數學邏輯高手，也沒有藝術細胞。

馬克思說過:「蜜蜂建築蜂房的本領使人間的許多建築師都自愧不如。」但是，即使是最蹩腳的建築師從一開始就比最靈巧的蜜蜂有高明的地方，他在建築大廈之前，已經在自己的頭腦中把它建成了。勞動過程結束時得到的結果，在這個過程開始時就已經在勞動者的表象中存在著。

我們在數學的學習中，在基本數學知識點，基本數學解體技巧中訓練出了蜜蜂的能力，但這是不夠的，當我們應對陌生數學情景，陌生數學題型時，應該像工程師一樣，讓最終結果在解體前就「觀念地存在著」，數學能力就是從這裡區分出來的。

那這種能力是如何培養的呢？合情推理，對，就是合情推理。數學的學習中有一句名言:唯首熟爾。就是熟練是第一武器，我們對數學的學習是需要不斷的重複練習去深化認識和理解的，當熟悉之後自然而然地就走上了創新的道路，先答到此，有事了，回頭再來補充。

只能拿出我湯老師了，在文都學過的都知道(圖侵刪)