y = |x| 是否為初等函數？

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對於這個問題網上有幾種看法，下面是截圖

(請無視原問題只看回答中對該函數是否是初等函數的意見)下面2個觀點貌似在圍攻第一個觀點啊，請問觀點一錯了沒有，如果錯了那麼錯在哪？順便問下若f(x),g(x)均可導，那麼它們的和，差，商，積，以及它們組成的複合函數在定義區間內是否也可導？(似乎在哪裡見過這個「定理」，也可能有類似的記錯了。)

先定義什麼是初等函數，然後這個問題自動變成顯然的。

說點無關的，其實初等函數是一個非常主觀的概念。比如我們認為三角函數算初等函數，但可能是因為我們生活在這樣一個牛頓力學可以很好近似的世界中。如果有某些生物生活在一個 hbar 很大的世界中，它們可能玩 Hermite 多項式，Airy 函數這些我們叫做「特殊函數」的東西跟我們玩三角函數一樣熟，反而覺得三角函數是不初等的（以上大概是在某本數理方法的教材上看到的觀點）

取整函數都是初等函數，這個太嫩了點，Abs[x]=(x^2)^0.5

圖片來源：【亂出題的都進黑屋！】慢增長整整數列的通項公式
原作者：LuoJi_1995的貼吧@Gee Law

關於複合函數的導數

圖片來源：學堂在線(已結課)分段函數在其定義區間內也不一定可導，如(cos[x]-1)^0.5

可導必連續
連續不一定可導
初等函數定義域內連續
基本初等函數的加減乘除複合是初等函數
基本初等函數是三角反三角指對冪函數

卧槽！這個問題！
我小學時思考過這樣一個問題：為什麼我們度量一組數據的離散程度時要用方差？把每個數與均值相減，得到的結果取絕對值求和再除以n（數據的個數）不是更好算嗎？
過程不表，總之獲得的答案是這樣的：因為方差可以表達為一個初等函數，初等函數在涉及微分等高級運算中比較簡單，而絕對值不行。
於是我就記住這個詞了啊！而且我們教材對初等函數的定義與上面那個答案里的圖片是一致的，截圖如下：

我怎麼就沒想到|x|=(x^2)^0.5呢！！
然而，我敢肯定，老師確實說了，|x|不是初等函數！這裡居然和定義矛盾了，發生了什麼？
這是一個非常棒的問題啊，我要馬克一下。這個答案可能沒什麼幫助，抱歉。

這算哪門子分段函數，根號下x平方。

樓主到底問什麼啊？一個關於是不是的數學問題，連定義都沒給出，讓人怎麼回答？

不管初不初級，連續不一定可導。還有處處連續處處不可導的呢。。

至於其他答案中上來先說是不是初等函數的，誰來給個初等函數的官方定義？

我可以理解百度題主的心情，看見答案里一句「根據初等函數的性質」，果斷就想撕書啊！不過我真心沒見過這種說法，這種教輔。撕了也罷。

複合函數的問題，除法在分母是零時不可導，其它情況下問題不大。

看到那個「一類正整數序列的通項公式求法」真的是大開眼界……
關於題主的問題，拿一本正經一點的數學分析書來都解釋一下吧。

關於導數的四則運算
複合函數求導
初等函數

以上全部出自陳紀修，金路，於崇華《數學分析》（上冊）
多說一句，看到題主的問題里提到了考研(不知道那個問題是不是題主提的)，如果題主是考研黨的話，時間比較緊，而且看題主問的都是基礎問題，那不如找一下身邊數學比較好的人一起複習，有問題問的比較方便，不用老是求助於百度知道、畫圖軟體、求極限軟體和知乎，不夠靠譜。
如果題主不是考研黨的話，誠心說一句，找一本正兒八經的數學分析書看看先。
btw在上面引用百度上搜到的書的pdf會不會有版權問題？現在書不在手邊……

同濟高數課本里定義的基本初等函數只有五種，冪指對三角反三角，而由其經過有限次的四則和複合（含求反）稱為初等函數。樓上有人說(x^2)^1/2是的，先來分析一下，冪函數的定義是x^a(a為常數)，至於取到無理數的情況，我也不是很清楚。接下來經過1/2方，冪函數的定義域已經變成了x&>=0了，不滿足冪函數的定義域條件。所以他無法由基本初等函數四則複合得到,不是初等函數，在0點不可導。