複合函數求導引發的疑惑？

12-28

我們先以一道題開場（我這裡以題來提出問題，並非完成作業與個人任務）

這道題，想了幾個做法，不知道2.3.錯在哪裡，望大家指出【問題一】
後來又碰到一個這樣的題

這下子，我一下子慌了。。。對導數和微商徹底糊塗了，

【問題二】真的很困擾，又牽扯到後面對隱函數的求導，一下子很迷茫，請大家指教，謝謝！

謝邀。
這種題目犯錯誤的主要原因，一般是沒有分清 f"(g(x)) 和 [f(g(x))]" 的區別。前者是f"(y)這個函數在y=g(x)處的取值，後者是 f(g(x)) 這個關於x的複合函數的關於x的導數。後者才是複合函數求導，才能用鏈式法則：[f(g(x))]"=f"(g(x))*g"(x)，而前者並不是複合函數求導。

你法二犯的錯誤，就是對f"(g(x))用了鏈式法則。
第三問中dy/dx，如果y指的是複合函數f(g(x))的話，那就是dy/dx=[f(g(x))]"。

另外我真的很煩在不同的地方使用同一個變數的人。如果是我寫，我會寫成y=f(t),t=g(x)，然後我會問f"(t)和dy/dx有什麼區別。同時用x來表示中間變數和最後的變數簡直有毛病，這簡直是故意製造混淆。。

如果我沒有看錯應該這麼求，你的法2要的是y=f(t),t=2的值

一言以蔽之

這二步對這個 $f(g(x)) = h(x)$ 求關於 $x$ 的導數， $f^{$ 此時求得的是一個未知函數 $h(x)$ 的導數 $h^{$ , 你把 $2$ 代進去，算的是 $h^{$ , 和 $f^{$ 沒有一毛錢關係

謝邀了，先佔個坑，明天來答

最近比較忙，現在來解釋一下題主的疑問。。

我就解釋一些f"(x) 與dy/dx 的區別吧，能把這個搞清楚，就能明白你的方法哪裡出問題，。。

其實這個也是很好理解的f"(-)這個導數按照導數的定義可以知道，導數是對括弧裡面的東西進行微分求導，而dy/dx這個可以明顯的看出來，它表示y對應的這個函數關於-量-x進行求微分，而對於y是否是直接關於x的函數沒有要求(雖然一般情況下都是直接關於x的函數)

看明白了上述的一頓胡扯，那就可以看看你的問題了
法一沒問題不看
法二明顯的錯誤就是上面提到的，f"(g(x))是對f求導，即是對g(x)求導，所以應該得2g(x)。
法三利用鏈式法則，是對h(x)=f(g(x))中變數x求導，至於題主所疑慮的g"(x)為零，大可不必擔心，在所有的非零點都可以約去，然後可以看到x=1點的值可以用極限得到。。。

至於f"(x)和dy/dx是否一樣？如果y=f(x)，那麼二者一樣，如果y=f(t)，t=g(x) ，則二者不同，dy/dx=f"(g(x))g"(x)，而f"(x)(此處是表示對f求導)是f"(g(x))。。

都沒有回答簡單明了說明問題講那麼高深有什麼用。
題目問你求f的導函數和某點導數，f是什麼函數，f將自變數映射到自變數的平方。你說f的導函數是什麼，在2處的導數是什麼。要搞清楚函數是個什麼東西，把定義域上的元素映射到了什麼。符號怎麼書寫不重要。
很多學生就覺得這概念是什麼鬼，又不會考的，只要懂看到題目的符號和數字怎麼按規則變形就變成結果了，就得分了。符號是個啥意思都不知道。最後學完了啥都不懂。

換未知數你就不容易出這種錯誤了唉:-(。樓上解釋的很清楚了。

@Yuhang Liu很多普通學生，我也是普通學生，都容易犯不知道對誰求導的問題以及變數混亂的問題，還請包涵。。。
另外有一個問題，關於複合函數求極限的問題，出自《數學分析習題課講義》：

沒看到這個之前一直以為只有第一中情況。如何證明？