矩陣A的特徵值與奇異值大小關係?

請問是否滿足:
最小的奇異值的絕對值最小的特徵值的絕對值/模長
最大的奇異值的絕對值最大的特徵值的絕對值/模長

是的。一個方陣各奇異值的模中的最大/小值，是它的特徵值的模的上/下界。證明如下：

設為任意方陣，其奇異值分解為。
其中、為酉矩陣；為對角陣，各對角元為的奇異值。

對於任意非零向量，考察。
。酉矩陣與向量相乘，不改變其模。
設的各對角元的模中最大的為，最小的為，則有。

對於的任一特徵值，設是它的任一非零特徵向量，則，。
於是有。

謝邀，借用個很強的結論極小極大原理，這個結論對於hermite矩陣都成立。

由於奇異值是hermite特徵值的非負平方根，然後把奇異值從大到小排列，有

最大的奇異值S1可以用第三個等式，k=1，這個時候 是全空間了，那麼式子就是 ，這裡遍歷了所有的x，所以是肯定比最大的特徵值的模還要大的。因為特徵值是是存在一個x，滿足 .

最小的奇異值Sn用第二個式子，k=n，即 ,同理，比所有的特徵值都要小。