行列式與矩陣之間的深刻聯繫是什麼？

12-28

只學過一學期線性代數，高代自學中，但被線代所刻畫的多維世界深深震驚。只會用行列式和矩陣照貓畫虎來解題，但冥冥中覺得二者之間有神奇的聯繫，想不清楚。
想聽聽數學大神的見解。

在線性代數中，行列式 (determinant) 是一個函數，它將每個 $n imes n$ 矩陣 $A$ 對於到一個純量 (scalar)，記作 $det(A)$ 。幾何上，行列式可以看成有符號的面體或體積在高維空間中的推廣。行列式在線性代數、微積分（比如說積分的換元公式）和實分析中都有重要的應用。

行列式有很多種不同的定義，最常見的定義是將行列式看成交替多線性形式。
定義1. 設 $K$ 是一個域， $M_{n imes n}(K)$ 是所有係數在 $K$ 中 $n imes n$ 的矩陣的集合。函數 $f:M_{n imes n}(K) o K$ 說是一個行列式函數如果它是交替 $n$ -線性的並且滿足 $f(I_n)=1$ 。
這裡我們將矩陣 $A$ 看成其列向量的 $n$ 元組 $A=(A_1,cdots,A_n)$ 。

行列式函數是存在的並且是唯一的。證明如下：
設 $e_i=(0,cdots,1,cdots,0)$ 表示 $K^n$ 第 $i$ 個分量為 $1$ ，其他分量為 $0$ 的向量。首先如果 $f$ 存在，由於 $f$ 是交替 $n$ -線性的，那麼有
$egin{align*} f(A)=f(sum_{j_1=1}^n A_{j_11}e_{j_1},cdots,sum_{j_n=1}^nA_{j_nn}e_{j_n})\ =sum_{j_1=1}^ncdotssum_{j_n=1}^n A_{j_11}cdots A_{j_nn}f(e_{j_1},cdots,e_{j_n})\ =sum_{sigmain S_n}mathrm{sgn}(sigma)prod_{i=1}^n A_{sigma(i)i}f(e_1,cdots,e_n)\ =sum_{sigmain S_n}mathrm{sgn}(sigma)prod_{i=1}^n A_{sigma(i)i} end{align*}$
這裡 $S_n$ 表示 $n$ 元對稱群， $mathrm{sgn}$ 表示置換 $sigma$ 的符號，注意我們有 $f(e_{sigma(1)},cdots,e_{sigma(n)})=mathrm{sgn}(sigma)f(e_1,cdots,e_n)$
然後驗證上述得到的 $f$ 是交替 $n$ -線性的就可以了。

因此，對於 $n imes n$ 的矩陣 $A$ ，它的行列式函數為：
$det(A)=sum_{sigmain S_n}mathrm{sgn}(sigma)prod_{i=1}^n A_{sigma(i)i}$

行列式有很多性質，一些基本的性質有：
設 $A$ 和 $B$ 為 $n imes n$ 的矩陣
1. $det(A^ ext{T})=det(A)$ ，這裡 $A^{ ext{T}}$ 表示 $A$ 的轉置
2. $det(AB)=det(A)det(B)$
3. $A$ 可逆當且僅當 $det(A) eq 0$

我們知道相似矩陣有相同的行列式，設 $V$ 是 $n$ 維向量空間，那麼線性運算元 $T:V o V$ 的行列式可以定義為 $det([T])$ ，這裡 $[T]$ 是 $T$ 在某個基下的矩陣。

不過理解行列式最好的方法是外代數，不藉助外代數（主要是楔積），證明行列式的任何基本性質都會比較凌亂。在外代數中，使用co-ordinate free的方式來定義行列式。要定義行列式，首先要定義向量空間 $V$ 的 $k$ -次外冪 (exterior power) $Lambda^k(V)$ ， $Lambda^k(V)$ 有很多等價的定義，這裡採用universal property來定義，這一定義比較簡潔，可以省略掉繁瑣的構造過程。

定義. 設 $V$ 是域 $K$ 上的向量空間， $V$ 的 $k$ 次外冪 (exterior power) 是一個向量空間 $Lambda^k(V)$ 和一個交替 $k$ -線性映射 $wedge:V^k o Lambda^k(V)$ ， $(v_1,cdots,v_k)mapsto v_1wedgecdotswedge v_k$ 使得對任何 $k$ -線性映射 $phi:V^k o W$ ，存在一個唯一的線性映射 $overline{phi}:Lambda^k(V): o W$ 使得 $overline{phi}(v_1wedgecdotswedge v_k)=phi(v_1,cdots,v_k)$ 。即下面圖表

交換。滿足上述條件的映射 $overline{phi}$ 的存在性叫作 $k$ 次外冪的universal property，我們把 $Lambda^k(V)$ 叫作 $V$ 的 $k$ 次外冪， $Lambda^k(V)$ 中的元素叫做 $k$ -向量。

這個定義相當的抽象，我們並不清楚這樣對象是否存在，如果存在，那麼是唯一的嗎？首先可以證明如果 $Lambda^k(V)$ 存在，那麼在同構意義下是唯一的， $Lambda^k(V)$ 的存在性也不是一個問題，它可以具體地構造為 $Lambda^k(V):=V^{otimes k}/mathcal{A}^k$ ， $V$ 的 $k$ 次張量積除以一個子空間的商空間，這裡 $mathcal{A}^k=operatorname{span} ({v_1otimes cdots otimes v_kin V^{otimes k}: ext{存在} i eq j ext{使得} v_i=v_j})$

使用 $k$ -次外冪的universal property可以得到 $Lambda^k(V)$ 的一些基本性質：
1. $Lambda^k(V)=mathrm{span}({v_1wedgecdotswedge v_k:v_1,cdots,v_kin V})$
2. ${v_1,cdots,v_k}$ 線性無關當且僅當 $v_1wedgecdotswedge v_k eq 0inLambda^k(V)$
3. 如果 $V$ 是 $n$ 維向量空間， $eta_1={e_1,cdots,e_n}$ 是 $V$ 的一個基。那麼對於每個 $kleq n$ ，設 $eta_k={e_{i_1}wedgecdotswedge e_{i_k}:1leq i_1<cdots<i_kleq n}$ ，那麼 $eta_k$ 是 $Lambda^k(V)$ 的一個基，因此 $dim Lambda^k(V)= binom{n}{k}$

下面來定義線性運算元的行列式。設 $T:V o W$ 是一個線性變換，對於任何非負整數 $k$ ，存在一個線性變換 $T_*:Lambda^k(V) oLambda^k(W)$ 滿足
$T_*(v_1wedgecdotswedge v_k)=Tv_1wedgecdotswedge Tv_k$
對於 $v_1,cdots,v_kin V$ 。要證明 $T_*$ 的存在性，注意到函數
$(v_1,cdots,v_k)mapsto Tv_1wedgecdotswedge Tv_k$
是交替 $k$ -線性的，然後使用 $Lambda^k(V)$ 的universal property就可以了。

由 $T$ 誘導的線性變換 $T_*$ 有下面基本性質：
設 $V,W,Z$ 是域 $K$ 上的向量空間，設 $Tinmathcal{L}(V,W)$ ， $Sin mathcal{L}(W,Z)$ ，那麼對於任何的非負整數 $k$ ，我們有
1. $(ST)_*=S_*T_*in mathcal{L}(Lambda^k(V),Lambda^k(Z))$
2. 如果 $T$ 是一個同構，那麼 $(T_*)^{-1}=(T^{-1})_*$
現在設 $k=dim V$ ，那麼 $dimLambda^n(V)=1$ 。

定義2. 設 $V$ 是域 $K$ 上的 $n$ 維向量空間， $T:V o V$ 是一個線性運算元，那麼誘導的線性運算元 $T_*:Lambda^n(V) oLambda^n(V)$
必須是乘以一個純量，因為 $Lambda^n(V)$ 是 $1$ 維的。即對於任意的 $omega in Lambda^n(V)$ ，我們有
$T_*omega=comega$
對於某個純量 $cin K$ ，這個純量 $c$ 叫做 $T$ 的行列式，記為 $det(T)$ 。
因此對於任意的 $omega in Lambda^n(V)$ ，我們有
$T_*omega=det(T)omega$

對於 $n imes n$ 的矩陣 $A$ ，定義線性運算元 $L_A:K^n o K^n$
$L_Ax:=Ax,quad forall, xin K^n$
$A$ 的行列式定義為線性運算元 $L_A$ 的行列式，即
$det(A):=det(L_A)$

可以證明定義1與定義2是一致的，對於線性運算元，定義2是co-ordinate free的，使用這個定義2證明行列式的一些基本性質會特別簡單。比如
設 $V$ 是 $n$ 維向量空間， $T:V o V$ 和 $S:V o V$ 是線性運算元，那麼
1. $det(ST)=det(S)det(T)$
2. $T$ 可逆當且僅當 $det(T) eq 0$
證明. 1. 根據定義 $(ST)_*(omega)=det(ST)omega$ ，注意到 $(ST)_*=S_*T_*$ ，因此 $(ST)_*(omega)=(S_*T_*)(omega)=S_*(T_*omega)=S_*(det(T)omega)=det(T)S_*omega=det(T)det(S)omega$
比較兩式就可以得到 $det(ST)=det(S)det(T)$ 。
2. 設 ${e_1,cdots,e_n}$ 是 $V$ 的一個基，根據定義有
$Te_1wedgecdotswedge Te_n=det(T)e_1wedgecdotswedge e_n$
於是 $det(T) eq 0$ 等價於 $Te_1wedgecdotswedge Te_n eq 0$ ，這等價於 $Te_1,cdots,Te_n$ 線性無關，等價於 $T$ 可逆。

參考
[1] http://www.math.uiuc.edu/~lerman/519/s11/mult.pdf
[2] http://www.math.uwaterloo.ca/~kpurbhoo/spring2012-math245/tensor.pdf
[3] http://math.stanford.edu/~ganatra/math113/notes/wedge_products.pdf

我一般是不管提問者的背景的, 所以如果有一些回答有點超出範圍(基本上沒有, 錯誤倒是可能一大堆, 請見諒) 我盡量使用通用的符號, 這樣一下也便於查閱其他資料.

另外, 既然不能保證不出錯或者邏輯不嚴密或者乾脆都是我自己胡亂開腦洞, 所以沒有任何版權問題.

----------------------------------------------------------

矩陣這個東西, 我個人認為最最自然的來源就是線性空間中的的線性映射了, 行列式可以看成一個矩陣到某個域的函數, 但是更加一般的是構造exterior algebra, 然後行列式只是exterior algebra之間的一種特殊的homomorphism

但是提到線性空間, 我們就不得不進一步考慮 R-module, R是一個一般的環( 有 1), 但是這樣太一般的R-module會失去好多性質, 這樣一來, 我們可以進一步要求考慮 free R-module ( 其實就是線性空間但是基於一個環)

考慮 Free R-module M,N

$Hom_{R}{M,N}$ 是一個集合, 由於Free這個性質, 這個集合的每個元素可以被唯一的表示為:

$Mat_R^{|M||N|}:=lbrace R_{ij}in R| iin |M|,jin |N| brace$

這裡面 $|M|,|N|$ 分別表示 M,N的生成基( 就是線性空間基的延伸概念)

--------------------沒用的題外話---------------------
當然生成基可以是無窮的, 但是 Free-module 的定義都是基於有限和的, 我們當然可以延伸成 $sigma, au$ 和, 就是可數無窮和, 連續統和, 這些可以用範疇論里的 limit/colimit 定義.

如果我們再對 R,M,N 加上一些其他的結構, 比如拓撲或者測度, 那麼我們可以討論一些收斂性的問題, 正如泛函分析中的拓撲線性空間一樣.

我們這裡只考慮基於有限和的 R-module, 就是說 R的環運算是不能定義成無限的, 比如說環的+運算不能包含無窮和除非無窮和裡面的項只有有限多個非零元素.
-------------------------------------------------------------

$Hom_R{M,N}subset Mat_R^{|M||N|}:=lbrace R_{ij}in R| iin |M|,jin |N| brace$

Hom集合中的元素就是所有的 $Mat_R^{|M||N|}$ 只有有限多個 $R_{i,j}$ 不是0 的那些元素

這裡面我使用不嚴謹的子集表示, 其實嚴格的說, 上面的子集關係是要通過一個 "表示函數" 才能定義的( 就是說那個表示函數是一個 faithful的表示, faithful的原因是M,N的free特性)

我們可以定義 Hom 上的環結構, 就跟線性變換的矩陣表示的矩陣乘法完全類似, 有興趣的話可以自行構造一下.

---------------------------------------------------------------

我們現在只考慮 $|M|,|N|$ 是有限集合的情況, 一般的情況當然也可以考慮

這樣一來, $Hom_R{M,N}=Mat_{R}^{|M||N|}$ 有限維 R-矩陣

----------------------------------------------------------------

這裡面, 有一個構造, 就是Grassmannian/exterior algebra,

|M| 是有限集合, 隨便給一個序

考慮 $|M|$ 的有序有限列 $omega_{|M|}$ 比如: m1m2m3m4m5m5m5m6m4m3m7m6

我們可以構造基於 $omega_{|M|}$ 的Free-R module F

注意 $omega_{|M|}$ 不是有限的

然後我們考慮一個 $pm omega_{|M|}subset F$ 的等價關係

$omega=a_1a_2a_3.....a_i.....sim (pm )b_1b_2...b_n$

規則是這樣的:

如果有兩個a是相同的, 我們直接取 b1b2..bn=0

如果所有的a都是不同的, 那麼我們可以置換相鄰的兩個a, 這樣我們可以把所有的a依照|M|的序排列, 達成這樣排列需要的置換的數目的奇偶性是well defined的

這個等價關係可以R-線性延伸到整個的 F 上, 也就是說我們能定義商空間 $Lambda=F/sim$

這個商空間是基於 "所有不重複有序列" 集合的free R-module,

這樣的構造是取決於 M的, 當然也取決於M的選定的生成基

$M ightarrow Lambda(M)$ 可以證明是一個 functor, 這是很重要的一點

如果:

$f:M ightarrow N$ 是一個R-homomorphism

那麼選定 M,N的生成基之後

我們可以定義 $Lambda(M) ightarrowLambda(N)$ , 首先我們可以定義 M,N生成基的有序列的映射, 然後R-線性延拓.

不同的基的選取造成的結果是 $Lambda$ 空間之間的同構.

然後 functor 特性就能證明了

值得一提的是 $Lambda(R)=R$ 這裡等號是R-同構

-----------------------------------------------------------------------------

現在: 寫 $Lambda(M)$ 太煩, 改成 $V(M)$

考慮

$V(M)otimes V^*(M)approx V(M)otimes V(M^*)$

這裡面因為一個 $V^*(M)$ 限定在原本屬於M的基上得到一個 $M^*$ 然後這個 $M^*$ 可以被重新構造回原來的那個 $V^*(M)$

反之一個 $M^*$ 可以延伸到 $V(M)$ 上得到一個 $V^*(M)$

我們可以構造一個natural的:

$V(M)otimes V(M^*) ightarrow oplus _{r,t}(M^rotimes M^{*t})$

如下:

$i_1 i_2... i_notimes j^*_1 j^*_2... j^*_k ightarrow i$

規則很簡單, 如果 i裡面的元素如果在j裡面出現對偶元素, 直接刪去, 然後剩下的就是那些沒能找到對偶元素的. 然後R-線性延拓.

同樣:

$V(M)otimes V(M^*)otimes V(M^*)otimes ...otimes V(M^*) ightarrow oplus _{r,t}(M^rotimes M^{*t})$

也可以被定義, 就是把後面所有的 $j^*$ 都寫在一起, 沒有張量積符號, 然後實施上面的exterior algebra的步驟, 最後再跟 $i$ 進行匹配.

現在我們如果有:

$Mxrightarrow f Mxrightarrow g M$

那麼得到:

$V(M)xrightarrow {V(f)} V(M)xrightarrow {V(g)} V(M)$

然後我們得到一個:

$V(M)otimes V(M^*)otimes V(M^*)$ 的元素

這個元素被上面的那個natural的映射映射到一個

$oplus _{r,t}(M^rotimes M^{*t})$ 裡面的元素

其中特別的, 我們可以提取 R ( 常數項 )

上面的一系列的映射, 可以看做

$f ightarrow V(f)xrightarrow {natural} r_f$

其中 natural 是兩個natural的映射接著跟提取常數( 就是一個projection )的複合映射

然後就是很繁瑣的驗證上面的這個映射是有 functor 特性的, 比如說:

$fg ightarrow V(fg)=V(f)V(g) ightarrow r_fr_g$

這就是行列式

-------------------------------------------------------------------------------------------------

當然, 我們可以考慮

$oplus _{r,t}(M^rotimes M^{*t})$

的非常數項( 就是 r,s不都是0), 可以一般的得到類似於行列式, 好像叫做什麼什麼子式什麼的, 比如利用子式計算行列式的Lagrange公式

-------------------------------------------------------------------------------------------------

可以簡單的理解。設想在n維空間中有一個標準立方體，就好像是3維空間正立方體的推廣。它的體積是容易計算的。然後你把這個標準立方體經過拉伸，鏡面反射和雙邊互換等操作以後變成了一個新的立方體，它的n條邊就是你的矩陣的n條列向量，它的體積就是這個方陣的行列式。但是，這時候的體積是有方向的，滿足右手系的是正的，不滿足是負的。

你需要知道一個叫線性空間的概念。。
大概這個概念就是把線性代數和高等代數區分開的。。

看見有些回答里一上來就是universal property啊，Hom啊，我估計基本線性代數都沒學懂的人恐怕會看不懂。
我就寫我高中自學線性代數時的理解，我覺得這是最粗糙但最容易直觀理解的思路：
n×n矩陣可以理解為n維向量空間中的n個向量 $(A_1,A_2,ldots,A_n)$ ，而行列式就是這n個向量所張成的超平行體（parallelotope）的有向n維體積。2維中兩個向量張成一個平行四邊形（兩個向量共線時就是退化的），3維中三個向量張成一個平行六面體，n維時n個向量所張成的超平行體就是 ${lambda_1A_1+lambda_2A_2+ldots+lambda_nA_nmid0lelambda_1le1,ldots,0lelambda_nle1}$ 。n維空間的體積可以直觀理解，而有向體積自己算一算驗證一下就懂了。
一個n維方陣的行列式為零就等價於這個超平行體的體積為零，等價於這n個向量線性相關。
cramer法則解線性方程組，解表達為行列式比的形式實際上就是體積比。
矩陣另一種常見的理解是線性變換，n維方陣可以視為n維向量空間到n維向量空間的線性變換，而行列式就是單位長度邊長的n維超立方體（有著單位體積）在這個線性變換作用下變為的n維超平行體的有向體積。
以上敘述中忽略的大量細節請感興趣的人務必自行驗證，只有自己動手算過才能徹底理解而且獲得其中最大的樂趣，我不寫出來是為了不妨礙大家的享受。（我才不會說我是沒空寫）

行列式就是Rn空間中單位立方體在該方陣表示的線性變換後的有向體積

我暈，樓上寫了這麼多公式連我都懶得看，題主只學過一學期線代，你覺得他能看懂你那麼多符號嗎？

矩陣是對線性變換的直觀刻劃，只要域和象上的元素都能分別表示成一些基元素的線性組合（這個線性表達不一定需要唯一，module不一定有basis），就可以用矩陣來表達它們之間的線性映射，矩陣中的第m行第n列表示域上的第n個分量如何映射到象上的第m個分量。

一個線性組合是由ring action（定義了什麼是scalar multiplication）和group operation（定義了什麼是加法）共同定義的。矩陣中的元素只取決於環的選擇，但矩陣的表達形式同域上元素的線性表達有關。舉例而言，在函數空間上（比如 $C_c^{infty}$ ）, 與一個固定的函數相乘是一種線性變換（multiplication operator），選擇不同的基（例如三角函數 vs 多項式函數）來表達象上不同的函數，即使同一個operator也會有不同的矩陣形式。

行列式是關於線性變換本身的函數。給定一個線性變換的矩陣形式，它當然可以看作是關於矩陣中行或列的多線性函數，也可以理解為關於矩陣中元素的多項式函數，但類似的運算有很多，比如permanent, immanant, resolvent等等。行列式區別於其他這些運算，在於其直觀幾何意義是反映了線性變換產生的形變。從這一點來說，行列式的值不依賴於線性變換的矩陣表達，事實上行列式的exterior algebra定義也完全不依賴於表達。

從歷史上講，行列式和矩陣的出現也是相互獨立的，行列式早在Laplace（甚至可能更早）的時代就被用於解線性方程組，而用矩陣來表達線性變換最早應該是Caley的貢獻。

儘管線性代數似乎是一門基礎學科，但事實上我們如今所看到的行列式和矩陣都是非常現代的語言。不用說在高斯時代的文章里，即使是在1930年代前後的論文中，也幾乎看不到它們的蹤影，當時的作者常常用很繁瑣地a_1x_1+a_x2x_2....的方式來說明一個線性系統，身處當代的我們讀起來實在會覺得有些痛苦。

簡單說，行列式只是一種判別標準，告訴你一個矩陣一些性質。

首先告訴你矩陣信息量。如果係數行列式為0，要不然至少一行或者一列是廢話(解不唯一)，要不然方程組是自相矛盾(解為空集)。

再一般點說，行列式的符號，絕對值等等，也能反應一些矩陣對應的向量組的性質。比如體積。也可以把矩陣當做線性變化看，看把之前單位體積變成多大了。

就像你用有沒有「兩個角相等」判斷一個三角形是不是等腰一樣。行列式可以判斷出一個矩陣的很多信息。

就這樣了。
=================
還有樓上那些說外代數的，模論的，我個人是不太主張第一遍學線性代數就牽扯進這些東西的。如果樓主有餘力可以看看。

順便一說，部分人用數學系本科以上知識回答的時候，定義都是不嚴格的，或者是有紕漏的。歡迎大家對號入座，互相揭穿，互相傷害。

再說一句，真的覺得用外代數和模論的，沒什麼必要，因為線性代數一開始就是在實數上討論的，實數空間性質足夠好，沒必要引入這些東西。這些東西引入都是在性質不那麼好的(幾何)空間才需要。

就像你學小學整數加法，你非要說，非要說整數是abel群，自由Z-模，是加法範疇，你問我對不對，我說這是對的。但是數學學習啊，要按照數學教學的基本法，這樣直接用後面知識解釋前面的，會不會給人一種硬點的感覺啊？

最近複習了下線代，剛好寫了幾篇描述行列式和矩陣的文章。文章是參考線代課本並從自己理解的角度寫的。新手可以看看。措詞沒教科書那麼準確，不喜勿噴。
線性代數之矩陣與行列式(1)
線性代數之矩陣與行列式(2)
線性代數之矩陣與行列式(3)
第1篇是矩陣基礎知識可以跳過；第2篇介紹行列式的幾何意義；第3篇介紹行列式的解法。

推薦題主看這一系列博文：
理解矩陣（一）
理解矩陣（二）
理解矩陣（三）http://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397

這是我大學時候的困惑，老師給我的解答
問：行列式的一個性質說，交換行列式兩行位置，行列式的值要乘一個(－1)；但是矩陣的初等變換第三條說：可互換兩行位。那麼…初等變換是針對矩陣的吧？解釋一下行列式、矩陣、初等變換三者之間的聯繫

答：這個問題，它牽涉著矩陣（甚至數學）最本質的解釋。我先初略給你說明一下：（我解釋的順序是按這三個概念在數學工作者思維的產生的先後順序）最先解釋的當然是矩陣，通常所指的矩陣實際就是一個二維數表。它誕生的目的之一是為解線性方程組（當然在數學中的作用不止這個）而數學工作者在研究它（矩陣）如何方便於解方程組的過程中，想到了提出一種合理的變換---初等變換，下面我來解釋一下為什麼說這種變換合理：因為初等變換的本質就是等式的基本性質。按照合理性來說，初等行變換是最具代表性的： 1.某行乘以非零數的那個變換體現了『等式兩邊可以同時乘以非零數而不改變的等式性質』的本質思想。 2.某行乘以非零數加到另一行的那個變換體現了『等式兩邊可以同時乘以非零數而不改變的等式性質』以及『一個等式兩邊可以分別加到另一等式兩邊』的等式性質 3.某兩行可以相互交換當然合理，因為交換後的方程組與原來依然同解。初等列變換在某種意義上來說，意義不大，因為他不過是改變了需要求解的方程未知數的解出順序。最後再淺談行列式，它是專門為一類特殊方程組的求解服務的，這種特殊的方程組是由含有n個未知數的n個方程組成。例如：行列式最終得出的克拉默法則等等。。。雖然我的解釋比較初略，但是我還是希望你更多的站在創造這些數學概念的人的角度想，他們是覺得這些數學概念有用，並且可以足夠合理準確地服務於人類生活才引進的，不是憑空瞎想，你可以細心慢慢琢磨，執果索因，相信你一定會理解到更加本質的東西的。還有數學是一個系統（但絕不封閉，因為會不斷有新的抽象概念的引入），它只要足夠合理我們就認定它是科學的，所以數學概念是相互關聯，相互作用的，很少有絕對獨立的數學概念。

希望對你有幫助。

樓上大神寫的都看不懂。(╯‵□′)╯︵┻━┻

我理解的是，矩陣是一個多維的向量，而從某些方面看，它是一個數的表格。
而行列式是一個數字。
我們如果要想了解一個矩陣的性質，比如對於方程來說，有解無解，有唯一解或無窮個解，一個矩陣是不是滿秩。我們不會是把矩陣的所有數字都列出來，那樣太麻煩了。而用它的特徵 :行列式就可以極為簡單的了解了，它是通過簡單粗暴的行列式是否為0來判斷。

另外只有方陣才有行列式。

上圖：

行列式就是矩陣（線性變換用矩陣表示）的面（體）積的縮放比例，就是 @童哲說的「放大率」。

圖片來自《數學拾遺》（英文版）。

詳見：雅各比行列式和矩陣的秩

搞不懂大神們的深刻理解和公式。我說說簡單的理解吧。

簡單而言，
矩陣就是（給定了某個坐標系下），對向量施加一個線性變換。低維度的線性變換的例子有：旋轉變換或者伸縮變換等。高維度的空間里的線性變換則可以分解到各個子空間。

而行列式基本上可以刻畫了矩陣對向量的長度的影響。比如正交陣對應的正交變換，行列式是1，就不會改變向量長度吧。

更深刻的見解我這個輔修數學的就不好多說了。

簡單地講，矩陣就是線性空間上的線性映射（線性運算元），如果是R^n到R^n的矩陣，可以看成把一個線性空間上的向量線性映射到同一線性空間中，就是線性變換，當然前提是這個矩陣是滿秩，也就是說矩陣不改變向量的維數。
對同一個線性空間之間的變換，怎麼衡量這種改變的大小？如果定義了向量的範數（比如長度），可以直接據此得到矩陣的範數，可惜啊，線性代數不研究範數，所以不用打範數的主意了。幸好線性空間還有數乘概念，所以只能考慮伸縮率了（各個方向上的）。實際上一個線性變換可以對應一大堆矩陣，這是由於我們可以定義域和值域上取不同的線性基（也就是坐標），而變換坐標本身也是線性變換，那麼對一個向量做線性變換T時，如果在另一組基上看，就是ATA^-1，A就是變換坐標，A^-1是把坐標變回去，所以相似矩陣都代表了同一個線性變換，因而它們被叫做等價類。如果找的到滿秩的A可使矩陣變為對角陣，再好不過了，我們就可以把每個方向的伸縮率相乘，就得到了純線性代數框架下的衡量矩陣改變數的方法。您再好好看看ATA^-1，對一個對角陣，由於detA*detB=detAB的緣故（各方向上的伸縮率相乘也是因此），求其相似矩陣不改變行列式的值，所以伸縮率就是矩陣行列式。
為什麼R^n到R^m的矩陣沒有行列式呢？很簡單，多出去和少掉的維度上沒有伸縮率了，連0都不是。

上圖

先不提深刻的聯繫，認識到行列式是否為零是兩類很不同的矩陣，對認識行列式有很大的幫助！

不寫太理論的。列出幾條自認為比較有應有價值的性質吧。

1. det(A) = A所有eigenvalue的乘積。
2. det(A) = 0 =&> rank(A) != A的行數！= A的列數。
3. det(A) = 0 =&> A is singular. det(A) != 0 =&> A inverse exists. 這個和第二條等價。
4. Ax = b =&> xi = det(Ai) / det(A). where Ai is the matrix formed by replacing the ith column of A by the column vector b. (from wikipedia Determinant)

大概總結了下，

行列式決定一個矩陣是否可逆，是否奇異，是否可退化！

作為一個文科生期末復(預)習線代這些神們說的我都看不懂
我選擇死亡