控制系統loop shaping的inherent limitation有哪些?

所謂inherent,就是不管怎麼設計控制器,都會受限。這些limitation是由什麼決定的?

可以是理論上有支撐的,也可以是經驗中得來的。比如帶寬提高貌似有上限,比如高頻衰減貌似不能任意低,等等吧。


系統還是 常用控制演算法(包括PID和卡爾曼濾波等)各有什麼天然的局限乃至缺陷? - 小心假設的回答 中的系統,即一個 LTI 的反饋系統,控制器 C,被控對象 P。如下圖示(手繪的,in case you did not notice…):

假設是控制一個輪船或無人機吧,y 是其位移或速度。y 之前有個干擾 d,即波濤起伏或風。y 之後有個雜訊 n,即感測器雜訊。那麼:

y = S * d + T * n,其中 S = 1/(1+PC), T = PC/(1+PC)。

上面的回答中提到了,對於任意一個頻率,|S| + |T| &>= |S + T| = 1,這就是個天然的 limitation:即無論控制器怎麼設計,乃至無論什麼樣的被控對象,系統對干擾 d 的和雜訊 n 的 attenuation,在任何一個頻率,都是 trade-off。比如,在同一頻率點不可能都小於 1/2。

不過現實中,干擾 d 與雜訊 n 的頻段不同,因此控制器設計時,可考慮在一個頻段主要應對 d,另一個則主要應對 n。

下面則是另外一個 limitation,即 Bode integral (Bode"s sensitivity integral)。此 Bode 即 Bode plot 的 Bode。而且其實還真是有關係。簡單地說:

int _{0}^{infty }ln |S(iomega )|domega 
 geq 0

即如果畫出 S 的 Bode plot 的曲線的話(當然是 log scale),那麼曲線上所有點的幅值之和是個大於零的常數。

因為 S 不同頻率的幅值對應的是,比如 d 在 y 中的影響的信號衰減。因此,在一個頻段衰減多,則意味著在另一個頻段少。平均下來,衰減是大於一的(log 1 = 0)。但一般 d 集中在某一頻段,可針對設計。

當然,以上很多簡化的寫法,也沒正式輸入公式。如果想要詳細了解,請參考:

Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers
Karl J. Astrom, Richard M. Murray
https://www.amazon.com/Feedback-Systems-Introduction-Scientists-Engineers/dp/0691135762

Feedback Control Theory
John C. Doyle, Bruce A. Francis, Allen R. Tannenbaum
https://www.amazon.com/Feedback-Control-Theory-Electrical-Engineering/dp/0486469336/ref=sr_1_1?ie=UTF8qid=1476188483sr=8-1keywords=john+doyle+control

Robust and Optimal Control
Kemin Zhou, John C. Doyle, Keith Glover
https://www.amazon.com/Robust-Optimal-Control-Kemin-Zhou/dp/0134565673/ref=sr_1_9?ie=UTF8qid=1476251036sr=8-9keywords=robust+control+theory

Essentials of Robust Control
Kemin Zhou, John C. Doyle
https://www.amazon.com/Essentials-Robust-Control-Kemin-Zhou/dp/0135258332/ref=sr_1_5?ie=UTF8qid=1476251036sr=8-5keywords=robust+control+theory

Control System Design
Graham C. Goodwin, Stefan F. Graebe, Mario E. Salgado
https://www.amazon.com/Control-System-Design-Graham-Goodwin/dp/0139586539/ref=asap_bc?ie=UTF8

Multivariable Feedback Control: Analysis and Design
Sigurd Skogestad, Ian Postlethwaite
https://www.amazon.com/gp/product/0470011688/ref=pd_sim_14_8?ie=UTF8psc=1refRID=9G6FXXSS4H137C9X3VSS

其中第一本是本科低年級教材,其它幾本則是本科高年級或研究生教材。


謝邀。這個問題也有點無從答起。。。就說說自己的感覺吧。Loop shaping 是用來整定線性SISO系統最好用的工具沒有之一. 從Bode plot可以清晰地看出bandwidth 和 stability margin,同時可以調整sensitivity要求 (Re前面的一個答案,我們經常用的criteria是 noise sensitivity &< 6dB)

Loop shaping 的依據是Nyquist 判據。非要說這個方法的limitation,我覺得是對於有些系統直接用Bode plot無法判斷出穩定性,還是要回到Nyquist判據的方法。

另外一個limitation大概是沒辦法有效地處理MIMO系統,對於這樣的系統還是狀態空間方法更適合。

至於題中說的「帶寬提高貌似有上限,比如高頻衰減貌似不能任意低」等等,似乎不是控制器設計方法的limitation,而是系統本身的natural limitation,怪到Loop shaping上怪冤的。

========================我是補充的分割線============================

啊原來是我沒有讀懂題... 真的是語文太差了么T_T 我錯了。。。

至於系統本身的limitation就很多哪。不完全地列舉一下決定帶寬上限的,大概有:
感測器和系統的雜訊頻率;系統的結構震動頻率和peak height; 高頻的沒有建模的dynamics的頻率;系統的時間延遲(包括採樣引起的)...

更多的limitation大概是幾個指標的制約吧。比如說低頻段的loop gain 一般說越高越好,這樣能比較好地reject disturbance.但是不能任意高,不然相位裕量要受損了。所以loop shaping大概就是在穩定性和帶寬和魯棒性之間做折衷的感覺吧:P


拋了個磚,說幾個從《Multivariable Feedback Control - Analysis and Design》中讀來的,同時推薦這本書。答案中截圖來自該書。

主要從閉環loop-shaping來談。S - sensitivity function,T - complementary sensitivity function。考慮這麼一個系統,r - reference,d - disturbance,y - output,n - sensor noise:

e=y-r=-Sr+SG_d d-Tn
因為我們想要讓誤差e小,所以從式中來看,我們要讓SSG_dT的絕對值小。但是:
1. S+T=I,所以|S||T|不能在同一個頻率下同時小。
2. int_{0}^{infty } ln|S(jomega)|domega=0(relative degree大於等於2且不考慮RHP極點的話),所以|S|不能一直小於1,而且|S|在某些頻率以上就會大於1,那麼在這些頻率下光-Sr這一項帶來的跟蹤誤差就100%了。
這兩點是比較明顯的,書中還有其他若干limitation,我就不多加贅述了,有興趣的可以直接參考這本書。


Kaixiang Wang說第二點的應該是Bode"s sensitivity integral的一種情況,在考慮不穩定極點以及純延遲的時候,還會有一些變化,因而會有以下的問題:

1. 由於敏感度積分的限制,當開環系統中的不穩定極點相比於閉環帶寬太快,以及不穩定零點相比閉環帶寬太慢時,相應的水床效應(Waterbed Effect)會更加明顯。也就是說開環系統中的不穩定極點和穩定零點構成了系統帶寬的下界和上界。

2. 純延遲與不穩定極點有類似的效果,因而相應的閉環帶寬也受到了限制。

總結一下,就是說當系統存在慢的不穩定零點快的不穩定極點以及大的純延遲時,控制系統的設計難度將非常大。

數學上的推導可以參考Graham Goodwin等人合著的Control System Design


Limitations on Control System Performance


最簡單的是controller的singular value限制吧
因為執行機構的輸出是有限的
俗話說的好,只要推力大,門板也能上天


簡單說下一點個人經驗:

1. 一個系統的上限是由硬體(物理結構是否穩固,剛性如何,執行器頻響能到多少)決定的,控制能做的,其實是在上限範圍內調節能量分配。

2. 這個……有的答案說,只要推力大,門板也上天,但我感覺不是這樣的……更多情況下是門板還沒上天,門框和你先上天了……主要問題是,越是慢的執行器,就越是需要高階微分環節來補償它,然後feedback的過程中不可避免的會有很多高頻雜訊,高頻雜訊跟高階微分碰到一起,boom


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