學習SPDE的先行課程和知識?

12-28

以前學習過一些概率論，隨機過程和測度論的知識，還有微分方程，現在想自己稍微預習一下SPDE方面的知識，請問一下應該如何入手呢？也請教一下教材，謝謝了！

強答一發吧...最近在學spde, 幾乎處處看不懂（主要是自己菜）

需要掌握的基礎吧，主要就是泛函分析（運算元理論）、隨機分析以及偏微分方程。

基本的思路呢就是首先，偏微分方程我們討論解都是各種空間對吧，但是呢現在隨機了，隨機變數呢都是在一個概率測度下面的，原來的時候很爽，測度積分都是R上的，現在呢我們要考慮在各種空間上的測度的積分了，那咋辦？於是我們引入在banach空間上的積分——bochner積分（當然啦，性質和大家概率里學的典型方法構造出的積分一毛一樣）

然後還有啊，以前大家學過R上的隨機積分，ito公式啥的，確定的函數就泰勒展開，見到帶隨機項的就ito公式，反正也很爽很直觀，但是呢現在我們要探討hilbert上的隨機積分了，引入泛函的語言，把這套東西從頭推一遍，原來取值在R的維納過程，現在在hilbert空間上就叫Q-維納過程了（我發現Q是個很高端的字母，比如quant , Q系，Q測度，666），然後這裡面就用到一堆泛函，像nuclear 和 hilbert 運算元啥啥的，還有一些鞅論，這個就是基礎啦....（別問我這都是啥我也不知道菜雞瑟瑟發抖）

推薦書吧：首先是Claudia_Prév?t,Michael_R?ckner的一本叫"a concise course on spde"，確實非常concise。。。

還有一本嘛就是法國金融數學大家pardoux的一本暑期學校講義，就叫spde，也是很好的著作；另外，這位大神還寫了一本好幾百頁的磚頭著作，叫sde,bsde and spde（好像是這個名字），可以說把帶stochastic的各種pde和ode都研究個遍了，集大成的著作，也可以看看...

其實啊，學會了SDE之後，大家會發現這玩意就沒個完了，什麼bsde,spde, fbsde,bspde，fbspde。。。。一堆一堆的。。。

還有就是學習課程的歷史也很重要。

其實上述的這些各種方程都是從控制問題中衍生出來的，比如強解弱解的概念，比如bsde因為sde系統的stochastic maximum principle 導出的一階條件和二階條件是bsde而在上世紀末再度受到關注，本來是可以強行解的，但是解出來的是不適應的（bsde由於隨機項，已知終值得時候不能做time reverse），換句話說你的控制系統用到了未來的信息，不符合實際應用呀，為了得到adapted的解藉助doob 鞅和鞅表示定理巧妙地引入（p,q）的解對，最終得到適應解並得到存在唯一性。

再比如，剛薩諾夫定理，現在是隨機分析里很常用的工具了，但那時剛薩諾夫本人就是做控制優化出身的。。他也是根據實際的需求去形成抽象理論的。

包括sde,spde在內的種種理論都是實際問題催生理論研究的最好的範例。我想你在學習的時候如果知道了為什嗎要研究這個，為什嗎要定義這個，為什嗎要這樣做，會覺得這些知識美妙很多。

隨手碼，不嚴謹之處還請知乎人贏和大神們多多包涵....

補充一下，
@dhchen學長已經講了，pazy的書是很好的學習運算元半群的書。還有一本是lunardi的。裡面的證明非常漂亮，構造很有意思，就是太幹了。我本來看這本被導師勸退了。

還有人在評論區問泛函和pde哪個先學。。。我覺得如果你是真的想搞spde那就學泛函就夠了。spde感覺上和pde其實還不是很像，他實際上是無窮維繫統的一個ode，你要是去看pde會有很多波動方程的東西，貌似沒什麼用的樣子。

另外有人提到da prato的書，我導師原話是可以看但是寫得不夠好。。。然後我導師是da prato的學生。。。這似乎就很尷尬了。。。
學好泛函！學好泛函！學好泛函！
感覺上動力系統也要看一點。

個人覺得運算元半群的理論，yosida approximation也要熟練。雖然我導師覺得沒必要。。。

另外，做了spde基本上跟你想像中的概率論已經沒什麼關係了。但是概率論，尤其是隨機分析還是要學好，不然hilbert 空間上的weiner測度都理解不了

籠統地說Ito積分，Banach space上的Gaussian measures，希爾伯特空間上的Wiener過程，運算元半群理論這些你都得會。

然後你學一學基本的Linear SPDE

$d x(t)=Lx dt+ Q dW(t)$ ,

其中 $L$ 是Banach space $X$ 上一個生成 $C_0$ 半群 $(S(t))_{tgeq 0}$ 的生成元，而 $W$ 是希爾伯特空間 $H$ 上的cylindrical Wiener process， $Q: H o X$ 是一個線性運算元。這個是最最簡單的。其實解就是

$x(t)=S(t)x(0)+int_0^t S(t-s) Q W dW(s)$

先把這個弄明白，然後剩下的怎麼玩，看你的導師的意思了。非線性項和隨機可以加在不同的地方，說實話，有些情況其實和非隨機差不多，不過，簡單的問題好像被做得差不多了。

這東西我也只是學習運算元半群理論的時候順便看的。有什麼遺漏請補正。

有人給了名教材了，我推薦你先看看柯朗研究所的一個短講義，100頁不到。

http://www.hairer.org/notes/SPDEs.pdf

不管怎麼用，先把基礎打好，如果你只是本科到研究生之間，有一本書也不錯：

可以讓你學一些基礎的東西。如果對運算元半群和Markov過程的關係感興趣，可以看

Kolokoltsov V.N.-Markov processes, semigroups and generators

或者

Kazuaki Taira auth. Semigroups, Boundary Value Problems and Markov Processes

說實話，本科的時候發現

$T_tx( au)={f E} x( au+w(t)) quad tgeq 0, , xin BM(mathbb{R})$

恰好是一個運算元半群的時候，我是感到一種通電的感覺。這裡， $w(t)$ 就是布朗運動。 $T_t$ 的生成元恰好是

$frac{1}{2}frac{d^2}{dx^2}$

Da Prato, G., Zabczyk, J. (2014). Stochastic equations in infinite dimensions (Second, Vol. 152, pp. xviii–493). Cambridge: Cambridge University Press, Cambridge. http://doi.org/10.1017/CBO9781107295513

Liu, W., R?ckner, M. (2015). Stochastic Partial Differential Equations: An Introduction. Springer.

基礎的部分可以看第二本書的前兩章，主要包括Hilbert空間上的高斯測度和隨機積分，這部分第一本書寫的太簡略，建議看了第二本書的前兩章再看第一本。Da Prato還有其他幾本相關的書，感興趣的話也可以找一找。

J.B.Walsh的an Introduction to spde，此書很難，大牛行文風格使然，但我覺得真是原汁原味，講的非常清楚，強烈推薦！！！基礎課的話，yosida的泛函分析 Marc Yor的Brownian motion and continuous martingale...不過我其實最近在補evans的pde（pde一直是弱點，補起來蠻辛苦），寫得太好了，真是分析的盛宴。圖省事兒的話其實haim brezis的那本functional analysis and pde也蠻好的，清清楚楚，也夠用了，很凝練，目的也很明確。希望能有幫助。

Brownian motion and stochastic calculus
PDE
function analysis I and II

推薦一本比較老的，Rozovskii寫的書