如何看待線性代數中矩陣的位置？

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題主正在學習線性代數，比較喜歡Linear algebra done right,科斯特利金第二卷這種公理化的講述方式，對於圍繞矩陣展開的教材非常不習慣。感覺這樣容易使人看不到很多重要的東西。比如Witt消去定理用矩陣寫出來就特別奇異了。非常不理解為什麼要這樣做。請問矩陣在線性代數中究竟是怎樣的位置？玩矩陣的技巧有多麼重要？

感覺歪樓了......可能我的例子不太恰當，我的意思是，與線性映射，雙線性型，正交群這些conceptual的東西相比矩陣在線性代數中僅僅是一種表示還是有獨立的意義。

多圖慎入。我代數學得一般，說點看法權當拋磚引玉。
作為工科生，我本科四年都在和矩陣打交道。不論是線性代數，還是專業課（很多問題最後劃化歸到解n元一次線性方程組）。最初感覺煩，什麼年代了，純體力活。

後來看了一些高代和泛函方面的書，覺得用運算元觀點看待問題很巧妙。特別是擺脫對具體坐標系的依賴感覺高大上，覺得矩陣很low。這一階段我的抽象思維發展迅速。

研究生時期，思維經歷了一個轉變。從抽象的理論，到可操作性，再到具體案例分析。這種觀念轉變不僅僅體現在矩陣的上。
1.不少問題看起來簡單，但就是算不出來。
2.分析中不用坐標系，線性代數中不用矩陣，很多時候無從下手，操作困難。比如陳類可以用純拓撲的方式定義，但很難操作。而用二次微分形式的曲率矩陣定義陳類，操作起來很方便。在分裂原理意義下（相當於某種意義下的對角化），陳類就是曲率矩陣特徵值的對稱函數。

3.初遇伽羅瓦表示。線性代數中有一個定理，好像說可逆矩陣能寫成初等矩陣的乘積，加上閉區間上多項式序列一致逼近連續函數定理，我形成一種哲學，把一個結構複雜對象對應但到一個結構簡單的對象上，後者具有可操作特點。很慚愧，限於水平，我那時知道的最複雜對象就是伽羅瓦群，還是在閱讀費馬大定理時遇見的。而我也被表示論的哲學所吸引，把一個抽象的群映射到矩陣上，後者可操作性很強。但是我並不喜歡代數，於是我假設我看到的是一個泛函（嚴格說是運算元），而不是同態。就這樣有興趣看下去。發現了伽羅瓦表示中神奇的特徵標就是矩陣的跡！而這個跡在決定費馬大定理命運時起到了很大作用，是連接橢圓曲線與模形式的橋樑。

總結，化矩陣為神奇關鍵要多思考，同時與具體例子相結合（如陳類與特徵標）。這也是為什麼線性代數是核心基礎課的原因之一。很多人（包括部分數學系同學）覺得矩陣很low，恰恰因為自身視野，格局的狹窄，觀察和思考力不足，相信隨著後續深入學習會有改觀。

～～～～～～～～～～～補充20160912～～～～～～～～～～～～～～～～
下面科普內容比較抽象，不感興趣可以pass掉。先看一張圖，解釋費馬大定理如何與橢圓曲線和模形式聯繫起來。

可以看出，證明關鍵在於等式：a_p(f) = p+1-|E(F_p)|.
而聯繫等式兩側的橋樑是伽羅瓦表示的特徵標（矩陣的跡）。這裡的矩陣是定義在某個環上，一般地，環的來源不同，表示也不同，但它們的某些特徵標可能是相等的。
1.等式右側來自橢圓曲線3-分點表示（實際採用p=3情形）。橢圓曲線E上的有理點具有加法群結構。

2.等式左側來自模形式。

實際證明的結論更強：兩個伽羅瓦表示同構，從而對應元素的特徵標相等，等式成立。具體細節見Wiles的論文。

看到就忍不住想來講。。

俗話說的好，「龍生龍，鳳生鳳，華羅庚的弟子會打洞。」在傳說中的「亞洲第一難書」李炯生上更是明確提出了打洞技術的重要性。現在，矩陣的打洞早已被華老先生的再傳弟子們反覆使用，其它基本的如初等變換更不必說。

講回來的話，非數學學生根本就不學λ-矩陣（我們Jordan標準型都打*號好嗎），模什麼的更是從來都不會聽說，一學期下來能記得線性映射的kernel的都是好的，同態同構？

所以經常看到的現象就是學完之後只會玩矩陣，學不好矩陣都要玩脫。不過我還是想插一句話，大家沒有代數基礎怎麼能把模啊群的搞定，很多都是開了線代第二年開近代，非數的根本就沒了。。。

矩陣幾乎是最重要的工具，單純研究線性映射（線性空間之間的同態）而不藉助矩陣很快會遇到困難。
然而線性空間有一組基，知道了基的映射信息，也就知道（有限維）線性空間的映射信息，而這些信息可以用矩陣的方式表達。（具體參考教科書）
具象的矩陣將抽象的映射變得更易於表達，運算，乃至應用，也是線性代數作為不止數學專業學習的重要原因。
我是貼吧式的回答…還沒適應過來

我也感覺感覺國內線代教材還是太偏工科應用了，計算技巧過多，高度太低。把線代和抽代割離了。線性空間本來是banach空間(分析性質)，運算元代數(代數性質)的很好例子，很多結果很容易推廣到高觀點來看。結果國內都不講這塊。而是把線性代數和抽象代數分開來講，線代作為抽代的基礎和例子。群，線性空間，模，banach空間的觀點相對少。
樓主要是數學系的話，建議刷一下柯斯特利金，范德瓦爾登，artin。
如果不是數學系，個人覺得沒必要在抽象代數上下那麼多功夫了。好好學矩陣，矩陣應用極其廣泛。矩陣其實就是2階協變張量，n^2個自由度，攜帶的信息量很大。而自然界中線性的過程不少(線性代表自然界的某種對稱性，各元素之間的關係是平等的)而矩陣可以描述線性變換:線性規劃，計算機圖形學，統計…關於應用可以翻一下lax的《線性代數及其應用》

不會玩矩陣，太煩，不如搞搞群，映射，集合。

反正我覺得好精妙。各行各業都有矩陣的妙用。像我這種特別喜歡實用數學的人特別喜歡讀矩陣大全。就是比較破碎化。第一次讀未知量是矩陣二元一次方程解法感覺渾身出汗，然後空虛，讀不出是怎麼有如此精妙的解法。

我覺得僅僅是一種表示，讓線性映射具體化，實際應用中用起來比較方便。

你都說了，是線代書。
模是抽象代數的內容啊。

你總不能在一般的數學分析中講德拉姆上同調吧。

高觀點的數分高代是能這麼將的，但是受眾不同

記得綠色封面的北大老師寫的本科《高等代數》講矩陣的開頭說「矩陣的內涵是很豐富的」。。。

模論只是線性代數在一個方向上的深化，對這方向感興趣可以繼續往下學，但要求線性代數只往這方向寫那就有點過分了。矩陣真是個非常有用的東西，不僅理論豐富，而且還能進行計算，應用廣泛。對於適當的問題選擇恰當的方法與視角，而不是偏執於一法，才是正途。
線性代數是基礎科目，什麼寫法最好都有，學自己感興趣的就好。

我覺得矩陣是一張數表，描述了一種關係。

可以是描述方程組，也可以是數的位置關係，比如圖像。

當然還可以是其他的東西，所以矩陣應該還蠻強的。