為什麼兩輪自行車在騎行的時候更容易掌握平衡，靜止的時候卻很難？

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兩輪自行車，如果在靜止的時候掌握平衡比騎行的時候難度大很多。

【分鐘物理】自行車是怎麼保持平衡的[中英字幕]_趣味科普人文_科技_bilibili_嗶哩嗶哩

找到一個視頻，和我的觀點一致，比看我乾巴巴的文字容易理解的多。

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有同學提出硬幣和陀螺的例子來說明角動量穩定的效果，但需要注意的是，自行車和硬幣陀螺都不相同，陀螺或硬幣都是通過不斷的進動來轉換角動量的方向，避免傾角直接增大。而自行車是兩點落地的，也就是說地面是可以給他一個摩擦力矩，這樣自行車無法讓自己的角動量在水平面上不斷轉向從而規避傾覆。

如果自行車真的依靠陀螺效應來避免傾覆，那麼自行車需要像硬幣或陀螺一樣不斷的原地打轉才做得到，而事實上，自行車的指向基本保持穩定。

這種穩定性來自於結構上的設計和人的主動干預，結構上的設計主要是主銷後傾角，這個設計會在車身傾斜的時候，會因支持力的改變產生一個轉向角，向傾斜方向轉向，這個轉向產生的慣性力的力矩可以用以抵消傾斜產生的重力的傾覆力矩，促使車身回正。

這個作用，相信會脫把行車的朋友們應該都非常熟悉。當我們需要不掌把轉向的時候，會選擇讓重心傾斜，車把就會自然轉過去。注意，這個作用不是靠車輪的進動，用過滾筒的朋友應該能證明這一點。

下面是原來的回答

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不贊同角動量穩定的提法，自行車有角動量穩定的因素，但貢獻不算大，因為輪組的轉動慣量和角動量並不大（相對於可能的傾覆力矩），否則轉彎會比較費力的。
對車輛穩定性的主要貢獻者應該是結構和動力上的反饋
這指的是當車輛向左傾斜時，車輛前輪也會向左有一個轉動角度（因為轉軸-車輪的交點和地面-車輪的交點不重合，前者領先一段距離），在有一定速度的時候這個轉動角度會帶來一個與重力的傾覆力矩相反的慣性力矩（可以說是離心力的力矩），從而抑制了重力力矩-傾斜角度的正反饋，變為了負反饋，從而穩定了車身。
而在速度很低的時候，慣性力矩不足以抵消重力力矩，所以還是正反饋，不能實現自平衡）

手機打字不便放圖，說的可能不太直觀，不過可以通過幾個生活實驗來驗證這個說法：

第一個是可以用原地轉動車輪的方法來看看車輪的角動量是否真的足夠穩定車身，在我的印象里這個角動量很小，穩定作用很小；

第二個是騎過自行車的同學可以試試去騎老式的三輪車，一開始會比較難上手，很容易朝一個方向偏，是因為三輪車的結構性反饋和自行車有些區別，甚至是方向相反的，按照自行車的習慣去騎很容易給錯調整方向，也就導致了會偏向一邊。

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那些說陀螺慣性角動量的，你們真的騎過車子嘛？車軲轆那點重量相對不轉動的車架和人的重量根本不值一提。

為什麼運動的自行車比靜止的更容易保持平衡？
因為運動中的自行車其實是在人的控制下左右蛇形前進的，本質相當於一個不停調整的倒立擺。這個感受在只有30厘米寬的滾筒騎行台上尤其明顯。

-------補充分割線------

關於自行車轉向的原理。
通常自行車轉彎，車身是傾斜的，車把（前輪）也相應的轉向。
轉彎時，車手通常有兩種操作方式，一種是向左分配身體重心，一種是用屁股（大腿根）給車座施加單側壓力，這兩種操作都會導致重心偏向一側，使自行車傾斜，有翻車的趨勢，此時如果能堅持住不微調前輪方向，摔倒就是必然的。但是只要調整前輪方向，就可以讓自行車與地面接觸點的軌跡向傾倒方向移動，若接觸點的移動速度比重心翻倒的橫向速度快，就會重新形成直線行駛的重心平衡（瞬時的），若接觸點追擊速度與重心傾覆橫向速度相同，則自行車形成穩定的畫圓軌跡。

------控制變數------

關於我的理論的驗證方法，也很簡單，只要單手托著倒立的拖把在家裡走幾圈就可以了。
最好給拖把底下加個橫杆，抵消拖把前後倒的趨勢。（倒舉鐵鍬也行，鐵鍬尾巴自帶橫向把手）
然後就可以擺脫角動量、螺旋、正負反饋、前傾角的干擾，只用重力、橫向重力分量、地面對輪胎的壓力，地面對車輪橫向的摩擦力4個簡單的變數解決自行車平衡的問題了。

——————正經答題的分割線————————
按照倒立擺模型，決定倒立擺穩定性的東西，其實是下面那個支點調整的速度。
在自行車倒立擺模型中，所謂支點的左右調整速度就是車輪軌跡橫向的速度分量
橫向速度分量由前輪轉彎角度和滾動速度共同決定，其中前輪轉彎角度就是擺動車把的幅度，滾動速度就是自行車的速度。
前輪橫向速度=前輪實際速度*sin前輪與後輪夾角
可見自行車前進速度越快，橫向速度調節範圍就越大，也就能更快、更精細的調整重心與支點的相對位置，保持平衡也就更容易了。

以下摘自中科院物理所的微信公眾號

原答案有誤，不過留著 P.S.，評論區的視頻還是很有趣的。

這裡我總結一下自行車、硬幣、陀螺的區別。

1. 它們靜止時都不穩定，表現在任何微小傾角都會使得重力矩產生正反饋擴大這個傾角。

2. 它們運行時都會有一個角動量，並且有機制產生對傾角的負反饋導致穩定性。

3. 自行車和硬幣在有傾角時都會轉彎，區別在於後者來源於重力矩對角動量的進動作用，前者主要來源於主銷後傾的設計。

4. 跟隨轉彎的非慣性系下，自行車和硬幣轉彎時產生的離心力矩和科里奧利力矩對抗重力矩；地面慣性系下，自行車和硬幣的重力矩提供向心力矩（平動相對於地面的角動量的轉動）和自身角動量進動；

5. 不同參考系是等價的，離心力矩和向心力距約等於 $MOmega^2Rr$ ，科里奧利力矩和進動力矩約等於 $momega r^2Omega$ ，由切點速度相等得 $ROmega=romega$ ，所以兩個效應的比值大約是 $M/m$ ，其中 $M$ 是整體質量， $m$ 為自身轉動的組分的質量， $R$ 為轉彎軌道半徑， $r$ 為自身轉動的半徑， $Omega$ 為轉彎角速度， $omega$ 為自身轉動角速度。

6. 由上述比值看出，硬幣的兩個效應相當；而陀螺雖然和硬幣一樣 $M=m$ ，但它的 $ROmega<<romega$ ，所以後一個效應主導；自行車由於 $M>>m$ 通常前一個效應遠大於後一個，所以它的原理其實和冰刀滑冰轉圈更像。

7. 詳細說一下很多人強調的主銷後傾的作用：它使得傾斜的自行車馬上獲得一個轉彎曲率 $K( heta)=R( heta)^{-1}$ ， $heta$ 是傾角。這個被反覆強調的原因是雙輪系統通常無法提供這個曲率（比如焊死車把的情況下），自行車可以提供（因為車把可以轉向），而且可以"自動"提供（來自主銷後傾的作用）。也就是說，自行車首先得做到能和硬幣一樣轉彎，但這還不夠，還要通過特殊的設計達到轉的彎只幾何依賴於傾角而不動力學地依賴於速度。後面詳解。

以上兩個抵抗傾倒的效應可以寫為 $(M+m)v^2rK$ ，可見速度越大抵抗越強，但仍然需要一個曲率 $K$ 。重力矩大約為 $Mgr heta$ ，設 $K( heta)=k heta+O( heta^2)$ （注意這裡的係數 $k$ 是常數，因為只取決於主銷後傾導致的幾何約束，不依賴於速度），則對於小的傾角，大約需要速度 $vsim sqrt{frac{g}{k}}$ 就可以保持平衡，更快的速度甚至可以使自行車恢復豎直。也就是說速度大於上述值的自行車可以穩定平衡在豎直狀態不會傾斜。這裡的關鍵在於由於函數 $K( heta)$ 不依賴速度，整個抵抗力矩就隨速度平方增大。

而在硬幣的例子里，發揮相同作用的是重力矩本身，即有多大重力矩就產生多大的抵抗效應來平衡它 $Ksim frac{g}{2v^2} heta +O( heta^2)$ （注意這裡的速度依賴，上面強調了自行車是沒有這個速度依賴的。由於硬幣轉彎的曲率有速度壓低，對重力矩的抵抗效果無法隨速度變化，永遠不會超過重力矩本身），只要得到的 $R>r$ 這個圈就能一直轉下去（忽略摩擦）。相比自行車，它沒有辦法恢復豎直，只能保持隨遇平衡。關鍵點在於函數 $K( heta,v)$ 由動力學決定，

而陀螺主要靠進動來抵抗傾倒，如果沒有初始的章動則和硬幣一樣通過產生合適的進動角速度 $Omegasim frac{g heta}{omega r}$ 來恰好抵消重力矩，同樣無法恢復豎直；但是它在這個新的傾斜的平衡點有著穩定平衡，如果有初始章動速度，它會圍繞平衡點做「點頭」運動。

有問題歡迎大家指出。

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P.S. 記得看過一個實驗視頻硬幣在足夠光滑的表面上一直轉動，由於微小的摩擦硬幣緩慢傾倒貼服在表面上，但是仍然在高速轉動，甚至加速轉動了（角動量守恆轉動慣量減小），在停下之前硬幣有著非常有趣的行為。有見過那個視頻的歡迎給個鏈接。

（感謝@胡樂在評論區提供鏈接）

主銷後傾自動補償
人腦阻尼+主動干擾+主動補償

終於有人提這個問題了。本人不同意角動量之類的說法。
先給我的答案，再來批駁某些優秀回答者的想當然結論。

首先必須注意，研究對象是------人?車。其次是軌跡。
車是速度的執行者，人是方向的調整者。自行車在行進過程中，實際上軌跡是一個由(敲黑板啦)無數個曲率不一的圓弧構成的曲線。劃關鍵詞:無數，圓弧，曲線。曲線！圓弧者，圓周的局部。
不管自行車速度多快，騎行多穩，自行車都是絕無可能在軌跡方程的任意兩個可導區間內作直線運動的，再強調一遍，絕無可能。一旦有直線運動的趨勢，車必定自動歪斜，即不平穩，這個時候，人扭轉若干次車頭就可以補回歪斜，即保持平穩。高中物理已經清楚說明，物體作圓周運動，哪怕是局部的圓弧運動，是需要有力去充當向心力的。在自行車的"無數圓弧構成的軌跡運動"中，地面摩擦力和人車重力的相應分量構成了所需向心力，重力的相應分量去充當了向心力，是人車不倒乃至平穩的原因。
另外，為防止有人說這些只是分析，那麼我想進一步說明:自行車的軌跡是完全可以在計算機中計算和演繹的，根據軌跡曲線方程，可以導出一階二階微分曲線，也就是速度方程和受力方程。高中知識本已足夠解答這個問題，說這個，只是想表明:任何一個騎車的瞬間，都可以找到曲線曲率-速度-受力三者之間的方程關係，也就是說，我們可以完全不是定性分析，還能微觀定量確知其所以然，騎車是這個充滿無數圓周運動的可導過程，每一個曲線拐點其實就是人在大腦小腦綜合指揮下作出的車頭操作動作的函數體現，但又都處處可微分。

好了，反駁角動量等想當然答案。
大家有條件愛較真的話，完全可以去做一個實驗:做一輛完全不可轉車頭的固定死的自行車，前後輪完全平行共線，拿去持續提供一個速度以後，看它能不能歪斜的時候自己像陀螺一樣爬起來繼續表演。
得了吧。
人沿著公路白線騎都難度大得一筆，遑論完全走直線呢？
角動量云云實在是站不住腳，不想再多說什麼。
以上。

更新
明天deadline了，所以只能統一回復了。
我的回答問題很大，不在於「為什麼脫把也能騎」和「單輪為什麼不倒」，而是在於回答中沒有特定的分析對象。先挖坑，等放假了再回來填。
另外，告訴你們哦，乃們不要惦記著頭像的妹紙╭(╯^╰)╮
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被督工翻牌，誠惶誠恐ヾ(o???)? 。
評論中有人提到了為什麼車停著不能保持直立。當然，如果通過練習，肯定是可以的。拋開這個原因，如果前輪未發生轉動，即相對地面無位移，則在轉向時地面將無法提供側向的靜摩擦力，正是由於這個靜摩擦力，使得騎行者能調整身體的重心。換句話說，當正常騎行車輪轉向時，車身有朝轉向一側傾覆的趨勢，此時再反向微調小角度，側向的靜摩擦力將車身拉正。

好吧(∩_∩)，其實有知友已經翻出以前的答案打臉了，我的權當瞎掰
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反對目前包含「轉動」和「動量」的回答。
如果把自行車後輪懸空，全速轉動踏板，然後搖晃車身你會發現，後輪轉動提供的力矩可以說是微不足道的，更何況人騎車時重心提高後這點力矩的效果。
比較認可的解釋是:處於系統最高點的人腦通過學習過程，建立了車體的側傾與車把控之間的反饋調節。在騎車過程中，當大腦會感知側傾角度，然後反饋給手臂使得車把轉過一個微小的角度，周而復始，連續的感知—反饋過程使得自行車始終不倒。再此過程中，意識層甚至不用給出具體的指令，類似非條件反射。
例證有三:
其一，當飲酒使得小腦麻痹後，無法騎車(當然路也沒法走)
其二，當把車把手焊死後，就算被推出去，時車輪獲得一個初速度，也無法直線行駛，很快就會倒。這個我試過，完全無法駕馭。
其三，當騎趟式自行車時，雖然重心重心更低，但平衡會更難掌握。原因就是當躺下時，由於力臂減小，人腦對於橫滾的感度下降，難以形成有效信號反饋給手臂，相當於反饋的「刷新率」下降，所以騎躺車時不穩(當然，這只是我的個人感受)。
綜上，自行車不倒的原理可以視為:
「在大腦非條件反射引導下，雙手可以不停調節車把微小的角度以修正車體的側傾」

學車輛的告訴你是主銷後傾角和回正力矩做到的，不騎就沒有回正力就是個倒立擺，容易倒。

靜止時是倒立擺，天生不穩定；
前輪，注意，僅需要前輪，轉動時，轉動慣量通過前叉傾角對整體重心有一個負反饋的控制。
所以不管車上有沒有人，你就算從平衡位置為起點把車子推出去，也能抑制一部分路面顛簸穩定前進。
另一個假設，前叉是垂直於水平面的，那麼該倒還是會倒，輪組的轉動慣量起不到什麼實質性作用，因為相對整車質量而言太低。

看了許多答案，都沒抓到核心，搞得很複雜。其實很簡單，核心就是向心力的作用。騎行時，能產生向心力，容易達到平衡。靜止時沒有向心力，不容易平衡。

騎行時，如果車子要向右歪倒，那麼你稍微向右一轉彎，那麼此時歪倒的重力就轉為轉彎需要的向心力，車子就不倒了。然後調正方向。所以騎行時一路上一直都是這麼不停地用微小的轉彎來化解歪倒的重力。所以很難保持在一條直線上騎行，都是S線運動。

當然還要注意另外一個原因，在相同重力作用下，即歪倒角度相同時，速度慢時，需要轉大彎才能抵抗住；速度大時，只要轉小彎就能抵抗住了。所以速度快時容易走直線。

前進中的自行車，可以在前進時分出左右兩個方向的可控位移，

用來把重心控制在車輪軌跡的範圍內，不光自行車，輪滑的單腳動作，滑冰的單腳動作，單板滑雪，衝浪，都是這樣

難嗎？很簡單啊～(￣▽￣～)~

車子上沒人也能自己立住啊！(??ω?)?嘿

別噴我，抖個機靈而已～
_(:з」∠)_

引用我之前的一個回答：

為什麼自行車騎起來之後就不會兩邊倒？世界哪有那麼簡單嘛~

這個問題先分為人騎和自行來… https://www.zhihu.com/question/20023314/answer/24655489

世界哪有那麼簡單嘛~
這個問題先分為人騎和自行來答：
一、人騎
低速或靜止時靠的是人的平衡能力，靜止在車上半小時以上的大神還是不少地。低速時車輪部件的角速度小的可憐，不足以成為主要原因，所以騎的超級慢或靜止時對人的平衡要求比較高。so這個最難。

正常速度 車輪的角速度有點兒作用了，但還不是主要原因，這個速度下車和人做曲線運動時的向力已經相當可觀啦，這時人的作用大多為調節車身的傾角，向心力和離心力之間的博弈讓車不倒並實現一定角度的轉向。這時人的技術表現在高車速下更大的騎行轉角。

高速時 車的動量和車輪的角動量十分可觀，車的平衡可以說主要為角動量維持，加上一點點的傾角調節。這時大多人可以放開車把用身子進行傾角調節，自以為很流b。

下圖為正常人設計的車子：紅色夾角小於90度，這樣車向哪邊傾車把就隨著傾斜，這樣後生們敢放開車把手。

要是設計師是個腦殘派（比如答主）把車設計成下圖：紅色角大於90度，嘿嘿哪位大大敢高速放車把手。

二、自行
低速車子自行不倒？沒經過特別設計或普通車子不可能。沒人了呀~ 上面說了嘛(￣.￣)

正常速度 車輪的角動量對車身或車把（沒有人了哦）來說相當可觀，可以維持車把受到較小其它力而緩慢轉運，上面說了車把手的傾斜原理，所以正常速度的無人車子可以自行滴。

高速這個情況和上面類似不在贅述，只是跑的更遠~

假設當前你騎著自行車在路上直線行駛，這個時候，碰到外部因素讓你的車子向右邊傾斜，那麼這個時候你肯定會稍稍向有扭動車頭，使得車子稍稍向右轉，這個時候你就處於圓周運動的狀態，想讓這個狀態保持穩定(車子不會由於重力繼續向右傾倒)，車子在運動方向橫截面的整體受力狀態是：在垂直方向重力和地面給予的支持力相互抵消，在水平方向，地面給予車子向右的靜摩擦力。這個水平方向的靜摩擦力剛好提供了圓周運動所需的向心力。此時M*V^2/R = F， (M為車+人的質量， V是前進的速度，即圓周運動的線速度， R為圓周半徑，F為向心力)，可見 V越大， F/M就可以越大， 即更高的騎行速度可以容納更高的傾斜程度， "容錯性"更好。當你要恢復直線行駛的時候，只需要讓身體慢慢向左傾斜，並且慢慢回復車頭的朝向。

我覺得事情沒那麼複雜。控制自行車的技巧實際上就是車往哪邊倒就向哪邊轉向，形成圓周運動，用向心力來平衡傾翻力矩。向心加速度等於速度的平方除以轉彎半徑，所以速度越快越可以用微小的曲率（其實就是車頭轉向角度）來平衡傾翻力矩。靜止時向心力為零，就只能通過調整人體重心來平衡了，顯然難度極高。

首先自行車這種機械上的東西是先有技術和產品，後才有理論，而且目前為止關於自行車的理論仍然在發展。最早的解釋是想利用陀螺效應解釋自行車的問題，主要涉及輪子的轉動和力矩操控。但是實際上這樣的因素不是主要原因，在1970年《今日物理》雜誌上就報導了一輛自製的沒有前輪陀螺效應的自行車照樣能夠穩定行駛的現象。文章的作者提出了「前輪尾跡」的理論，即行駛的自行車有一個傾斜角時，自行車的前輪由於「前輪尾跡」的緣故，會自動向傾斜的一側產生一個偏轉角。正是這個偏轉角產生的離心作用使自行車能夠把自己扶正。因此即使沒有人駕駛，在一定的速度之下，直行的自行車運動也是穩定的。這種理論主導了科學界很多年，直到2011年《science》上發表了一篇文章，論證了在沒有陀螺效應也沒有前輪尾跡的條件下，自行車照樣可以行駛得很穩定。他們對該模型進行了理論求解，說明在一定的質量分布下，自行車的結構實際上是一種不能夠自動控制其行駛穩定的交通工具，而不需要特定的效應作為主導。感興趣的讀者可以查看《 A bicycle can be self-stable without gyroscopic or caster effects》（J. D. G. Kooijman, J. P. Meijaard, Jim M. Papadopoulos, Andy Ruina,and A. L. Schwab Science 15 April 2011: 339-342. [DOI:10.1126/science.1201959] ）。
原文鏈接https://mp.weixin.qq.com/s/yJPVFmkJ2Ld0IAGkg4ioiA

我初中學慣性有人就提到自行車說明速度越大慣性越大，當時被老師否了，其實我也不贊成。
後來稍微想了想，自行車那個問題應該這樣解釋：人通過控制車把改變摩擦方向，重力與摩擦力合成提供向心力左右畫圓了，在雙丟把時體驗最深刻。速度快，當車傾斜時能夠適應的傾角越大，為人的糾偏提供充分的時間。而車速慢則會發生更大的傾斜最終只能下車停下。
另外對於向心力的理解當時還想不太明白，後來在想衛星公轉時想明白的，其實是拋物運動的一個極限狀態。

因為裝了兩個陀螺儀啊！陀螺儀不工作時，就不容易保持平衡.

這個問題其實很複雜，包括幾位回答的大佬可能也沒意識到這背後到底是個怎樣複雜的物理系統。不過我對相應的物理知識的理解近乎拿衣服，還是乖乖的轉載吧，原文來自環球科學的公眾號，更向前追溯應該是nature上的新聞。這段關於現代自行車研究的歷史啟發了我，理論和實踐其實可以是兩條平行線，我們對自己習以為常的實踐對象可能一無所知，我們所以為的簡單可能只是大腦習慣性的整合和忽略罷了。

幾名研究者一起攻克了這個困擾了科學家一個世紀的難題。

帕佐普洛斯對自行車著迷了大半生，甚至達到了忘我的地步。在青年和大學時代，他曾參加過業餘自行車賽，但他還對自行車背後更深層次的知識著迷。在騎車時他總是要思考背後的數學問題，其中最主要的是：自行車為什麼不會倒？到底是什麼看不見的力量讓騎車人在踩踏板的時候還保持平衡？為什麼要先把把手向右轉才能使車傾向左邊並向左轉？以及，怎樣使自行車在無人駕駛時還保持平穩行駛？

他年輕時在康奈爾大學當工程師，期間就努力鑽研了這些問題。然而，他大部分的設想都沒有發表，導致他最終退出了學術界。上世紀90年代末，他淪落到去一家生產廁紙製造機器的廠家工作。「如果最後沒人發現你的作品，繼續工作也毫無意義。」他說。

但是終於有人發現了他的工作。2003年，他當年在康奈爾的老朋友和同事，工程師安迪·魯伊納（Andy Ruina），給他打了個電話，電話里說，一個來自荷蘭的科學家阿倫·施瓦布（Arend Schwab）去了他的實驗室，有意幫他重啟關於自行車穩定性的研究。

「吉姆，我們需要你。」魯伊納告訴帕帕佐普洛斯。

兩個輪子就好了

這幾名研究者開始一起攻克這個困擾了科學家一個世紀的難題——自行車如何維持平衡，他們的結果發表在了《美國科學院院刊》（Proceedings of Royal Society）和Science雜誌上。通過這些基礎研究，他們力求把更高層次的科學知識注入全球市值達500億美元的自行車工業。長久以來，這個行業主要依靠人們的直覺和經驗，而不是嚴謹的數學。他們的研究成果可以帶動這個行業所急需的創新想法，或許可以幫助設計師們發明更穩定、更安全的新一代腳踏與電動自行車。此外，關於自行車的見解還有潛力在其他行業發揮作用，例如假肢和機器人製造。

「所有人都會騎自行車，但沒人知道我們是怎麼騎上自行車的。」在加州大學戴維斯分校讀體育機械學的工程師蒙特·哈伯德（Mont Hubbard）說。「單純從學者的角度來看，關於自行車的研究本身就很有趣，但同時這些研究也很實用，因為它們能夠幫助人們出行。」

對於機械工程師來說，關於自行車的難題有著特別的吸引力。魯伊納說：「我們機械工程師平時打交道的就是牛頓三定律，相當於還停留在數學、物理和工程緊密結合、密不可分的19世紀。」他說，自行車是該領域中為數不多的一個「碰巧跟日常生活有聯繫的數學問題」。

第一個老式自行車的專利可以追溯到1818年。經歷不斷的嘗試和失敗以後，自行車在20世紀初的時候進化成了類似現在的樣子。但是，這麼多年來，竟沒有多少人想過它們為什麼能運轉，以及是怎麼運轉的。William Rankine，一個曾分析過蒸汽機的蘇格蘭工程師，在1869年首次提出了「反轉向」現象，即要想向左轉，騎車人必須先微微地把車把向右側轉動，才能讓車身向左傾並成功左轉。

傾斜和車把方向的聯繫賦予了自行車最神奇的特徵：在行進時可以讓車身平衡。如果猛推一下無人駕駛的自行車，它可能會先踉踉蹌蹌地行駛一陣，但總能恢復平穩向前行駛。1899年，英國數學家Francis Whipple推導出最早的，也是最權威的自行車數學模型之一，就是為了探索這種自動穩定性。Whipple把自行車模擬為四個固定的物體：兩個輪子、一個上面坐著人的車架，以及車前身加把手，這四個部分由兩條軸和一個中樞連接起來，並受到重力的作用。

把一輛自行車四個部分測得的數值代入模型，自行車的運動軌跡就像分解動畫一般一幀一幀地放出來。此時工程師就可以用一種叫特徵值分析（eigenvalue analysis）的手法來檢驗自行車的穩定性，就像檢驗飛機設計一樣。1910年，基於上述的分析，數學家Felix Klein和Fritz Noether跟理論物理學家阿諾爾德·索末菲（Arnold Sommerfeld，沒錯，就是量子力學的開山人物之一，海森堡、泡利等量子力學大佬都是他的學生）一起研究了陀螺效應，即旋轉的輪胎不會傾斜的現象對自行車的影響。把一輛自行車向左推，快速旋轉的前輪就會向左轉，自行車能保持直立可能出於這個原因。

然而，1970年4月，化學家、大眾科學作家戴維·瓊斯（David Jones）否認了這個理論。他在一篇發表在Physics Today的文章中描述了自己的研究：他造出了一系列根據索末菲等人的理論根本無法駕駛的自行車，在其中一輛自行車上，他安裝了一個反向旋轉的前輪，從而有效地抵消陀螺效應。根據索末菲等人的理論，這輛自行車應該無法保持平衡才對，然而他不用手也可以幾乎毫不費力地駕駛。

這個發現促使他探索其他可能的影響因素。他將自行車前輪和商場購物車裡能夠轉向手推方向的小腳輪做了對比。自行車的前輪相當於小腳輪，因為輪子與地面接觸的點總是在把手軸後5至10厘米處。這個距離稱為「曳距」（trail）。瓊斯發現，當曳距過大時自行車會穩到騎著彆扭，而曳距為負值的自行車則十分危險——它會讓你在放開把手的一瞬間跌落。

瓊斯總結道，當單車開始傾倒時，腳輪效應會使車的前端在重力下向迴轉，因而保持直立。他認為，小腳輪曳距是對自行車自穩性的唯一解釋。在他四十年後發表的回憶錄里，他把這個發現當做自己一生中最重要的成就之一。「我現在被譽為現代自行車理論之父。」他宣稱。

準備就緒

那篇文章，給當時還生活在俄勒岡州科瓦利斯市的青年帕帕佐普洛斯留下了深刻印象。他有著對數字的天賦，但他童年時的家庭十分不幸。他的父親邁克爾是一個英國應用數學家，原本在俄勒岡州立大學工作，卻因為反對越南戰爭而沒獲得終身教授職位。接下來的十年中，邁克爾一直在法庭上跟讓他失業的大學做鬥爭，而他的家人只能從垃圾堆里撿破爛來維持生計。70年代初，吉姆的母親自盡了。「在我剛剛開始認識這個世界，認識我自己的時候，」帕帕佐普洛斯說，「我的家庭就破碎了。」

在這時候，自行車給了他慰藉。他留著齊肩長發，在小鎮里到處踩著他的Peugeot AO8。他不再去上學，成績一落千丈。17歲的時候他輟了學，離開了家。但在他放棄學業之前，一位老師給他讀了瓊斯的文章。

帕帕佐普洛斯覺得這篇文章有趣又撲朔迷離。他想：「我必須要學會這些東西。」他在加州伯克利附近遊盪了一個夏天，利用空餘時間讀著George Arfken的《物理學家的數學方法》教材。接著他在俄勒岡州尤金市的一家膠合板廠工作，從此掙到了足夠的錢，買下了他每周末比賽時騎的傳奇版Schwinn Paramount自行車。1973年，他去了英國利物浦為生產自行車架的Harry Quinn公司工作，但他表現並不好，導致Quinn開除了他。

1975年，帕帕佐普洛斯回到俄勒岡，在俄勒岡州立大學上了一年學後轉到麻省理工學院讀機械工程的本科，並取得了優秀的成績。埃克森石油公司（Exxon）資助他完成了固體力學的博士學位。他的本科導師Michael Cleary非常看好帕帕佐普洛斯在學術界的前途，他告訴埃克森公司內部雜誌的作者：「我覺得吉姆會成為一名大學教授——我當然希望他留在麻省理工。」

然而，帕帕佐普洛斯卻有其他的打算。他一直在研究Whipple的自行車模型和瓊斯的文章，並在某個暑假參加了在美國地質調查局的實習。在這裡，他第一次遇到了後來的合作夥伴安迪·魯伊納（Andy Ruina）。

他們馬上成為了親密的朋友。當魯伊納得到了康奈爾大學的教職後，他就僱傭了帕帕佐普洛斯為博士後。「我們無時無刻不在討論自行車，但我沒想到他會這麼嚴肅地對待它。」魯伊納說。

帕帕佐普洛斯說服魯伊納，也許自行車公司像石油公司一樣有興趣為學術研究提供經濟支持。於是他開始向自行車製造商籌款：「捐5000美金，你就可以成為康奈爾自行車研究項目的贊助方！我們有志研究關於自行車的一切，從輪胎強度到雨中剎車失靈問題等各個方面的問題！」

帕帕佐普洛斯的第一個目標，就是研究到底是什麼因素導致有的自行車比其他自行車更平穩。他坐在辦公室里，細細研讀了30篇別人發表的自行車運動公式，得出的結論是他對這些研究之拙劣感到很吃驚。公式是把自行車車架的幾何構造與操控過程聯繫起來的第一步，但是這些論文中提出的每個新模型都很少引用之前的作品，許多論文錯誤連篇而且難以互相對比，他只能從零開始。

經過一年的努力後，他自認為掌握了明確的一系列公式。現在，到了讓這些式子助力他的研究的時候了。「我會盯著這些等式坐上好幾個小時，嘗試找出它們背後的含義。」他說。

首先他根據瓊斯提出的關鍵變數——曳距重寫了自行車公式。根據瓊斯的結論，當曳距為負值時自行車本該會不平穩，但他的計算結果卻顯示並非如此。他在當時撰寫的一篇報告中畫出了一輛從把手向前伸出一個重物的怪異自行車：「重心稍微前移可以彌補輕微負值的曳距……似乎自行車的自穩性並不是由單一變數決定的。」

這個發現意味著，自行車容易駕駛與否，並不能由一個簡單的法則決定。曳距或許有些作用，陀螺效應和重心或許也有些作用。對於帕帕佐普洛斯來說，這一發現有重大啟示。最早的車架建築師只是碰巧發現了一個感覺可行的設計，然後就一直被局限在小範圍的幾種設計方案中，但其實，或許還有大量沒被嘗試過的幾何形狀可以改革自行車的設計。

衰落

兩年後，魯伊納已經資助不起帕帕佐普洛斯了。除了自行車製造商Murray，他們得到的僅有的兩家贊助來自Dahon和Moulton，兩家小輪自行車的製造商，大概是因為小輪自行車特殊的設計使它們比較難騎。魯伊納開玩笑說，他們應該把項目名稱改為「摺疊自行車研究項目」，真是黑色幽默。

雖然帕帕佐普洛斯在自行車的數學理論方面取得了進展，但他只發表了一篇作為第一作者的論文。「我覺得，發現新事物和鑽研細節比把它們寫下來有趣多了。」他說。既得不到資金，又發表不出論文，他的自行車研究生涯漸漸結束了。1989年，他把他的自行車裝進一輛麵包車，開去了他當時妻子工作的伊利諾伊州，在學校和工廠忍受著他厭惡的工作。在空餘時間他為《硬核自行車愛好者》雜誌建立並維護了自行車科學愛好者的電子郵件名單，也幫忙給電視真人秀Junkyard Wars造了一輛能塞進行李箱的車。

2001年，來自麻省理工的工程師，發明了最早的現代躺車（recumbent bicycles）之一的David Wilson邀請帕帕佐普洛斯與他合著《自行車科學》（Bicycling Science）的第三版。然而，當時的帕帕佐普洛斯卻正被債務和責任壓得喘不過氣。他連第一章都沒能寫完發給Wilson，後來直接連郵件都不回復了。Wilson覺得自己被背叛了。「他是個非常聰明的人，」Wilson說，「但他總是無法完成任何事。」不過，帕帕佐普洛斯說他其實完成了任務——不過比預期的耗時長了兩年罷了，當時心力交瘁的他正經歷一場難熬的離婚。

回歸自行車

在康奈爾，魯伊納繼續研究自行車。他把之前研究團隊對自行車的見解應用在了一個新的領域——機器人上。他認為，如果自行車可以不藉助控制系統而展現如此優雅的穩定性，那或許也可以設計出一種能如此行駛的極簡行走機器。1998年，他跟荷蘭代爾夫特理工大學的施瓦布的研究生學生Martijn Wisse合作，製造出了一個可以完全不用馬達走下緩坡的兩腳機器，它能把能量儲存在擺動的手臂里。在此基礎上加上幾個電子馬達，一個可以在平地上行走的節能機器人就誕生了。

2002年，施瓦布決定跟魯伊納一起過年假，然後他們討論到了以前的自行車研究項目。這時魯伊納給帕帕佐普洛斯打了個電話，並上門造訪了他。「這是我第一次見到那個天才。」施瓦布說。

隨著路上的自行車越來越多，施瓦布覺得不可理喻的是竟然沒有人發表過正確的自行車公式組，更不用說把這些公式應用在解決自行車設計的難題上。他和一位現在位於荷蘭特溫特大學的工程師Jaap Meijaard分別獨立推理出了自己的公式，這與帕帕佐普洛斯的公式完全相符。他們在韓國一個工程會議上展示了最終的自行車公式，然後四人聯合發表了結果。

現在的問題就是要證明，這不僅僅是個數學發現。施瓦布和學生花了一年時間建造出了一個負值曳距極小，卻具有自穩性的自行車。這輛車看起來就像是單腳滑板和蹺蹺板的結合體，一個重物從前輪向前伸出，還有一個反向旋轉的車輪來抵消陀螺效應。在一個它滑行的視頻中，你能看到它先傾斜並向右轉，但接著就自己恢復平穩。這個實驗證實了帕帕佐普洛斯的觀點，即自行車穩定與否由多種因素共同決定。

然而，在自己的發現在30年之後終於為更多人所知的時候，帕帕佐普洛斯卻忍不住感到失望。「這並沒有如我們想像那般改變一切。」他說。自行車架的設計仍然年年如一。「大家都還無法打破常規思考。」他說。儘管如此，其他的研究者們也跟上了他們組的軌跡，在2010年，終於舉辦了一場關於自行車與電動車動力學的會議。會議召集了來自世界各地的工匠，其中一些人也製造了怪異的實驗性自行車，用來驗證設計原理。

去年這項會議的組織者是來自加州大學伯克利分校的工程師Jason Moore，他力求尋找自行車車架的幾何形狀與操作簡便程度之間的聯繫。這項工作受啟發於關於飛行員的軍事研究。Moore通過在裝滿感測器的自行車上進行一系列演習，監測了車把方向，傾角和速度，創建了一個人類控制自行車的模型。為了只通過車把來平衡和騎行（而不是重心的移動），他不得不穿上剛硬的馬具把自己綁在自行車上。這項研究證實了自行車越平穩越好駕駛這一長期以來的假設，或能為車架建築師們提供優化設計的工具。

這同時也引入了一個難題：實驗實測車把所需的轉矩是Whipple自行車模型預測的二至三倍。這個差異或許源於模型里沒有包含的輪胎摩擦和彎曲，但並不能蓋棺定論。為便於實驗，Moore和他的同事們建造了一個可以平衡自身的機器人自行車。「只要有個機器人自行車，你就可以做很多瘋狂的實驗，不用讓真人騎上去冒險了。」他說。（他之前的一個控制實驗要讓木棍猛地側擊自行車，還要保持平衡。）其他許多無人駕駛的自行車機器人需要靠內部的陀螺來保持直立，但這個機器人只靠車把。Moore已經把它寄給施瓦布做更深入的研究了。

今天，施瓦布擁有了帕帕佐普洛斯夢寐以求的實驗室，帕帕佐普洛斯也為能夠與他合作感到不勝感激。「這是我能想像到的最美好的東西。」他說。施瓦布其他的研究項目包括一個將把向運動跟平衡運動分離的「線把向」自行車，還有一個可以在低速行走時保持平穩的「輔助把向」自行車。他還發明了一種能展現自穩性的後輪轉向躺車，用放大的前輪來增大陀螺效應的放大的前輪。後轉向躺車最大的好處是需要的車鏈比傳統躺車更短，因而能更有效地傳遞能量。「有人之前嘗試過，但並不能駕駛。」施瓦布說。

淡出學術圈已久的帕帕佐普洛斯如今在位於波士頓的東北大學任教，開始再次嘗試進入學術圈。他開始建立合作關係，驗證一些蟄伏已久的關於為什麼自行車在高速行駛時會搖晃的猜想。他相信，能夠用一個消音器吸收坐桿處的震動，從而減少晃動。他跟同事和學生也由此開始探索一系列其他問題，有些甚至跟自行車本身沒有太大關係了。

在他的地下室，帕帕佐普洛斯打開了一個褐色備案櫃的抽屜，翻起了皺巴巴的馬尼拉文件夾。上邊標記著「胎壓」，「生物動能」，和「康奈爾」。他拿出一本教科書：「運動生理學？我從未認真讀過。」他說著，把書丟到一邊。在抽屜深處，他找到厚厚一本文件夾的自行車研究方案，上面標記著「未完成」。

帕帕佐普洛斯沉思了一秒，把標籤改成了「基本未完成」。

撰文 Brendan Borrell
翻譯鄧月
審校丁家琦

原文鏈接：
http://www.nature.com/news/the-bicycle-problem-that-nearly-broke-mathematics-1.20281

車子轉彎不單在把手的轉彎，還靠身體的轉彎協調配合才完成穩妥的轉彎。否則很難改變方向的

做個實驗，假設自行車的輪子和本身質量幾乎為零，又或者輪子直徑非常小，只要動起來人照樣跌不倒，這就證明跟向心力和陀螺完全沒關係。人和自行車是有質量的，只要向前有個速度，就有動量、有慣性，慣性越大，越往兩邊上下不容易偏移，它的大小與質量和速度的積成正比。人在運動的時候能左右搖擺調節自行車的狀態，假如這個自行車非常非常高，輕微的傾斜重心可能就調整不過來，要保持持續前行可能困難就越大。