矩陣填充與矩陣分解的區別是什麼？

矩陣填充（Matrix Completion）與矩陣分解（matrix decomposition/factorization）應該是不同的概念。但是為什麼在協同過濾中只講矩陣分解呢，並且有的說協同過濾本質是矩陣填充。

謝邀，區別很簡單。

已知一個部分可觀察的矩陣M。

矩陣補全（Matrix Completion）目的是為了估計矩陣中缺失的部分（不可觀察的部分），可以看做是用矩陣X近似矩陣M，然後用X中的元素作為矩陣M中不可觀察部分的元素的估計。

矩陣分解（Matrix Factorization）是指用 A*B 來近似矩陣M，那麼 A*B 的元素就可以用於估計M中對應不可見位置的元素值，而A*B可以看做是M的分解，所以稱作Matrix Factorization。

顯然，通過以上描述可知，矩陣分解可以用於矩陣補全任務。此外，做矩陣分解也可以用於分解一個完全觀察的矩陣，比如通過分解來對一個完全觀察的矩陣做有損壓縮和低維表示等等。而且，矩陣補全也並不總是採用分解的方法。

題目中提到『但是為什麼在協同過濾中只講矩陣分解呢』，推薦中的協同過濾顯然也可以用非分解的矩陣補全方法。

矩陣填充是一個task，矩陣分解是一類operation。

在推薦系統里，如果有評分矩陣M，其中的每個元素(i, j)可存在可缺失，存在時代表用戶i對商品j的評分，那麼當我們基於協同過濾來推薦時，這個推薦問題可以較好地歸約到矩陣填充這個task上來。
這是因為協同過濾本質上是考慮大量用戶的偏好信息（協同），來對某一用戶的偏好做出預測（過濾），那麼當我們把這樣的偏好用評分矩陣M表達後，這即等價於用M其他行的已知值（每一行包含一個用戶對所有商品的已知評分），來估計並填充某一行的缺失值。若要對所有用戶進行預測，便是填充整個矩陣，這是所謂「協同過濾本質是矩陣填充」。

那麼，這裡的矩陣填充如何來做呢？矩陣分解是一種主流方法。這是因為，協同過濾有一個隱含的重要假設，可簡單表述為：如果用戶A和用戶B同時偏好商品X，那麼用戶A和用戶B對其他商品的偏好性有更大的幾率相似。這個假設反映在矩陣M上即是矩陣的低秩。極端情況之一是若所有用戶對不同商品的偏好保持一致，那麼填充完的M每行應兩兩相等，即秩為1。
所以這時我們可以對矩陣M進行低秩矩陣分解，用U*V來逼近M，以用於填充——對於用戶數為m，商品數為n的情況，M是m*n的矩陣，U是m*r，V是r*n，其中r是人工指定的參數。這裡利用M的低秩性，以秩為r的矩陣M"=U*V來近似M，用M"上的元素值來填充M上的缺失值，達到預測效果。

之所以說矩陣分解是一類operation，是因為上述的低秩矩陣分解只是矩陣分解的一種，為人熟知的矩陣分解還有LU-矩陣分解，QR-矩陣分解，特徵值分解等等。之所以在協同過濾中經常把重點放在矩陣分解上，是因為在如今推薦系統問題的龐大數據規模下，矩陣分解這樣的方法表現出了優秀的性能，是亮點。

才疏學淺，報道如有偏差還望指正。