在有原函數表達式的情況下，為什麼需要用微分求得近似函數？

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是這樣的，微分是對複雜的函數求其導函數，比如近似一次，近似二次，直到可以泰勒展開
人們說這麼逼近和近似的目的在於用簡單的方式處理那些函數~~
可是我這裡有一個疑問了，想要微分，肯定是需要知道原函數的表達式的，那既然都知道了，為什麼還要用個近似/逼近的函數？
如果只是為了簡化，可是泰勒展開那計算的複雜程度，也不亞於原函數的複雜啊~~

謝邀。
知道原函數的表達式就能求出原函數的值了嗎？不用微積分的方法你怎麼逼近sinx在任意一個點x的取值？連函數怎麼取值都不知道，你怎麼敢說你「知道」這個函數？

有了微積分，有了泰勒公式，你就可以把sinx做冪級數展開，對任意一個固定的點x,你就可以編個兩行代碼，用循環語句無腦迭代反覆運算，要多精確就有多精確。

當然數學家大部分時候是不需要知道具體的函數的（近似）值的。我們需要研究函數的整體或者局部的性質，這個時候用簡單的函數，比如多項式，比如三角函數（傅立葉級數）來代替原函數，我們就能近似觀察函數的表現。比如數分上幾乎所有的函數極限題，求解方法本質上就是用多項式近似代替原函數，然後多項式的極限怎麼算你是知道的，所以原來的函數極限怎麼算你也就知道了。

謝邀。

因為要比較各個不同函數的相對增長，而且冪級數比較容易處理。如果不知道微分和泰勒展式，像這種極限你怎麼辦 $lim_{x o 0}frac{x-sin x}{x^3}$ 。

關鍵問題是，你如何計算 sin1？千萬不要告訴我是計算機算出來的。那麼計算機是怎麼計算出來的呢？
沒有Taylor公式的冪級數，怎麼能夠計算各種函數的值？

誰說泰勒展開比原函數複雜了？
上面有位學長提到非初等函數，我看就算是初等函數也一樣。最簡單的例子，你能直接給出Sin[x]對任意實數x的值嗎？就算退一步，不說所有實數，恐怕整數你都不知道吧！
據我所知，計算機發明之前，人們編寫三角函數表就是通過泰勒展開（具體多少項視精度需要）來進行計算（否則你怎麼算！除了多項式展開根本無從下手啊！），然後使用時利用線性插值得到你想要的值。
現代數學軟體是怎麼算三角函數的我不清楚，畢竟wolfram他們搞得是商業產品，不可能開放源碼，但我猜測，既然能計算出任意實數的三角函數值，我很難想像除了泰勒展開以外還有多少可用的方法（大概是我孤陋寡聞吧，歡迎大神們補充）
實際上多項式展開還是蠻好算的，你自己試試就知道……

你說的sin,cos，指數函數什麼的，其實就是個縮寫。它們準確的表達就是冪級數。

我可以站在這個角度來說看待它們，以幫助你解惑。

謝邀。
這個問題在純數學中可能會感到困惑，在自然科學中就容易理解了。
數學課本里的例子都是初等函數，讓你產生了錯覺，以為需要你研究的總是這麼簡單明確。實際在自然科學裡這樣的好事是少數，許多時候我們只能把待研究的量寫成個看似精確實則什麼性質都看不清的形式，例如一個積分。這時你可以計算它的一階導數、二階導數，寫成泰勒級數，對它的性質就獲得了很多了解。舉個例子，固體物理學裡金屬中電子的化學勢隨溫度的變化，就是這樣近似算出來的。這時你會由衷地感謝泰勒等數學家，沒有級數展開簡直寸步難行。

cosx的泰勒多項式逼近cosx的過程

給你舉個例子，傅立葉展開式就是一個用三角函數逼近一般函數的工具，那麼這個公式有什麼用呢？簡而言之你所用的電腦，電話等等電子產品都依賴這個傅立葉展開式，我們所有電子產品之所以能被發明，都是這個公式被發現之後的事，是一切的開端。
有很多時候複雜函數的表達式是不容易計算的，但是展開後變成簡單函數的線性組合就能計算了，這就是泰勒展開式的意義

等你學完微積分你就覺得泰勒展開是多麼的優雅。

因為冪函數只涉及四則運算。而諸如sinx之類的函數，給個x，如何算出個sinx？泰勒展開給了我們一種逼近函數值的方法
況且有些書上在定義sinx的時候就是用冪級數定義的

我覺得嚴格來說
泰勒級數的作用不是「簡化」
而是「近似」
還能估計誤差
這也就是泰勒級數的意義所在

除了上面回答的一些，對於微分近似和泰勒展開的另一個主要運用是顧名思義的，有些時候我們不需要知道一個非常精確的值，我們可以近似用一些多項式來求取一個相近的值來代替。比如泰勒展開後將原函數變為多項式之和，我們可以在滿足我們誤差要求的時候選取有限少數項進行近似，有時候原函數十分複雜，直接算是不容易計算的，比如正弦函數和e為底的指數函數，但是計算多項式對於我們還是比較方便的。如果你認為可以用計算機來代替我們計算，不需要自己算，但你要知道，最初的計算程序也是根據這些演算法編成的。這些都是微積分最基本的運算知識。希望有所幫助。

泰勒展開只是在1，x，x^2，……這組基下。還有很多其他的展開，比如切比雪夫等等。雖然不知道原函數，但是觀測到一些數據點那麼就可以進行逼近，至於誤差，一般用余項估計。

某些精確不出來的只能逼近了 e的冪函數三角函數等等