泰勒展開只在一點上，怎麼保證整個函數能夠趨近？

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如果有兩個不同函數，它們在[-1,1]區間上完全相同，以外的區間完全不同，那麼在0點的多階導數不都應該相同嗎?那麼它們的泰勒展開也相同啊，那無限階的泰勒展開應該趨近與那個函數呢

管中窺豹不無道理，只要你窺的是一頭解析豹。

謝邀
首先我們有這個事實:任何冪級數都是泰勒級數
任給一個函數，可以形式上寫出一個泰勒級數，首先這個級數收斂半徑不一定是正無窮，甚至可能是0。
其次，就算在收斂域內也不一定收斂到原函數，收斂域內收斂到原函數的條件是函數和級數作差余項趨近於零。
例子都是容易的，你自己都舉了一個......

如果一個函數對應的泰勒級數能收斂(任意點的局部鄰域即可)回原來的函數，那麼這個函數稱為解析函數.一個解析函數在一個區域上的取值確定了，這個函數其實就基本確定了.就好比多項式，在n+1個點上的值確定了多項式的係數就都知道了.
一個函數的泰勒展開不一定能收斂回去的，一個函數的傅里葉展開也不一定能收斂回去的，兩者不是那種意義上的一一對應關係.

為什麼兩個二次函數有三個公共點就知道這兩個二次函數每一點都相等？是否存在在（-1，1）里完全相等但是在外不相等的二次函數？

學數學，甚至於學理工科，最重要的一個習慣就是，看到一個結論，第一反應是它的條件是什麼。。為什麼上面那個命題看上去比題主你的問題結論強得多，但感覺上卻是合理的？因為「二次函數」本身就是一個很強的條件啊。
就好比有些鍵盤俠，天天拿出經濟學裡一些與現實不符的結論出來批判一番，根本不去想到底推出這個結論的條件/假設是什麼。這種人我覺得稱呼一聲民科已經算挺客氣的了。

關於泰勒展開能近似函數任何一個點這個推論，請去查找結論成立的條件。

有個東西叫收斂域，不是所有函數都解析。。。

自行看數學分析教材（沒學過高數不知道上面有沒有
收斂域

這兩個函數得到的泰勒級數形式相同，但是收斂域並不相同。
判斷一個泰勒級數是否收斂到原來函數，就要看它的余項是否趨於0。

在compact上的連續函數是一致連續。