傳遞函數的零點、極點怎麼解釋，有什麼用？

12-28

經典控制理論里，用傳遞函數來描述系統的輸入與輸出之間的關係，搞不明白極點對於系統的穩定性是怎麼影響的。。為什麼要到頻域里去分析。。

題主應該是在思考這樣一個問題：當我們對時域函數f(t)做拉普拉斯變換，把它變成了一個頻率域的函數F(s)，我們到底是在幹什麼。

碰巧最近再又回頭看自控，有了一點點心得，斗膽拿出來分享一下。

1.傅里葉變換到拉普拉斯變換？

2.拉普拉斯變換兩端：時域和頻域，到底存在著怎樣的聯繫？

3.模態是什麼？

如果對於傅里葉變換和拉普拉斯變換很熟悉可以直接看第二條，如果記不太清可以只看黑體字，如果完全忘得沒有印象了建議順著第一條過一遍。

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1.傅里葉變換到拉普拉斯變換？

我們知道任何一個周期函數都可以用傅里葉級數表示，它的複數形式為：

這時，傅里葉級數還是離散形式，接下來我們要把它變作傅里葉積分。

我們只要令

那麼由

就可以推出

那麼

是不是變成了

的形式了。怎麼樣是不是有點積分的感覺了？

此時傅里葉級數就變成了

的形式。

你看積分不就出來了嘛。

我們由此得到了傅里葉積分的表達式：

我們把這個函數完整寫一遍：

發現沒有，f(t)以某種形式積了兩次分然後又變回了f(t)。如果我們把這兩次積分的過程分別裝在兩個黑箱子里，這兩個箱子分別命名為F和F』，我們可以這樣看到這樣一個過程：

中間那個「？」是某個中間狀態，也就是說f(t)經歷一個F變換，變成中間狀態「？」，然後再經歷一個F』變換，又變了回來。

好方便有沒有。這個中間狀態「？」和f(t)就好像建立了某種聯繫，他們之間可以相互轉換。

仔細一看，中間狀態不就是

嘛。但是你看這個式子最終結果其實是和變數t沒有關係的，它是一個關於ω的函數。於是我們把這個式子寫作

而因為最開始我們取

所以這個函數的上下限就變成了正無窮和負無窮，可以寫為：

到此為止，我們就不知不覺地完成了傅里葉變換：從時間域到頻率域的轉換。我們把這個過程回顧一遍就是：

寫成傅里葉變換形式就是：

中間那個就是傅里葉變換和傅里葉逆變換。

理解了傅里葉變換的過程，拉普拉斯變換就很簡單了。

拉普拉斯變換就是在傅里葉變換的基礎之上，為了使當f(t)是階躍函數時滿足狄利克雷第三條件（總之就是為了使傅里葉變換後的f(t)能夠被求出來，而不僅僅是一個式子），引進了衰減函數

這個衰減函數和階躍函數f(t)一搭配，就令從負無窮到零的積分變為零了。積分下限由此變為了0，改寫成：

整理一下就得到：

把

打包成S就是拉普拉斯變換了。

總結一下，傅里葉變換和拉普拉斯變換總共就做了兩件微小的工作：

1）把時間變數函數轉變成了頻率變數函數。

2）把頻率變數函數還可以變回時間變數函數。

2.拉普拉斯變換兩端：時域和頻域，到底存在著怎樣的聯繫？

前面說到拉普拉斯變換完成了從頻率域和時間域的無縫對接。

這給了「信號工人」非常有力的工具。

表面上講，一個信號的時域規律其實很沒有意思，能夠提取的信息不多。別人把一個系統拿給你們這些個專業人士人分析，要你調試要你優化什麼的，你示波器一裝好，看了半天來一句這個信號裡面應該含有周期成分和衰減成分，爬升的速度還可以，就是超調比較多震蕩比較久，至於系統是怎麼產生這些信號的......I am sorry。你導師從你背後跳出來兩巴掌打在你臉上，你TM不知道把這個信號拆了看看？說罷拿出拉普拉斯變換，把這個信號拆機了。時域什麼的就是個殼殼，你打開外殼看到裡面一堆帶S 的分式和參數。這下你笑了，這TM上課做過練習老子會，說罷三下五除二把系統參數該記錄的記錄該調整的調整，你再用拉普拉斯反變換把時域的殼殼合上，這時你看到屏幕上一條穩定光滑的曲線，三個時域表達式常數項K、衰減項、周期項赫然出現在你眼前。這下周期也知道了衰減速度也知道了。你覺得自己牛逼完了，在頻域動動手腳瞬間就把時域信號給解析了出來，這時候你導師又從背後跳出來兩巴掌打在你臉上，你牛逼個鏟鏟，不給你拉普拉斯變換你能幹這個？

以上的比喻並不嚴謹，也不夠全面，不過從簡單的方面（頻域）分析複雜的事物（時域），這就是頻域分析的意義所在。那麼你上課做的那些練習究竟是怎麼影響到時域的呢？這就要求我們探討拉普拉斯變換兩端：頻域和時域的內在聯繫。

根據拉普拉斯變換定理，我們可以知道對s進行某種運算，與之對應的在t上會產生相應的作用。

比如在頻域乘以s，對應時域的微分運算；頻域除以s對應時域積分運算；頻域位移a對應時域乘以exp(-aT)......

所以頻域分析還有一個好處就是把複雜運算簡化為了簡單的四則運算。頻域分析有這麼多好處，那麼理所當然凡事都要用拉普拉斯變換去拆一拆了。

這裡值得注意的，也是我在學習過程中混淆很久的一件事：拉普拉斯變換並不是一個函數，s和t之間也不存在映射關係。具體說就是s取一個值t並不對應著也取一個值，反過來t取一個值在頻域對s也根本沒有意義。這一點回顧前面拉普拉斯變換的數學推導過程就可以理解。我覺得這種印象給初學時的我造成了許多困惑，因為我嘗試著從映射的角度去理解拉普拉斯變換，但實際上它給人的感覺更像是一個有選擇性提取和處理信息的轉換器，只負責分析"S"，至於原函數其他的部分似乎並沒有保留下來。我覺得理解這一點對理解頻域分析也非常有幫助。

3.模態是什麼？

我們在做頻域分析的時候，最終都是要落實到分析系統的零極點上面來的，而零極點直接關係到時域的模態及其結構，因此，理解系統的模態就是理解頻域和時域的關係，我認為是非常重要的。

當我們對拉普拉斯變換熟悉了以後，我們就可以知道s=σ+ωj中在時域對應的物理意義：實部對應衰減環節，虛部對應震蕩環節。當系統有一個極點，那麼s必然對應一個解，這個解在時域必然對應上述的某種環節。這個時候我們還沒有任何輸入，但系統已經出現某種環節，這說明這種環節是系統天生的，等以後有輸入了輸出也必然會帶上這種環節。這就是系統的自由振動模態。

以上是我從零極點產生原理的角度理解的模態。我覺得另一個關於零極點的問題下的答案說得很好，這個答案從微分方程的特解的角度解釋了模態的意義。這裡附上鏈接和原文

作者：Kent Zeng
鏈接：控制系統中的零極點有什麼物理意義么？ - Kent Zeng 的回答
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯繫作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。

極點有什麼物理意義？我隨便指定一個輸入u(t)，u(t) 可以是零（注意這裡沒有用反饋），那麼最終的輸出y(t)就是方程 f(y,dy/dt,....) = g(u, du/dt,...) 的解。方程的解是通解加上特解，而通解就是一堆形如exp(-a1*t)、exp(-a2*t)sin(wt)之類的項相加起來，其中-a1、-a2就是傳遞函數的極點實部！也就是說，在系統的輸出y(t)=blablabla裡頭，極點（或極點的實部）是位於其數學表達式中指數的冪的位置，與時間t相乘（即exp(p*t)里的p）。

如果所有極點都在左半平面，-a1、-a2都是負數，那麼隨著t趨向於無窮，所有exp(-a1*t)、exp(-a2*t)sin(wt)這些項都趨向於零，於是如果u(t)也為零的話y(t)就等於通解，y(t)趨向於零，所以我們就說系統是穩定的。如果有那麼一個極點位於右半平面，即那麼有一個-an是大於零的。結果就是隨著t趨向於無窮，y(t)里會有那麼一個exp(-an*t)趨向無窮大，而其它項都趨向於零，於是y(t)就會趨向於無窮大你的系統就沒法穩定了！這就是極點的物理意義。

極點是系統本身的屬性，（在沒有反饋的情況下），與你怎麼調整輸入無關。即使你改變了物理系統輸入，調整了 g(u, du/dt,...) 這個函數，極點也不會改變。

而零點，則表示輸入如何影響系統。因為零點就是 g(u, du/dt,...) 拉普拉斯變換blablabla之後blablabla多項式的根。要說它們有什麼直接的物理意義，似乎不太好解釋。不過，我們剛才討論的都是開環的情景，如果系統用上了反饋，開環變成閉環之後，零點就會參與影響閉環系統的極點了！關於這時零點是如何發揮作用的，呼，你就慢慢看書慢慢學習吧……

編了個Simulink程序來支持 @小心假設的觀點，即系統會自發產生極點對應的模態，屏蔽零點對應的模態。例子如下。

研究四個系統，均使用狀態空間模型實現（以能夠設置初值）：
$egin{align*} G_{1}(s) =frac{1}{s+1} \ G_{2}(s) =frac{1}{s^2+1} \ G_{3}(s) =frac{s+1}{s+10} \ G_{4}(s) =frac{s^2+1}{(s+1)^2} end{align*}$

對於前兩個系統，我向它們加impulse輸入（實現方式為合理設置狀態空間的初值），觀察輸出；對於後兩個系統，我給它們輸入零點對應頻率的信號（即 $e^{-t}$ 和 $sin(t)$ ），觀察輸出。

下面是見證奇蹟的時刻~~~~~
先看第二個系統：

在沒有後續輸入的情況下，系統實現了頻率為1 rad/s 的振蕩輸出，對應著系統極點的頻率。

再看第一個系統，

由於系統極點對應的是衰減信號所以可能不太直觀，有興趣的同學可以拿尺子量量輸出是不是 $e^{-t}$ 。

那麼有人估計要問了，對於第三個系統，輸入是衰減信號，你怎麼證明系統有block該信號呢。我說，（通過設置狀態初值）我讓系統輸出恆為零還不行嘛。假如沒有這個零點存在的話，對於非零輸入，輸出恆為零應該是做不到的。

再看第四個系統，

同樣通過設置狀態初值，在輸入為頻率為1 rad/s正弦波的情況下輸出為零，效果拔群~

以上。

PS: 如果想要Simulink程序請戳鏈接: http://pan.baidu.com/s/1pJ5s0xt 密碼: 6tkv

一個角度，極點是模態，零點是模態blocking。可進一步從信號與系統兩個角度來分析。

歡迎補充指正～

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輸入本身有模態，系統的極點，意味著輸出比輸入無中生有地多出系統極點代表的模態。

系統的零點，意味著輸出比輸入平白無故地少了系統零點代表的模態。

輸入輸出對換，零點變極點，極點變零點，實際說的是一回事。

有興趣的可以參見MIT機械工程系課程2.14裡面的一篇課件，講得非常好。
http://web.mit.edu/2.14/www/Handouts/PoleZero.pdf

我不是學控制的，但是模擬電路是可以拿控制系統的那套理論來分析。之前有個哥們在我的專欄文章下面留言，說是我分析零極點的這套說辭實在是「清新脫俗」，可以跟學控制的同學分享一下。我可以講講一個電路裡面的零極點是怎麼回事，從更貼近物理的角度來看看零極點。

理論上，一個十全十美的系統，假設它在低頻的時候（比如1Hz吧）可以把輸入信號放大100倍，然後到了高頻（比如1MHz吧），它還能把信號放大100倍。

不過，很可惜。沒有這樣的系統存在。

一個好好的信號，經過一個不那麼完美的系統，簡直就是「過五關斬六將」一般的艱難。各種零極點對這個輸入信號一頓窮追猛打，一副「就要弄死你」的既視感……

首先簡單理解極點：

我們來看張圖：

一個R和一個C，便構成了一個最基本的極點。它的傳輸函數如圖所示，是1/（1+RCS）.因為s等於j $omega$ ，所以這裡的RC造成了一個左半平面的極點： $-frac{1}{RC}$ 。
等等！現實中怎麼會有負數的頻率呢？
所以，如果input signal裡面有這樣一個等於1/RC的頻率（如果是以Hz為單位，應該除以 $2pi$ ）,那麼會發生什麼事情呢？

將 $omega =1/RC$ 帶入上面的傳輸函數，這個傳輸函數的amplitude response就變成了 $frac{1}{sqrt{2} }$ .
哦！原來在bode圖裡，遇到一個極點就會有-3dB（ $20lg(1/sqrt{2}) =-3dB$ ）的下降，跟這個確實可以對應起來呢！

Source: Bode plot (Figure 1(b): The Bode plot for a first-order (one-pole)lowpass filter; the straight-line approximations are labeled "Bode pole"; phase is 90° lower than for Figure 1(a) because the phase contribution of the numerator is 0° at all frequencies.)
好吧！上面我們還是圍繞著傳輸函數的公式打轉，但是！但是為什麼會有恰好等於一半的amplitude response呢？
重新回到上面的圖。一個信號經過一個R，會有一部分能量被R以熱能的方式散發出去。但是對於信號本身的頻率、相位這些參數，R其實是沒什麼影響的。但是！但是還有一個C啊！這麼大一個電容連著output和gnd，你不能忽視人家嘛！
C和R不同的地方，在於它並不消耗能量，但是卻會改變相位。當input變化的時候，C上面的電壓也會跟著變化。這個不甘寂寞的C有個獨門秘技：「吸和放」！也就是說，當加在它上面的電壓忽然變化的時候，它會先吸走一部分，然後過一會再把被它吸走的電子重新放出來。
你見過月圓之夜時，清冷的月光灑在海面，深深的海底，巨蚌一張一合的樣子嗎？
那個，嘿嘿，不好意思啊，作者君也沒見過……不過看小說看過……
好了，不插科打諢了。總之，C就是個這麼神經兮兮的傢伙。它明明不要你的電子，但是就是不情不願的要阻攔一下你的信號，過一會兒再放一部分電子出來。
因為這個討厭的傢伙，你的信號被攔腰劫走了一部分。
$H(S)=frac{1}{1+j} =frac{1}{sqrt{2} } e^{-jfrac{pi }{4} }$
寫成這樣，我們可以看出來，若是輸入信號的頻率恰好等於 $frac{1}{RC}$ ，那麼傳輸函數變成為了上面那個樣子。增益變成了 $frac{1}{sqrt{2} }$ ，相位下降了45°。
為什麼是45°呢？因為C這個傢伙是故意等了90°之後才不情願的放出了你的信號。因為一部分（當 $omega =frac{1}{RC}$ 的時候，恰好是一半）逃出C的魔掌的信號沒有相位的延遲，而另外一部分不那麼幸運的信號就被C戲弄了一番之後放了出來。所以最後在output看到的總的效果就是延時了45°。嗯，不是90°，也不是0°，就是一半，45°呢！
所以，若是想讓我們的信號特別厲害，不受到這個討厭的C的毒害，我們的信號應該變成什麼樣呢？讓我想想……那就是傳輸函數不就是1了嗎！那個時候，我們的信號就別含變化量，直接是個DC的值，那麼只對變化量感興趣的C就懶得理你了！
還有，什麼時候我們的信號被侵蝕得特別厲害，比如完全沒有了？再讓我想想……那就是大部分，或者說是幾乎全部的信號都要先被C吸走再放出來吧？如果現在有個特別特別高頻的信號，C就變得特別興奮了。對於高頻的信號，C的內力變強，傳輸函數包含s的那項遠大於後面那個1，因而傳輸函數就變得無限趨近於零了。
嗯，好像input信號的具體頻率其實起到了這樣一個效果：它決定了是從R直接到output的信號分量多呢？還是被C戲弄的信號分量多。
話說，R和C的具體值也是很有意義的吧？
那當然了。作者君每次都朝著極端的情況想：
比如，若是我沒有這個R，就一個孤零零的C，結果會怎樣？那就是input直接和output短接在一起了吧？那還擔心C幹嘛？
$H(S)=frac{1}{1+RCS} simeq 1$
或者，若是R無限大，又會怎樣呢？額，信號花了九牛二虎之力，才勉勉強強的穿過R的重重包圍到了output這邊。結果前有狼後有虎，剛過來便又遇到一個虎視眈眈的C在output這裡。唉！還是直接投降，任人魚肉算了！C要戲弄就讓它戲弄好了……
$H(S)=frac{1}{1+RCS} simeq frac{1}{RCS}= frac{1}{RCjomega } ightarrow 0$
所以，1/RC的值和信號頻率的相對位置，才是關鍵之處啊！若是RC超級小（比如很小的C只對更高的頻率感興趣。對於一些kHz什麼的小嘍啰，人家根本不care），我們的信號還是很安全的。但若是RC超級大，比如有個巨無霸的C，就是那種巨大的巨蚌啦！人家什麼都喜歡，來者不拒，你的kHz的信號也是它的愛好之一，那麼你就慘慘慘了……

或者還有一種方式理解極點：

之所以會有極點，就是因為當frequency上升之後，電容冒了出來，「一吸一放」。或者可以這樣說，這傢伙是攔路搶劫的土匪。有事沒事，路過的signal都被揪進去打了一頓才被放出來。（如果是DC，它不太敏感，也就放行了……）
其實你也可以把pole理解成為兩個current source（中間是virtual ground，或者說，是真的ground），一個專門打家劫舍，搶signal；一個只做好事，放他哥們搶的signal出去。他們的電流都等於C*dV/dt。
所以在pole的frequency時，專門幹壞事個那傢伙搶了一半的signal進了它的老巢。然後它那個只做好事的哥們過了90°又把人放了出來。
等到frequency很高的時候，打劫的那傢伙就把所有的signal都搶了……然後它哥們還是繼續當老好人，過了90°又把人放了出來……實在是神經病的組合……

至於零點。在電路中，零點就是一條前饋通路。信號不老老實實的按照你給它規定的路線跑，它找到了一條捷徑，抄近路了……比如你跟人一起去跑馬拉松，結果明明應該跑個圈再回來的，另外那哥們直接走了小路，省了幾十公里的路……

然後是零點的基本分析：

零點的存在，其實是提供了一條所謂的「feed-forward」前饋通路。道理同上，也就是走了「捷徑」。捷徑的存在，導致本來應該被mos放大的signal直接跑到了output那端，自然也就嚴重的影響了mos的放大性能。
說完了極點，我們再來看看它的對立面——零點。沒有對手的絕世高手註定是不存在的，因為世間萬物，必定有其相生相剋的另外一個……哈哈！就此打住，否則作者君要開始描述一副「決戰紫禁之巔」的畫面了……^_^
我們還是拿一個最基本的電路模型來入手。

和前面計算極點的電路相反，這次電容C橫跨在了input和output之間，而output一段則有一個到地的R。非常自然的寫出transfer function：
$H(s)=frac{R }{R+frac{1}{CS}} =frac{RCS}{1+RCS} =frac{RCjomega }{1+RCjomega }$
還是從頻率為無窮小開始看：這個時候分子無限趨於0，而分母無限趨於1,。因此，transfer function的amplitude就約等於0。如果單位換成了20dB的話，則是一個無窮小的數。
然後我們再來看看當頻率很大的時候：分母的那一項「1」可以忽略不計了。因此這個transfer function的amplitude就約等於1。單位換成20dB之後，就差不多是0了。
如果恰好 $omega _{z} =frac{1}{RC}$ ，那麼這個頻率就是我們所關心的零點頻率了。同之前的極點頻率類似，在這個零點頻率處，amplitude變成了 $1/sqrt{2}$ ，phase變成了45°。
等等！為什麼書上都說，極點之後的amplitude以-20dB/dec下降，而零點之後的amplitude以20dB/dec上升呢？
前一篇我們仔細算了算，知道了極點下降的原因。那麼零點上升也就是差不多的道理了啦！
重新寫一下transfer function：
$H(s)=frac{RCjomega}{1+RCjomega}approx RCjomega$
上面這樣等效的成立條件，是頻率比較小的時候。因此，不知道大家發現了沒有，當分子的頻率 $jomega$ 成為了整個transfer function的關鍵所在之時，20dB/dec上升其實也就成了自然而然的結果。

source:http://manual.audacityteam.org/man/high_pass_filter.html
回憶一下推導極點時所用的bode plot：

不知道大家注意到沒有：
開始在頻率小的時候，極點是沒什麼作用的；當頻率超過了極點頻率，則極點的作用就開始顯現出來了；
而零點則是頻率低的時候有影響，等到了高頻，則它的影響就忽略不計了。
是不是感覺有些玄妙？嗯，其實呢，說白了，就是 $jomega$ 這項到底什麼時候冒出來。比如零點是當頻率低的時候， $jomega$ 在分子出現。所以呢，就有了20dB/dec的上升。
而對於極點來說，
$H(s)=frac{1}{1+RCjomega }$ 只能是在頻率大，導致 $jomega$ 那項遠大於1的時候，才能起到決定性作用。而且又由於它在分母的位置，所以才會最後導致高頻時的20dB/dec的下降。
再回去想想……哎呦！最上面那張圖不是電容跨在input和output之間嘛！高頻的時候，電容就相當於一根導線，那它自然也就不起作用了嘛！嗯嗯，好像就是這樣的！

極點的物理意義：知乎專欄
單極點電路：知乎專欄
零點的分析：知乎專欄
零點的物理意義：知乎專欄

作為一個本科自動化，研究生控制理論與控制工程的控制專業小學生，本科學習自動控制原理時沒咋用腦子，現在總算明白了一丟丟：
1.傳遞函數描述的是線性定常系統，輸入和輸出之間的關係。你所謂的極點，其實應該是閉環極點，即傳遞函數分母多項式的零點。
為分析方便，令輸入為單位脈衝響應，那麼輸出的表達式和閉環傳函是一樣的，直接分析傳遞函數即可。
我就假設閉環傳遞函數為 $Phi left( s ight) =Mleft( s ight) /Nleft( s ight)$ ，閉環極點即為 $Nleft( s ight) =0$ 的所有s；
就分幾種情況了：（忽略了0這個根，你懂得吧，其實無須說）
（1） $Nleft( s ight) =0$ 全是單根，分別為 $lambda 1,lambda 2,cdot cdot cdot lambda n$ ,那麼最終的輸出就是這個樣子： $yleft( t ight) =a1ast expleft( lambda 1ast t ight) +a2ast expleft( lambda 2ast t ight)+...+anast expleft( lambda nast t ight)$ .看出來木有， $lambda i$ 的正負直接影響輸出的穩定性，絕對值越大則變化得越快（聯想到主導極點沒有）。而且只要有一個極點大於0，隨著時間的增加，輸出是趨近於∞的；
（2）有重實根。二重根是這樣的： $1/left( s+2 ight) ^2$ 的拉普拉斯逆變換是 $tast expleft( -2t ight)$ .三重、四重...類似，自己推導或者查拉普拉斯變換表。想必高數學過或自己證明過， $t ightarrow infty$ 時， $t^n$ 的變化沒有 $exp(lambda t)$ 快。系統穩定是要求每一項都趨於常數的，所以極點全部為負數是必須的；而極點絕對值的大小影響變化的快慢；
（3）有復根。這個情況不多說，就一個公式，自己多理解： $exp(-delta t)ast (sinomega t+cosomega t)$ .其拉普拉斯變換是啥，自己可以推導一下，然後你就明白為什麼要有負實部這個概念了。

2.頻域問題。這個我沒有什麼發言權，因為理解並不深。理解僅限於頻率響應法，像奈奎斯特判據什麼的還停留在會用的水平。
頻率響應方法就是通過改變輸入信號（正弦信號）的頻率 $omega$ 來研究產生的響應：輸入為 $r(t)=Asinomega t$ ,輸出為 $Y(s)=G(s)R(s)=G(s)ast Romega /(s^2+omega ^2)$
最終可以得出，穩態響應為 $ys(t)=R|G(jomega )|sin(omega t+phi )$ ,其中 $phi$ 就是 $G(jomega )$ 的相角。所以頻域分析中的幅頻特性和相頻特性就這樣出來了。
（這個自己查閱自控書本看詳細推導過程）

PS：控制已經學了快三年了，但我目前對控制的理解仍然太淺，常常只停留在方法的運用上。對概念的理解和把握還需要在生產實際過程中得以加強。學自控的若沒接觸過各種控制元件和控制過程，那基本是白學了。這是我的感觸。

主要是很久很久以前，計算機還不是像現在這麼發達，系統響應隨便用MATLAB的一個函數就求出來了。所以就發展出了很多基於傳遞函數特性來估計系統響應的辦法。比如說根軌跡和頻域法。
對於零點和極點與系統響應的關係題主可以自己動手用MATLAB試試。比如說比較下：
$G(s) = frac{1}{(s+1)(s+2)}$
和
$G(s) = frac{1}{(s+1)(s+5)}$
階躍響應之間的區別。多改改參數試試，或者再加個分子什麼的。對於MATLAB就是幾行代碼的事情，一點都不複雜。如果題主還有興趣，可以試著推導下傳遞函數對應的微分方程，然後再把這個微分方程解出來，看看零點和極點在微分方程的解中是什麼位置。

零點么就是系統函數分子為0 就是頻域響應增大
極點么就是系統函數分母為0 就是頻域響應衰減
其實不需要非得頻域分析，頻域分析是個快捷的分析辦法。

穩不穩定就看最後閉環時候是不是響應收斂，如果不收斂可能系統無限放大就不好了。
為了看是否收斂，就能從開環或者閉環的增益看。
頻域分析裡面的縱軸增益值就是多少dB是個很好的指標，能看最後是不是收斂。
或者在奈奎斯特里圖裡面的距離0點的長度都能進行判斷。

原因的話就都是數學推導~

https://en.wikibooks.org/wiki/Control_Systems/Poles_and_Zeros

最近想了下零極點的作用，個人感覺，
極點決定了系統最終的穩態，當然極點的模的發大小也決定了收斂的快慢;

零點在一定程度上影響暫態的表現，比如最小相位系統和非最小相位系統暫態上的區別。