任意一個只含有0,1的矩陣，可不可以只通過矩陣變換，使得所有的元素均變為1？

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如下三階矩陣
0 1 1
1 1 1
0 1 0
能否只通過矩陣變換（行與行、列與列只能做加法，且1+1=0），使得所有元素均變為1。如果不能，則還需要添加什麼矩陣操作。

謝邀，首先，題主你的問題其實就是一個 $mathbb F_2$ 上的矩陣能否變成全是1的形式
首先，任意一個域上的矩陣都可以通過三種初等操作變成相抵標準型（就是只有對角線是1和0，其餘位置全是0的形式）：

把一行的元素乘以一個數加到另一行上去
任意一行乘以一個非0的數
交換任意兩行

但是 $mathbb F_2$ 只有兩個元素，所以操作2和操作3都可以通過操作1來完成
操作2說乘以一個非0的數，但是 $mathbb F_2$ 只有兩個元素0和1，一個不讓乘，一個乘了也沒用，所以操作2就是個假操作
操作3說交換兩行，我們把要交換的兩行寫作向量a和b，則，運用操作1，把a行加到b行上去，變成(a,a+b)，然後再把現在的b行加回a行，變成(2a+b,a+b)，注意我們在 $mathbb F_2$ 中，所以2a=0，故(2a+b,a+b)=(b,a+b)，再把現在的a行加到b行上，並注意到2b=0，得到(b,a)，從而完成操作3

所以僅使用操作1，我們就可以把一個 $mathbb F_2$ 上的矩陣變成它的相抵標準型

假如這個矩陣秩為1，則該矩陣可以變成一個只有左上角那個位置是1，其餘位置全是0的矩陣，此時要變成每個位置都是1應該是一件很easy的事情，就不贅述了

假如這個矩陣可以只通過操作1變成每個位置全是1，那麼它就是一個秩為1的矩陣

所以秩為1是等價條件

任意的，不行。
證：
現在給出反例，1行1列的矩陣[0]。
用初等行變換是不能將其變為1行1列的矩陣[1]的。

同學你知道二元一次方程組的求解方法吧，對，高斯消去法。如果一個全是1的矩陣用第一行減去下面的所有行，等於就只要一個方程，我們把這稱為秩1，而一個0-1矩陣並不一定是秩1的，比如一個行列數大於1的單位矩陣。

行列做加減變化不改變矩陣的秩