奇異矩陣與退化矩陣有什麼不同？

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這是一個困擾我很久的問題。
以我自己的理解，奇異矩陣和退化矩陣都是特徵向量的方向比自己的維度小，而且好像沒有什麼區別，所以我一直理解兩者是指同一個東西。
但是有些地方指出奇異矩陣與退化矩陣是不同的，但也沒說明白到底哪裡不同。
求解。

奇異陣是行列式為0的方陣，是特徵值（奇異值）含有0的方陣，還有很多等價的定義。

退化陣需要看上下文，「退化」一詞一般來說指的是從一般情況變成了特殊情況，比如如果一般的情況下一個矩陣是滿秩的（例如一個隨機矩陣），在某種特殊情況下矩陣某些行列變成了線性相關，於是就不滿秩了，那麼就稱為「退化」；又比如，單位陣是一種特殊的正交矩陣，在特定上下文中也可以稱單位陣為「退化」的正交陣。等等。

於是，如果上下文是討論方陣（的特徵值），那麼從這個角度來說，奇異陣就是一種「退化」了的方陣。

針對題主的評論更新
題主的評論講的是矩陣的約當（Jordan）標準型，任何一個n階的矩陣A，都可以在複數域上相似於唯一的約當標準型：
$P^{-1}AP=J$
其中，P是個可逆矩陣，J就是約當標準型，長成這個樣子：
$J=left[egin{array}{cccc}J_1\J_2\ddots\J_mend{array} ight]$
其中每一個 $J_m$ 都是一個矩陣塊，叫做約當塊，長成這個樣子：
$J_m=left[egin{array}{cccc}lambda_i1\lambda_iddots\ddots1\lambda_iend{array} ight],quad i=1,cdots,m$
這裡 $lambda_i$ 就是特徵值，這個約當塊的階數就是特徵值的重數，當然對於不同的 $i,j$ ，也可能有 $lambda_i=lambda_j$ （這裡涉及到幾何重數與代數重數的關係，不深入細說）。每一個約當塊對應一個一維的子空間。所以很顯然，如果每一個約當塊都是一階的，那麼原先的矩陣就能夠對角化，如果含有高於一階的約當塊，那麼原始矩陣就不能對角化，也就出現了題主所謂的「退化」的情景。
題主舉例的矩陣 [3,1; 0,3]（懶得輸入公式了，意思一下），本身就是一個約當塊，不能夠進行對角化，其特徵根的重數為2.

針對 @郝曌駿的評論繼續更新
如果將一個方陣看做空間 $V mapsto V$ 的映射的話，那麼他的特徵向量就可以看做是不變子空間的基。仍舊舉這個具體的例子好了，之前題主說的這個矩陣：
$left[egin{array}{cc}31\03end{array} ight]$
它本身就是一個約當塊，它的特徵值是3（2重特徵值），只有一個特徵向量是(1,0)。如果用類似相圖的方法來表示這個線性變換是怎麼樣的呢

那個紅色的箭頭就是特徵向量。也是一個1D的不變子空間。
那麼一般的矩陣是什麼樣的呢？我們把上面那個矩陣稍稍改一下：
$left[egin{array}{cc}31\02end{array} ight]$
這個矩陣的特徵向量是(1,0)和(-1,1)，那麼對應的相圖是什麼樣的呢

有兩個特徵向量，於是也就有兩個1D的不變子空間（當然他們兩個張成的線性空間，也就是全空間本身，也同樣是不變子空間）
對比一下就能發現不同了，前面那個「坍縮」的矩陣，儘管是滿秩的，但只有1個特徵向量，而一個「一般」的矩陣，有兩個特徵向量。
更進一步的，對於約當標準型，每一個約當塊都可以類似這麼分解，並且每一個約當塊的特徵向量都只有1個，或者，按照你的說法，每一個約當塊對應的不變子空間是1D的。如果約當塊本身的階數大於1，那大概就是你所謂的「不變子空間維數小於空間維數」了，而這，正是前面討論的「退化」的情形。

只是一個定義罷了。比如維基百科Invertible matrix里把行列式為零的方矩稱為奇異的，或退化的，並沒有討論非方陣。

對於一般的矩陣，若視為線性變換，倒是經常有奇異點/臨界點或奇異值的說法，這時候就對應到非滿秩矩陣了。

同學，我知道的也很有限。
網上有回答：奇異陣是行列式為0的方陣；退化陣是不滿秩的矩陣，不一定是方陣。

比如：[1 2 3; 2 4 6]是退化的，但不是奇異的。

因為沒有書，我也不確定，還望知道的同學指教。

退化矩陣就是不可以被對角化的矩陣，因為它的特徵向量個數少於特徵值個數。例如【3，1；0，3】

如果一個矩陣的奇異值分解後Sigma矩陣存在奇異值為0，則可以找到兩組線性無關的左（右）奇異向量，奇異值簡併/退化。