tan(1）+tan(2)+tan(3).....是否收斂？如何求和？

12-28

如果問題有不恰當之處，請指出
如果不收斂的話，在發散數列求和的意義下，求和結果應該怎麼計算？
比如 1+2+3+...= - $frac{1}{12}$
1 + 2 + 3 + 4 + ?

不收斂。
級數和如果收斂則級數趨近於0.
$i.e.$
$sum{a_n}$ 收斂則 $a_n ightarrow 0$

證明：
讓 $s_n=sum_{k=1}^{n}{a_k}$ ,並假設 $s_n ightarrow s$ ,則 $lim_{n ightarrow infty }{a_n}= lim_{n ightarrow infty }{(s_{n+1}-s_n )}= lim_{n ightarrow infty }{s_{n+1}}-lim_{n ightarrow infty }{s_n}=s-s=0$

不是我嘲諷題主，這是非常初級的級數求和結論，題主是該認真看書的。
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更新，原本題主的題目只是詢問收斂性，但是現在改成了如何計算髮散數列的特殊和。
另外發現其他答案證明了 $lim_{n ightarrow infty}{ an(n)} e 0$ ,我以為這個特別簡單所以沒證。不過其他答案的排版不好看，我就自己寫一下吧。

假設 $a_n:= an(n) ightarrow 0$ ,根據定義，
$forall varepsilon>0~exists Nin mathbb{N}~s.t.~forall ngeq N~|a_n|<varepsilon$

這裡我們可以取 $varepsilon = an frac{pi}{100}$ ,

那麼我們有 $|a_N|=| an N|<varepsilon = anfrac{pi}{100}$ ,所以 $Nin (kpi-frac{pi}{100},kpi+frac{pi}{100})$ ,這裡 $k$ 是使 $N$ 離 $kpi$ 最近的整數，整段區間長度是 $frac{pi}{50}$

那麼 $N+1in(kpi+1-frac{pi}{100},kpi+1+frac{pi}{100})$ ,在這段區間 $an x$ 是個增函數，所以 $an (N+1)in( an(1-frac{pi}{100}), an(1+frac{pi}{100}))$ ，然而 $(-varepsilon,varepsilon)cap ( an(1-frac{pi}{100}), an(1+frac{pi}{100}))=emptyset$ ,換句話說 $|a_{N+1}|geq varepsilon$ .
得到悖論。
證畢。

接下來試圖講一下題主說的給予發散級數的求和。
這裡有有個鏈接很好
1-2+3-4+5…… 是否等於 1/4？ 1+2+3+4+5+6+7....是否等於 -1/12 ？ - pineislet 的回答
不看鏈接也沒關係。我這裡簡要說下柯西和（Cauchy sum）和切薩羅和(Cesàro sum)。
為什麼不提拉馬努金和呢，因為我前面讀到的wiki里說拉馬努金和在柯西收斂級數上並不等價於柯西和....另外我也沒學過，並不會，阿貝爾和同理。

先說下一般級數求和，
我們是用級數的前 $n$ 項求和來進行逼近的。
即 $s=lim_{n ightarrow infty}{s_n}=lim_{n ightarrow infty}{sum_{k=0}^{n}{a_k} }$ ,這個計算方式最通用，叫做柯西和。
另外一種方式切薩羅和(Cesàro sum)高一階。
即令 $t_n=frac{sum_{k=0}^{n}{s_n} }{n+1}$ 作為前 $n+1$ 項 $s_k$ 的平均數，然後算極限值。
為什麼說高一階呢，因為能算出有限柯西和的級數，就能算出有限切薩羅和，並且這兩個值是一樣的。但是有些級數算不出柯西和，但是能算出切薩羅和。
另外除了高一階外，還有更高一階的級數和，相信你也能想到，
就是再取前 $n+1$ 項 $t_k$ 的平均數，然後算極限值....

我谷歌了，找到了 $sum_{k=0}^{infty}{sin k}$ 的切薩羅和是 $frac{1}{2} cot(frac{1}{2})$ ,有圖為證

這個和能算出來的主要原因是 $s_n=sum_{k=0}^{n}{sin k}$ 有個公式等於 $frac{1}{2}(sin n-cot (frac{1}{2})cos n+cot(frac{1}{2}))$ (通過 $sin k=f Immathit{[e^{ik}]}$ 和等比數列求和計算或者其他一些初等技巧比如乘上 $sin frac{1}{2}$ 等等, $cos n$ 類似)。
但是 $sum_{k=0}^{n}{ an k}$ 並沒有找到這種表達式，另外mathematica畫個圖沒發現什麼趨勢

仔細看坐標，上上幅圖在150就有明顯趨勢了，但是這張圖都畫到了500，電腦都要炸了還沒什麼固定趨勢。
我不死心，又往高一階求和畫了幅圖，電腦只能畫到200，並沒有什麼用，因為上張圖在300前也是一直下降的，但是後面突然上升了。

並沒有得到什麼好玩的答案。
僵硬啊
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再次更新，謝謝下面那個匿名用戶的回答，讓我知道mathematica里直接有用來計算切薩羅和，歐拉和等等的代碼，並且還有Fold等代碼可以大大優化這種多次求和函數。
之前一次切薩羅和畫圖只能畫到500，現在能花1分鐘能畫到6000...然而還是沒看到規律

再高一階的切羅薩和畫圖花1分鐘只能畫到600，一樣沒看到規律

另外直接利用mathematica求極限

發現除了柯西和是確定發散的，其他都是不確定（因為mathematica求不出來不代表沒有，只能說不確定，因為它也沒說是發散的，至少我是這麼想的），不過還是可以作為一個參考。
所以暫時還是很僵硬

謝邀。上面的答案已經說明收斂必須要求通項收斂於0了，我簡單解釋一下為什麼tann不收斂於0: tanx的零點是k pi,k是整數。如果n很大的時候某個n離某個k pi很近（從而導致tann很小，比如小於某個事先給定的epsilon），那麼tan(n+1)就會離tan(1)很近，從而「不夠小（無法任意小）」，所以tann不收斂到0.

一個級數能不能收斂啊,既要考慮自身特性,也要考慮求和體系啊...
題主不要總是想搞個大新聞,你強行說他收斂是不是有種欽點的感覺啊...
這個題啊,不要說柯西和不收斂,就算來的是
切薩羅和,阿貝爾和, 狄利克雷和,歐拉和乃至波萊爾和都不收斂啊...

他們啊還是na?ve,只有拉馬努金能和這個級數談笑風生
拉馬努金和我手算了一遍也只能告訴你收斂到 $int_0^{infty } frac{2 anh (t)}{e^{2 pi t}-1} , dt$
你要問我這個積分怎麼算我只能說無可奉告...數值值是0.08多一點...
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說一點軟體上的事 @Lancewu
這個地方不能用Sum和NSum,函數的自帶優化會把自己帶進坑裡

通常能求廣義和的級數要麼在borel求和約定下收斂，需要a_n/n!求和收斂，要麼在zeta約束下收了錢，即a_k/n^k求和收斂，另外的切薩羅和，歐拉和，阿貝爾和通常比這兩種求和約定更弱（更多的發散級數在這些求和約定下不收斂），容易驗證，在這兩種求和約定下tan（n）都是不收斂的

3.14 &< Pi &< 3.15

計算tan n的絕對值。當n很大時候
| tan n |= tan (n - k), k 依賴於n

注意上面的不等式，tan (n - k)的下限，是周期性的。從而tan n 不趨於0