矩陣的列變換代表的意義？

12-28

矩陣的行變換代表方程組消元的過程，那麼矩陣的列變換代表的意義是什麼？

謝邀，處女答竟然是在自己這麼弱雞的領域，瓦心情好複雜，說得不好還請輕拍。

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單純從解線性方程的角度來看，並且按照你所預設的的矩陣寫法 $Av=b$ 來看，列變化是沒有意義的。為什麼炸么講嘞？

你看，這裡的 $v=(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) ^{T}$ 和 $b=(y_{1}, y_{2}, ..., y_{m}) ^{T}$ 都是列向量，單獨拿出 $A$ 中的第 $i$ 行來看，都有 $a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+...+a_{in}x_{n}=y_{i}$ 。

在做行變換時候，消元伴隨著對 $b$ 中各分量的操作，這時候對每行，如上的等式都還是成立的。

但是如果做列變換（交換列除外），上式的左邊變了，但是右邊怎麼變呢?

在不知道 $x_{j}$ 是什麼值的時候，等式右邊會完全懵逼，也就沒有解方程的意義了。

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那為啥還要有列變換呢？

還是從解線性方程的角度來看，如果你把方程 $Av=b$ 寫成 $v^{T}A^{T}=b^{T}$ 的樣子，就是把

$left[ egin{array}{cccc} a_{11} a_{12} ... a_{1n} \ a_{21} a_{22} ... a_{2n} \ ... ... a_{ij} ... \ a_{m1} a_{m2} ... a_{mn} \ end{array} ight] left[ egin{array}{c} x_{1} \ x_{2} \ ... \ x_{n} end{array} ight] = left[ egin{array}{c} y_{1} \ y_{2} \ ... \ y_{m} end{array} ight]$

寫成

$left[ egin{array}{cccc} x_{1} x_{2} ... x_{n} end{array} ight] left[ egin{array}{cccc} a_{11} a_{21} ... a_{m1} \ a_{12} a_{22} ... a_{m2} \ ... ... a_{ji} ... \ a_{1n} a_{2n} ... a_{mn} \ end{array} ight] = left[ egin{array}{cccc} y_{1} y_{2} ... y_{m} end{array} ight]$

注意 $A^{T}$ 的第 $i$ 列和 $y_{i}$ 是一直保持對應的， $a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+...+a_{in}x_{n}=y_{i}$ 對每列依舊成立。這樣就可以通過對 $A^T$ 就行列變換來消元了，不難理解這樣進行列變換消元本質上還是和原來的行變換消元一樣的，只是這樣的寫法下，列成了之前定義的行。

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行和列的關係常常能定義性地互換，所以不用糾結行列的問題，理解其中一個就好。

個人覺得這只是一種人為規定出來的寫法或者說表述方法，重要的是矩陣（包括行列）在特定場景下所代表的具體意義或者說所發揮的作用。

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啊啊…誰能告訴我公式怎麼居中啊…強迫症犯了…好難受…

謝邀。
行變換是行對應的線性空間上的運算。
列變換是列對應的線性空間上的運算。
比如：
矩陣的消元解方程(也就是行變換)可以看作行上對應的線性函數的線性空間上的運算。
矩陣的列變換可以看作列空間 $Re ^{n}$ 上的運算。
(運算是指線性空間上向量的加法與純量乘法)
等等。。

如果列代表特徵，那麼列變換就代表合併線性相關的特徵