一直不解，為什麼如此定義矩陣的乘法，為什麼這樣一種怪異的乘法規則卻能夠在實踐中發揮如此巨大的功效？

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如題，很多看上去似乎是完全不相關的問題，最後竟然都歸結到矩陣的乘法？難道在矩陣乘法那看上去莫名其妙的規則下面，包含著世界的某些本質規律？如果是的話，這些本質規律是什麼？

我試著答一下……因為自己也在糾結怎麼理解矩陣……………

首先引入線性空間的概念……大家自行百度……

我們想像一個n維的向量，我們可以把他理解為一條起點為零點的線段，那在n維線性空間中這條線段所能做的變化有什麼呢？
兩類，旋轉和伸縮………怎麼理解旋轉和伸縮…

伸縮：就是線段長度的變化，線段的長度用向量的模表示。

旋轉:就是線段的延伸方向發生了變化。起點一直是零點。

我們來看伸縮和旋轉在線性空間中意味著什麼。首先根據線性空間的定義，線性空間是一個空間，描述我們用n個線性無關的向量來描述這個空間，這n個線性無關的向量就是這個空間的坐標系……任意n個無關的n維向量都在描述同一個n維線性空間，只是描述方法不一樣……

我們通常的向量坐標都是按照單位正交的n維個n維向量描述下設計的……

但我不開心，換一個描述方法………（相當於乘一個n階矩陣）得到了新的向量的坐標……這就是矩陣的乘法意義………
我確實說的很爛………因為懶得打公式……實在描述不好…………

下面接著答……大家注意開腦洞……因為下面沒有公式，全靠想像力了………

有一個n階矩陣A，領該矩陣滿秩。滿秩對矩陣而言是一個類似通行證的東西……一個矩陣不滿秩就相當於穿錯了衣服………

因為滿秩n階矩陣是可以在一定規則下描述n階空間的，不滿秩的矩陣只能描述n維以下的空間……所以滿秩是個比較普遍的要求……

一個線段（n維向量）在n維空間中發生了變化（伸縮和旋轉）。怎麼來量化這種變換呢？之前講過了…相當於乘了一個矩陣A……

矩陣怎麼分解為旋轉和伸縮的規則……這就是重點

分兩個角度來看吧……首先一個物體的變化是要有坐標系的……

1 我們可以把線段的變化看做是線段發生了變化……
2 線段本身沒有變化，但是線段所處的空間發生了變化…
3我們是上帝…如果願意我們的視角可以認為空間變化，也可以認為線段變化。

按照第一種視角來理解矩陣乘法（乘以矩陣A）

首先把矩陣A可分解為其特徵向量和特徵值

特徵值構成對角陣∧
n個特徵向量單位化之後構成矩陣∑，

由此我們理解，矩陣A是想把線段在∑中的各個縱向量的方向上進行伸縮

所以把這個向量a乘以A這個矩陣的過程分解為

向量a先把自己變成在∑上的投影

比如向量a（2，1，3）
矩陣
A

分解a在矩 A上各個方向的投影長度分別為2、1、3，自己在腦子裡畫圖
a這個時候被肢解了，但實際上只是角度不同

魔王矩陣A的三個方向上的的特徵值分別為2、2、2。

故乘法相當於把a的三個方向上的投影（肢解）分別各拉長2倍，

最後得到向量b（4、2、6）這是從線段變化的角度來看的……

還可以從空間變化的角度看……但是太麻煩了，不想寫………

第二個視角空間變化……其實向量a沒變……是世界的錯……

N維空間發生了什麼變化呢，因為魔王矩陣A，他說原來的規則錯了那世界原來是什麼樣子的呢原來的世界是B

矩陣A說把B的特徵向量的方向要和我的保持一致（本來就一致），於是矩陣B被肢解……原來的世界壞了……

新的世界是A，向量a被抓過來，矩陣A說你要跟著我姓了，按照我的特徵向量來計數，於是a變成了新的向量（1，1/2，3/2）

世界的變化和線段的變化是反向的………
本質是因為描述世界的特徵向量變了……類似於通過放大或者縮小來看待乘法………

將特徵向量單位化，得到的特徵值就是

比不上樓上的大神。。
我只能說一下我淺顯的理解。。。
有個二維表格：
排名：金牌銀牌銅牌
國家
中國 20 30 50
美國 19 33 56
英國 7 12 34

可以自己定義金牌銀牌銅牌的權值

比如獎金積分
可以得出兩個向量
獎金積分

金牌 100 5
銀牌 50 3
銅牌 30 1

這就得出兩個矩陣。。。
把這兩個矩陣相乘得出的是什麼呢：
恰好是真么一個矩陣
中國總獎金中國總積分
美國總獎金美國總積分
英國總獎金英國總積分

如果在第二個矩陣中加入更多的列比如說培養成本之類的。。
那麼一次矩陣乘法就可以算出多個數值。

淺顯的理解。
別嘲笑我啊。。。。。。

把一組數據放在表格里同時做變換確實好神奇

推薦看看《線性代數應該這樣學》就啥都明白了。這樣定義可以使矩陣乘法運算具有結合率。更直觀一點，一個向量乘一個矩陣實質上是對這個向量做了一個變換，矩陣的乘法這麼定義可以求出兩次變換和在一起的總變換是什麼樣的。

簡而言之，這樣定義是為了讓等式

$A(Bvec{v})=(AB)vec{v}$

能成立。

矩陣是對變換（旋轉、伸縮、投影等）統一表示，而帶來的結果。複合變換，意味著，變換的順序性（除了可逆變換，這對應著矩陣與其逆矩陣的複合變換），即左乘與右乘是有區別的。