為什麼matrix（矩陣）不可以相除？

12-28

其實吧就是這種東西

是今天在學inverse的東西，上課沒聽錯的話，應該是在旁邊寫一個identity的matrix（是類似判別式的東西嗎？）然後通過各種row operation（原來寫的roll錯了，謝謝@楊泓指出）的東西把原來的矩陣轉化成identity的matrix，得出這個矩陣的inverse。然後這兩個矩陣想乘的話會得出identity的matrix。

那麼可不可以通過相除的方法計算matrix的inverse呢？就是說，有沒有一種像相乘一樣的公式可以做出來？

今天上課的時候是問過老師的可是老師說you know what I don"t think we can do division on matrix，所以有點疑惑，因為好像從哪道題裡面見過有除法的運算。
嘗試google了一下矩陣的除法，但是出來的結果好像跟學的是一樣的啊
還有最重要的！我不確定matrix到底是不是矩陣的意思，因為好像還有個叫行列式的東西它倆長的挺像的。這麼一說感覺自己不能更菜鳥了。

既然提出的是這麼簡單的問題，我就匿了?((?⊥?))?

矩陣和通常的數當然可以類比。要記得兩個數相除， $adiv b$ 有意義須得 $b eq 0$ 。這個條件在矩陣的時候就是 $Adiv B$ 須得 $B$ 可逆。當然和數的乘除法不同的情況，就是矩陣的乘法不可以交換。下面詳細解釋一下。

首先，除法應被定義為乘法的逆運算。在這種意義下， $a$ 除以 $b$ 的商 $adiv b$ 應該是一個數，使得
(i) $b imes (adiv b)= a$ 。
這也解釋了為什麼零不能作除數，因為1）當 $a eq 0$ 時，找不到一個數 $adiv 0$ 使得
(ii) $0 imes (a div 0) = a$ 。
2）當 $a = 0$ 時，能找到這樣一個數（實際上所有的數都滿足這個），但是這個數不唯一。所以除法有意義的時候必須是滿足(i)的 $adiv b$ 存在且唯一確定的時候。

沿著這個想法推廣到矩陣。我們先考慮 $n imes n$ 方陣的情況。如果 $A, B$ 都是 $n imes n$ 的，那麼 $A$ 除以 $B$ 的商應該是一個矩陣 $C$ ，滿足
(iii) $B imes C = A$ 。
（不難？）驗證 $C$ 存在且唯一當且僅當 $B$ 是可逆的，而且這個時候一定有 $C = B^{-1} A$ 。我們可以把它當成 $Adiv B$ 。

現在出現了一個問題，就是 $B$ 和 $C$ 相乘有個順序問題。如果 $C$ 也是 $n imes n$ 的，那麼 $BC$ 和 $CB$ 一般來說不一定相等。所以如果取 $C$ ，那麼我們有
(iv) $C$ 。
$C, C$ 都有意義，但是不一定相同。這是因為矩陣的乘法不滿足交換律。所以一般的情況，我們有兩個商， $C, C$ 。前面一個可以看作 $A$ 從左邊除以 $B$ 的商，後面一個可以看成從右邊除的商。

不是方陣的情況本質上是一樣的，寫起來稍微有些複雜。

老師說沒有除法是因為這個方法不具有普世性，只有invertable matrixs可以用。

{{1，2}，{2，4}}來試試。

樓上覺得學的奇怪的，其實國外的爛大學教的都很奇怪，我就深有體會。

然後【簡單的】你說的的東西的原理:

進行row operation本質是乘以一個矩陣e，那麼進行相同的row operation乘以的e相同。因為你把I弄成augmented所以I的operation和你原matrixs a的operation一樣。

於是你得到:
後邊: I * e = e
前邊: a * e = I

所以你可以看出來e是a的inverse，然後通過後面你成功的得到e是什麼。

通常怎麼用呢:
比如按照你的說法，想算b/a【並不存在這個寫法】，如果你求出e的話:
你就可以建立方程
b = ax
兩側同時乘以e，通常叫做$a∧{-1}$【手機不能不能寫tex？】:
$a∧{-1}b=a∧{-1}ax$
$a∧{-1}b=x$
於是解出x，算出a/b

【對沒錯，我就是無聊。。。起床前一答】

這個方法原理是

不過你連行列式和矩陣都沒分清楚是怎麼學的。。。

Matrix是矩陣，行列式是Determinant……
說到求逆的公式首先想的是Crammer法則啊雖然工作量很大。
在代數里除法就是類似乘法逆運算定義的←_←[類似甚至可以去掉]

我問過老師一個更二的問題，為什麼向量不能做除法？當時得到的答案是，因為向量是一種模，而除法屬於一種域，你以後就懂了……

結果現在四年過去了還沒有到當時的「以後」也是醉了〒_〒

嘛跑題了……所以矩陣的除法就是乘以它的逆啦，不可逆的不是當前方陣環中的單位所以沒有逆元不能除……這些是抽象代數里老師作為一個例題說的

誰說矩陣不能除的？

對應的除法就是乘以相應矩陣的逆，不過除的這個矩陣得是滿秩才行。

另外行列式是一個數，只是表達方式不一樣的數。

其實你知道嗎？矩陣連乘法都沒有。
（我用我快要遺忘的近世代數知識解答一下）
$forall Min P^{mxn}$ (M,「 $cdot$ 」)連半群都不一定是。
而
由一系列所有可以相乘的矩陣構成的集合M，(M,「 $cdot$ 」)只能構成半群，意味著有幺元而不一定有逆元。
要求有幺元又有逆元，那麼可以舉一個代表性的例子"一般線性群":
所有可逆的N階方陣構成的集合M，則(M,「 $cdot$ 」)一個群。
$forall A.Bin M$ $BA^{-1}$ 稱之為矩陣除法。（但一般都不這麼叫）
意味著矩陣的除法是在於矩陣關於矩陣乘法構成一個群的時候才存在的，也就是逆元啦~
最後建議更進一步學習近世代數、矩陣分析相關的代數課程，很有意思（很容易掛科，逃~）。

matlab中AB代表左除，A/B代表右除。左除就是A^-1*B，右除就是A*B^-1。
如果你說的是用除法求逆的話，我覺得初等行變換法本質上就是除法求逆。

矩陣的乘除不能簡單的看成數字間的乘除。
矩陣代表一個映射法則。比如y=Ax說的是ｘ通過Ａ映射變成了ｙ。現在我想知道怎樣才能從ｙ回到ｘ，答案就是Ａ的逆。並且Ａ的逆不一定存在就像不是所有的映射都有逆映射。

矩陣求逆么

有沒有一種像相乘一樣的公式可以做出來？

Here"s one possible method. Use the adjugate matrix:
http://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix
However, believe it or not, this one is much more complicate than the way u mentioned...