arctan1/2+arctan1/2^2+arctan1/2^3+·······+arctan1/2^n+·······這個級數的收斂性是什麼，若收斂求和又是什麼？

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求詳解

收斂性大致是用

然後利用comparison test比較明顯。

接著利用 $arctan z =sum_{m=0}^{infty}{frac{(-1)^m z^{2m+1}}{2m+1}}$
$sum_{n=1}^{infty}{arctan (2^{-n})} =sum_{n=1}^{infty}{sum_{m=0}^{infty}{frac{(-1)^m 2^{-n(2m+1)} } {2m+1}} }$

$=sum_{n=1}^{infty}{sum_{m=0}^{infty}{frac{(-1)^m } {(2m+1)2^{n(2m+1)}}} }$
因為以下這個級數是絕對收斂的
$sum_{m=0}^{infty}{sum_{n=1}^{infty}{frac{(-1)^m } {(2m+1)2^{n(2m+1)}}} }$
（ $sum_{m=0}^{infty}{sum_{n=1}^{infty}{frac{1 } {(2m+1)2^{n(2m+1)}}} }=sum_{m=0}^{infty}{frac{1}{(2m+1)(2^{2m+1}-1)}} leq sum_{m=0}^{infty}{frac{1}{2^m}} =2$ ）
所以重排不改變收斂值，所以我們可以互換求和符號（這裡一段我不是很確定可以這麼弄）
$=sum_{m=0}^{infty}{sum_{n=1}^{infty}{frac{(-1)^m } {(2m+1)2^{n(2m+1)}}} }=sum_{m=0}^{infty}{frac{{(-1)}^m}{(2m+1)(2^{2m+1}-1)}}=sum_{n=0}^{infty}{{(-1)}^n f(n)}$
這裡 $f(n)=frac{1}{(2n+1)(2^{2n+1}-1)}$
通過這個最下面一行公式

$=frac{1}{2}+iint_{0}^{infty}frac{f(it)-f(-it)}{2sinh(pi t)}dt$
經過噁心的化簡
$=frac{1}{2}+int_{0}^{infty}frac{2sin(2ln 2 ~t)-2t+4tcos(2ln 2~t)}{(4t^2+1)(5-4cos(2 ln 2~t))sinh(pi t)} dt$
接下來就不是我能解決的了