正弦函數究竟有多神奇？為什麼？

12-28

題主本科生自動化專業。最近在學習時觀察到正弦函數應用如此廣泛：數學中的一大批公式、物理學上的簡諧運動等等、自動控制里的頻域分析等等、電氣工程中的交流電等等，為什麼各個領域的這麼多公式定理都用到了正弦函數？
這遠遠超出了我們一開始接觸正弦函數時——「直角三角形對邊與斜邊的比值」——一種三角函數的定義了吧，這是為什麼呢？能否講解一下，或者舉例說明正弦函數在某個領域裡的神奇應用呢？十分好奇，感謝。
也許類似的問題還有：自然常數e有多神奇？圓周率π有多神奇？...

原因就是各個領域裡都有微分運算，而（復）指數函數是微分映射的特徵向量，所以（復）指數函數大量地出現在公式中。。

Laplace operator 的 Eigenfunction

真正神奇的，不是「直角三角形直角邊和斜邊的比」，而是微分方程y"=cy的解。

coursera，EPFL的DSP課程

這門課的Signals of the day欄目不錯。
https://github.com/LCAV/SignalsOfTheDay
實際體驗一下信號處理的手段在各個學科中的應用就好了。
同樣地，edx上RiceU、MIT的課也值得一聽。

因為三角函數可以很方便得描述旋轉，而旋轉是物理世界一種非常基本又大量存在的運動模式，同時人還會把更多抽象的周期性過程類比於旋轉建立數學模型。

正弦函數性質神奇原因在於它是微分運算元 $-frac{d^2}{d x^2}$ 的本徵函數。
應用廣泛是因為理論力學中大部分勢場中拉格朗日方程在偏離平衡位置不太遠時都可以近似為微分運算元 $-frac{d^2}{d x^2}$ 的本徵函數問題。

世界是由物質波組成的，波是正弦，你說厲害不厲害
======================================
你要問為什麼物質有波動性，這就不好回答了……這應該是個哲學問題。我們可以胡扯幾句，如果物質可以表示為一個函數，那麼由於物質會一直存在，這個函數應該在時域上是無限的；但是物質的變化是有規律的，所以物質包含的信息量應該是有限的，不能一直瞎變，所以這個函數應該是個周期函數。周期函數，就可以叫做波了，不管是正弦波、方波、三角波……

那麼為什麼說波是正弦，因為波是一種周期現象，而最簡單的周期函數是正弦函數。實際上任何周期函數都可以表示為一系列三角函數的和，這個方法叫做傅立葉級數。進一步的，對於非周期性的，可以用類似的方法表示為三角函數的積分（其實是exp(ix)的積分），這個方法叫做傅里葉變換。

這個方法就太厲害了，任何的波形，我們都可以通過這種變換轉變成頻率和相位的關係，也就可以表示成一系列的正弦波的疊加。

這個方法為什麼有用呢？現實世界中有很多系統都有相同的特性，可以叫做線性系統，這些系統是這個樣子的：

受到外部激勵的時候，會產生相同的輸出，輸出的幅度與激勵的幅度成正比，輸出開始的時間與激勵產生的時間相同。（即：線性性）
受到多個外部激勵的時候，產生的結果是每個外部激勵產生輸出的疊加。（即：可加性）

太抽象的話不好理解，我們想像一下現在我們有一面鼓，拿鼓槌去敲它，敲的這個動作就叫做激勵，我們用鼓槌猛敲一下，這個激勵是一下變得非常大然後馬上消失，這個在信號與系統當中可以叫做衝激函數，對應的輸出就叫做衝激響應。

我們用力敲一下，鼓就會發出「嘭」的一聲，這個聲音持續時間可以很長，在我們停手之後還會繼續。這個聲音就是我們系統的衝激響應。我們越用力，「嘭」的聲音就越大，但是仍然是「嘭」不會變成「啪」，這就是第一條線性性。

我們現在快速敲鼓，連續敲三下，我們也會聽到連續的「嘭嘭嘭」三聲，每一聲都緊跟著我們敲鼓的動作，即便上一個「嘭」沒有結束就敲下一下也是一樣。這就是線性系統的可加性。

那麼如果我們不再敲鼓，而是連續地用鼓槌去給鼓面施力，會得到什麼結果呢？這個問題就比較複雜了，但是有了剛才總結的兩條規律，這個問題並不是不能解決。我們對鼓面施加的每個微小的力量，都可以看成是一次非常輕微的敲擊，那麼這個敲擊也會產生一個非常輕微的「嘭」，這個「嘭」的大小跟用力的大小成正比，而最後產生的結果是這些「嘭」的疊加，那麼我們會得到一個公式，假設輸入的力的函數是f(t)，而「嘭」的輸出的函數是h(t)，我們會得到：

$g(t)=int_0^{+ infty } h(u)f(t-u)du$

這個積分形式也叫做卷積，一般可以用星號來表示：

$g(t)=f(t)ast h(t)$

不難發現卷積是可以交換的， $f ast h = h ast f$ 。

這個表達式顯然是很複雜的，對於一般的f和g，如果沒有特殊的方法，會很難計算。

然而，有意思的是，如果我們的f(t)是個正弦波 $f(t)=Asin(omega t + phi)$ ，那麼不管g(t)的表達式如何複雜，我們積分的結果F(t)也是個同頻率的正弦波！可以通過觀察這樣一個事實來理解這個現象：

$A_1sin(omega t + phi_1)+A_2sin(omega t + phi_2)$ $=(A_1+A_2cos(phi_2-phi_1))sin(omega t + phi_1) + A_2sin(phi_2-phi_1)cos(omega t+phi_1)$ $=sqrt{(A_1+A_2cos(phi_2-phi_1))^2+(A_2sin(phi_2-phi_1))^2}sin(omega t + phi_1 + arctanfrac{A_2sin(phi_2-phi_1)}{A_1+A_2cos(phi_2-phi_1)})$
$=sqrt{A_1^2+2A_1A_2cos(phi_2-phi_1)+A_2^2}sin(omega t + phi_1 + arctanfrac{A_2sin(phi_2-phi_1)}{A_1+A_2cos(phi_2-phi_1)})$

註：有意思的是這個疊加關係，恰好與長度為 $A_1$ 、幅角為 $phi_1$ ，和長度為 $A_2$ 、幅角為 $phi_2$ 的向量疊加相同，這個聯繫來源於複數中指數函數 $exp(ix)$ 與三角函數的聯繫。在電學當中，經常利用這個特性將正弦交變的電流和電壓表示為一個復向量，這種方法叫做相量法：

（圖片來源於網路）

由於任意兩個同頻率正弦波的疊加仍然是同頻率的正弦波，而卷積可以看成是無數個同頻率的正弦波通過積分疊加，所以正弦波卷積的結果仍然是正弦波。

那麼這個就有意思了，對於任意一個頻率的正弦波的輸入，輸出是幅度和相位有變化的同頻率正弦波，那麼由於線性系統的特性，如果我們能把輸入分解成一系列正弦波的和，那麼輸出也就會變成一系列正弦波的和，頻率相互對應。這個方法就是前面提到的傅立葉變換。它的數學表達形式：

$F(omega)=int ^{+infty}_{-infty} f(t)exp(-iomega t)dt$

雖然看上去很複雜，但是我們知道 $exp(-iomega t)=e^{-iomega t}=cos(-omega t)+isin(-omega t)$ ，所以這個表達式只是把前面說過的跟正弦波卷積這件事，寫成了複數的形式而已。實際上對於給定的 $omega$ ，我們寫出： $g(u)=int f(t)sin(omega (u-t))dt$ ，可以看出這就是前面說過的卷積；我們已經知道結果是個正弦波了，所以我們只要知道幅度和相位就可以知道g(u)的表達式，那麼我們取 $g(0)$ 和 $g(frac{pi}{2omega})$ （這兩點相差1/4個周期）注意到 $sin(omega (frac{pi}{2omega}-t))=cos(-omega t)$ ，我們可以從這兩個值計算出正弦波的幅度和相位，再把兩個值合寫成一個複數的實部和虛部，我們就得到了 $F(omega)$

傅立葉變換的反變換具有相當對稱的形式：

$f(t)=frac{1}{2pi}int^{+infty}_{-infty}F(omega)exp(iomega t)domega$

運用複數相關的知識不難證明這個結論。如果你想要一個更直觀的解釋，其實也很簡單，可以運用我們前面對線性系統的知識：

考慮 $int exp(iomega t)domega$ ，這是一組不同頻率的正弦波和餘弦波的疊加。在t不為0的地方，這些正弦波的相位是各自不相同的，相互抵消了，而在t=0的地方，所有波形的相位都相同，所以能夠同向疊加，達到非常大的值，也就是說疊加之後剛好是我們前面提過的衝激函數（實際上差一個2π的係數）。假如我們有一個線性系統，它的衝激響應（「嘭」）剛好是f(t)，那麼輸入一個衝激函數，輸出也就是f(t)自己；而輸入是（復）正弦波時，輸出是（復）正弦波與f(t)卷積的結果，我們知道這個卷積的結果也是個正弦波，而且幅度和相位由 $F(omega)$ 決定，所以這個輸出的（復）正弦波就是：

$F(omega)exp(iomega t)$

由於輸入疊加之後是衝激函數，所以輸出疊加之後應該是衝激響應f(t)，我們就得到了前面的反變換的公式。

不管怎麼說，從反變換的表達式我們可以看出，我們成功把f(t)分解成了正弦波，其中角頻率為ω的分量的幅度和相位由 $F(omega)$ 決定。我們可以同樣把系統的衝激響應h(t)分解成正弦波，表示為 $H(omega)$ ，按照我們前面的討論，輸入是f(t)的時候，輸出應該是f(t)的每個正弦波分量產生的正弦波輸出的疊加，也就是：

$G(omega)=F(omega)H(omega)$

Amazing! 我們通過傅里葉變換，將卷積轉換為了乘法。

這意味著什麼呢？如果我們把所有的輸入都看成是一組波，那麼線性系統的輸出就是對這組波中每個頻率的波，都乘以相應的係數（復係數，包括幅度的變化和頻率的變化），有些頻率會被加強，有些頻率會被減弱，但是每個頻率的分量只跟這個頻率的輸入有關，不會增加新的頻率。所以在信號與系統中，我們也把線性系統叫做濾波器。

回頭說一說周期函數的問題。如果f(t)是個周期函數，周期是T，會發生什麼樣的情況呢？當我們選取的正弦波周期與T沒有整周期關係的時候，每個周期的f(t)產生的正弦波相位不同，會相互抵消；而當選出的正弦波周期剛好是 $frac{T}{k}$ 的時候，這些正弦波剛好會同相疊加，於是我們只需要計算這些整數倍的頻點的值即可，這時候傅里葉變換轉化為傅立葉級數。如果f(t)不僅是周期函數而且帶寬有限，還可以進一步變成離散傅立葉變換（DFT），然後有快速演算法（FFT），就不展開講了。

====================（數學在上，扯淡在下）=========================

線性系統的適用範圍呢？那就太廣了。幾乎所有的物理系統至少在某個範圍中都可以看作線性可加的，這其中都會有線性系統存在，然後就會有對應的波，比如說物體振動的線性系統產生機械波，水面產生水波。電磁場也是線性可加的，於是電路系統中有交流電，空中的電磁場有電磁波。愛因斯坦的廣義相對論中，引力是空間扭曲的結果，哇哦，空間的扭曲也是線性可加的，於是我們預言了引力波。

如果這些都不算什麼，在量子力學中，量子力學過程可以用費曼圖、使用可擇歷史來詮釋。

哇哦，費曼圖是線性可加的！

是的，費曼圖線性可加的結果就是物質波。

你說正弦厲不厲害呢？

===============================================================

附加：為什麼我們經常會見到正弦波呢？

如前文所說，我們見到的許多系統都是線性系統，而線性系統也可以叫做濾波器。其中有一些線性系統，對所有頻率的通過特性都很好，比如說真空中的電磁場，在這樣的系統中可以傳導任意的波形。然而在另一些系統中，線性系統對於頻率有很強的選擇性，只有特定的頻率可以通過，其他頻率很難通過。

比如說力學當中的共振系統。這個系統有固有的振動頻率，當輸入與這個頻率不符合的時候，輸入有的時候幫助系統振動，有的時候阻礙系統振動，振幅就很小；當輸入與這個頻率符合的時候，輸入一直在幫助系統振動，振幅就很大。

比如說水面，與共振系統相似，有固有的振動頻率，所以投進去石子就可以看到一圈圈的波紋，實際上是衝激響應被濾波的結果。

比如說聲音，不同頻率的聲波由於衍射、反射特性不同，被環境吸收的比例也不同，產生混響的效果。高頻一般明顯會比低頻衰減得快，所以我們對遠方喊的時候，遠方聽到的聲音會缺失高頻分量。

比如說定長弦上的振動，一端的輸入會在兩端來回反射，而兩端固定要求正向和反射的信號在另一端的地方疊加剛好為0，只有當輸入波長和弦長有半整數關係的時候才能穩定下來（這時候叫做駐波），否則會自己跟自己抵消。

比如說LC震蕩電路，不同頻率的時候電路的阻抗是不同的，特定頻率上有最小的阻抗，也就有最大的振幅。

比如說半波振子天線，跟弦上駐波類似，電磁波在天線上形成駐波，有波長和天線長度的比例關係。

再比如說電子圍繞氫原子運動，這實際上是德布羅意波自己與自己疊加，為了不跟自己抵消，跟前面駐波的例子相似，波長需要符合特定的條件，這個特定條件的出現就叫做量子化，從而產生了氫原子上的電子有固定軌道的現象。

在這些系統中，響應的幅度與頻率有非常明顯的關係，在有些系統中甚至輸入雜訊（可以看作所有頻率分量都有的信號）也會被選出特定的頻率，這時這些系統就會產生正弦波，我們就會觀察到正弦波的出現。

沒什麼特別神奇的，因為sin和cos函數不過是我看來最自然、最簡單的周期運動的體現：一個點繞平面上的單位圓做勻速圓周運動，這個點在x軸和y軸上的投影隨時間的變化曲線就是cos和sin曲線。如果說sin和cos在很多地方都能用上，那無非是說很多物理現象在抽象之後都可以表示為這樣的簡單周期運動。物理世界本身的簡單性將sin和cos這樣的函數放在了一個特別的位置上而已。

沒什麼神奇的。

數學上只是眾多函數中一個用的比較多的函數。好比數學物理電氣自動化里都有加法，而加法也不過是眾多二元運算中的一種，你會感覺神奇么？

至於為什麼用的多，大概因為形式比較簡單，有不錯的性質(光滑/有界/周期/...)，能用來解一些方程(特別是經典力學中的勢能谷)、能用來表示一些函數。

很有趣的問題。
正弦就是直角三角形某角的對邊與斜邊之比。我們來看下圖：

左圖中我們看到了一個直角三角形，並且A是銳角 $varphi$ 的對邊，於是就有了圖中的定義，即：
$sinvarphi =frac{A}{C}$
並由此推得： $A=Csinvarphi$
現在我們讓角度 $varphi$ 旋轉起來，然後在右圖中的坐標平面上繪製出它的高度曲線，我們就得到了正弦曲線。我們看到，正弦曲線的高度是在A和-A之間變化的。
看起來，正弦似乎只有數學上的意義。其實不然，我們來看幾個應用吧：
1.流體力學

上圖中我們看了一隻風箏。當氣流從右往左水平作用於風箏上時，由於風箏是傾斜的，它與氣流方向存在一個角度，於是氣流就對風箏產生了向上的作用力，也即升力。
類似的，包括飛機、賽車等等，都和這隻風箏有點關係。
在這裡，我們看到了角度、水平作用力和升力等諸多參數，它們之間就存在正弦（包括餘弦在內）的關係。
由於風箏迎著氣流的正面和背著氣流的反面空氣的壓強不同，氣流的作用力當然也不同，這屬於流體分析的範疇，於是這個問題又與流體力學掛上了鉤。

例如前一張圖中的賽車，它尾部的壓氣板彎曲部分是朝下的，於是壓氣板會產生一個向下的作用力，而且賽車速度越快，這個壓力就越大，其目的就是增加輪胎對地面的附著力。
由此可見，正弦關係在流體力學及流體作用力方面起到很重要的作用。
2.各種交變數
日常所見的交變數非常多，最典型的就是交流電。

從左圖中，我們看到繞組在空間中的旋轉情況，繞組感應出來的電壓是空間角度的函數，當然也是時間的函數。由此可知，電壓值一定與時間與頻率都有關係，於是我們的主角，正弦量再次出現。
電壓值與時間有關，也就是說，電壓可以表徵為時域特性，也即拉普拉斯變換；同時，電壓也可以表徵為頻域特性，也即傅里葉變換。這些都屬於複變函數的內容。

正因為分析電氣理論用三角函數特別方便，所以專門配套了相量分析法。注意哦，這裡的相量不是向量，當然也不是矢量。
3.三角函數與工程測量
這裡面的應用就非常多了。
例如我們面前有一棵樹，我們想知道這棵樹有多高，我們可以採用下圖的測量方法：

$h=frac{Msinalpha sineta }{sin(alpha -eta )}$
這裡的h就是樹的高度， $alpha$ 是角1， $eta$ 是角2，M是兩個測量點之間的距離。
事實上，工程測量是一門很大的學問。它包括普通的物體測量，例如機加工時的加工件尺寸測量，也包括海拔高度的測量，以及地形勘測、測量和繪製。測量所用的設備既可以是最常見的鋼捲尺，也可以是衛星測量。它牽涉到測量精度的處理等等，真正是一門高大上的學問。
================
總而言之，正弦函數的應用真是超乎想像，其應用面不甚枚舉。

如果你不懂數學的話，
就會覺得數學界里什麼都神奇→_→

有多神奇呢？反正我初中的時候見到一頭牛邊走便尿出正弦曲線的時候是驚呆了！

sin(x)的牛的性質，是來源於exp(x)，後者更加本質一些。。

以前高中的時候講三角函數老師隨意畫了個正弦波問這是啥？
我們答：y=sin（x
老師說：不不止是這是佛周而復始天道輪迴
我們當時就懵逼了

他們在傅立葉級數里的角色(正/餘弦級數)都可以歸結於他們是 $R$ 上的單位正交基( $sin(nx), cos(nx)$ )
而為什麼傅立葉級數能夠擬合一個函數, 事實上, 並沒有充要條件
Riemann localization定理給出了一個函數如果在局部具有lipschitz continuity那麼在這個局部里傅立葉級數point wise convergent
而對於一般的連續函數, Parseval定理說明fourier級數確實是uniformly convergent
至於為什麼每個函數都存在三角級數逼近他不嚴格的說, 可以用切比雪夫多項式換元之後變成多項式, 由於weierstrass定理, 存在一個逼近他的三角級數
如果說 $sin(x)$ 單獨有什麼特別sharp的性質(像素數, $p|ab,~(a, b)=1 ightarrow p|a~or~p|b$ ) 還是想不到

正弦是個比較神奇的函數，代表著世界的某種本質。那種認為正弦不過是個數學表達式的人看問題可能過於膚淺了。很多機械系統，電子系統它們的振動波形都是正弦的。所以電路中，用傅里葉變換的原因不僅僅是數學意義，是因為電路就有正弦特性。

工科人強答一發

我本人數學學的很爛，當初是想學文科的。。。所以，我對數學的了解僅限於實用性，題主也是工科，而且是和我相近的專業，也許我能做一點微小的工作，很慚愧，謝謝大家。

就正餘弦而言，我覺得要關注兩個性質：三角性和正交性。
三角性，正如題主描述，正弦就是直角三角形對邊與斜邊的比值，這是他的定義。從定義出發，跟三角形相關的問題自然會，也應該會涉及到正餘弦，這個談不上神奇。隨著坐標系的引入，很多非三角形問題也變成了三角形問題，比如圓形，直角坐標系的兩個軸和半徑就可以構成一個三角形，如此一來，圓形的很多問題也可以轉換成三角形問題。所以圓形相關問題涉及到正餘弦，也不神奇。舉個例子，告訴一個剛學了正餘弦概念的中學生，圓形面積可以用三角函數來求，想來他會一臉懵逼的，你說矩形、五邊形、六邊形……拆分成幾個三角形還可以理解，圓形怎麼轉化成三角形？但在引入直角坐標系後，發現圓形面積可以轉換為sinα求積分。
其他答主提到的測距問題，力的方向，很明顯就是三角問題。

正交性，就是sinα，sin2α……sin(nα)……是相互正交的。這個相對而言，會顯得神奇一點。在做空間變換（比如傅里葉變換）的時候，可以以其為正交基。但要說多神奇，也不會太神奇，因為可以做正交基的函數很多，並不是只有正餘弦，只不過因為正餘弦作為正交基函數方便研究使用，所以應用的比較廣泛而已。本科階段學習到的傅里葉、拉普拉斯變換都離不開正餘弦，但並不是非正餘弦不可，比如小波，就可以不用正餘弦。
做這方面應用的時候，應該說跟「三角」這個名字其實已經沒多大關係了。
問題描述里說的交流電，還有像音頻分析等，用的都是這個性質。

這兩個性質，以我二本的數學水平，看不出有什麼內在關聯，不知道更高、更深層次的角度，他們會不會有關聯。
但是，沒關聯歸沒關聯，是實際應用中，還是可以結合使用的。比方說交流電路上的某個阻容故障，先使用正交性（傅里葉變換）算出其電抗值，在使用三角性算出電阻、電容值（電阻、電容的倒數，構成直角三角形的兩個直角邊）。

1.線性時不變運算元的特徵向量就是復指數函數，意思是說一個三角函數輸入到一個線性時不變系統，輸出仍然是三角函數，只是幅值和相位的變化。2.任何滿足狄利克雷條件的信號，都可以分解為不同頻率的三角函數的線性組合，不同頻率的三角函數相互正交，組成正交基。3.三角函數構成了信號處理的基石，傅立葉變換，以及從中發展而來的加窗傅立葉變換，到小波變換，再到後來的稀疏編碼，再到現在基於學習的各種模型，廣泛應用於圖像和視頻壓縮，機器視覺，推薦系統等領域，影響著我們生活的方方面面。

求一個函數，它的二次微分函數和它的相反數成正比例關係，這個函數就是正弦或餘弦函數，也是彈簧振子運動函數的解