控制研究中的『帶寬』怎樣理解？

12-28

高志強老師的文章」自抗擾控制思想探究" 中提到:

請問能不能用通俗的語言說明『帶寬』的含義？

在自動化和控制理論的話題上和大家討論了很多，也思考了很多，也認識了很多的好朋友，感謝之情盡在不言之中。總的感受就是，單就自動控制系統來說，很多工程師的基礎理論素養還不夠紮實，包括我自己也是。回想以前遇到的很多實踐的問題，不需要高深的理論，在經典的線性siso裡面其實都能夠找到答案。回想起四年前大老闆對我說：大家都以為自己非常透徹的懂線性系統，其實大家都還不夠懂。

我自己只是個工科生，本科GPA慘淡，雖說是根正苗紅的自動化的本科，雙控的碩士，但是讀博之前一直是在做軟體和嵌入式，理論素養並不好。胡亂寫了些東西，如果有哪裡錯了，還請方家指正。

1.從時域直觀看帶寬
首先限定討論的範圍，這裡只討論線性時不變系統（LTI），雖然現實中並不存在這樣的系統，但是有很多都可以在一定條件下近似為LTI，或者可以等價為LTI再加上建模誤差項或者干擾項。
討論LTI的時域響應，對於帶寬會給大家帶來直觀的感受，有助於引入後面的描述更為有力的頻域分析。
要看一個系統的響應速度快不快，直接看它的時域的解是一個非常直接的思路。
有一階系統
$G(s)=frac{1}{Ts+1}$
其單位階躍響應的解為
$x(t)=1-e^{(-t/T)}$
可見其穩態值為1，達到穩態的時間約為：
$t_s=5T$
由此可見，如果我們能想辦法改變其參數T的話，就能改變其響應的速度。尤其是，如果能讓T變小，那麼響應時間就會變短。
舉個例子，如果引入反饋的比例控制，其閉環傳遞函數為：
$G_c(s)=frac{k}{Ts+1+k}$
那麼系統的極點就變成了：
$s=-frac{1+k}{T}$
其根軌跡為：

其解約等於：
$x(t)=1-e^{(-tK/T)}$
響應時間也約等於：
$t_s=5T/K$
可見增益的變大，使得極點遠離原點，也使得系統響應變快。系統的主導極點離原點越遠，系統響應就越快。

再看二階系統
$G(s)=frac{omega^2}{s^2+2zetaomega s+omega^2}$
階躍響應的解為：
$x(t)=1-frac{1}{sqrt{1-zeta^2}}e^{-zeta omega t}sin(omega_d t+eta)$
其中
$omega_d=sqrt{1-zeta^2}omega$
對於標準二階系統，其穩態值也是1，其達到穩態的時間約為：
$t_s=frac{3.5}{zeta omega}$
如果我們能改變其參數，也能改變其響應時間。二階系統的閉環及其求解比較複雜，我就不寫公式了，用根軌跡圖來給一個定性的結果：

可見w是這個極點的幅值，wd是受到了阻尼的影響的，w在虛軸上的投影。當閉環系統增益變大時，根軌跡會沿著虛軸延伸，這時候w也會等效的增加，從而使得系統響應變快。

這裡只討論了一階和二階系統的時域響應，因為更複雜的系統是可以分解成為一階和二階系統的疊加。到這裡還沒有到頻域，但是請大家記住T和w這兩個東西，到了頻域部分它們會是關鍵的參數。

2.頻域法討論帶寬

很多老師在講到頻域法的時候，往往只會說一句：「頻域法很重要，有著重要的工程意義。」然後就開始讓s=jw，再就開始講幅值相位各種圖的畫法，缺乏轉呈過度。我試著補齊這一段。

控制器最主要的任務一是穩定系統，二是提升系統動態性能。頻域法這兩個任務都可以完成，但是從系統動態性能來引入是一個更自然的過程。

在時域法裡面，我們得到了一些結論，可是那只是階躍響應。如果我們的輸入是變化的，那麼系統的輸出是怎樣的，時域分析就力不從心了。所以假定我們的輸入是有頻率和幅值變化的周期性信號，那麼我們可以採用的假定輸入可以是三角函數，也可以是方波，也可是鋸齒波。但是使用三角函數在數學上處理很方便，其他的周期性的波也可以分解為三角函數的疊加。所以假定輸入為：
$u(t)=Asin(Omega t)$
看幾個例子：
$G(s)=frac{1}{0.1s+1}$
對其輸入為：
$u(t)=sin(t)$
即幅值為1，頻率為1 rad/s。結果為：

其中黃色為輸出值，紫色為輸入值，下同。
在這裡，輸入和輸出是很接近的。
然後對其輸入改為：
$u(t)=sin(10t)$

不僅輸出的幅值跟不上了，也開始出現了相位偏差(延遲)。
再進一步增加頻率：
$u(t)=sin(50t)$

會發現輸出的幅值和相位進一步的縮小。甚至輸出會小到忽略不計。當定下一個標準，輸入的頻率大於某個值 $omega_B$ 之後，系統的輸出變得小到了忽略不計， $omega_B$ 就稱之為帶寬。用白話說，在 $omega_B$ 這個頻率以下的輸入，系統會對其響應比較明顯，大於 $omega_B$ 的，響應就很低。

如果我們把輸入頻率從0開始，一直變化到無窮大，並記下每個頻率上的幅值和相位的變化，那麼就得到了一個頻率響應圖。此圖可以用實驗的形式獲得，例如下圖，改變一下頻率，記下數據，然後依次描多個點，連起來就可以得到曲線圖。

那麼除了實驗方法，還有沒有解析的方法來得到一些結論？有，那就是著名的讓s=jw，G(s)=G(jw)，然後看其幅值和相位。為什麼可以這麼做？
首先看拉普拉斯變換的定義:
$F(s)=int_{0}^{infty}e^{-st}f(t)dt\ F(s)=int_{0}^{infty}e^{(-a-jomega)t}f(t)dt$
而傅里葉變換的定義為：

$F(jw)=int_{0}^{infty}e^{-jomega t}f(t)dt$
如果令拉普拉斯變換裡面的s=jw，則拉普拉斯變換就會退化為傅里葉變換。所以說拉普拉斯變換是在頻域，不是完全正確的，應該說是其在複數域，其不僅包含了頻域的穩態信息，還包含了瞬態的信息。而傅里葉變換僅僅包含了在頻域下穩態的信息，所以
G(jw)即可算出G(s)在不同頻率w下的幅值和相位的信息。

例子：
$G(s)=frac{1}{s+1}$
另s=jw，在w=0的時候，
$G(jw)=G(j0)=frac{1}{0j+1}=1$
在複數域下可知，1這個數幅值為1，相位為0，所以說G(s)在直流輸入的情況下，是等於其原信號的。

再看在一個頻率為1rad/s的正弦波的輸入下，令s=j1，
$G(jw)=G(j)=frac{1}{j+1}=0.5-0.5j$
在複數域下可知，0.5-0.5j這個數幅值為0.707，相位為-45度，回顧一下時域分析裡面的模擬結果：

是不是相符。
再看當輸入頻率趨向於無窮大的時候：

$G(jw)=G(jinfty)=frac{1}{jinfty+1}$
其幅值為：
$A(G(jinfty))=frac{A(1)}{A(jinfty+1)}=0$
相位為：
$deg(G(jinfty))=deg(1)-deg(jinfty+1)=0-90^circ=-90^circ$
可知其對於高頻的響應為幅值趨向於0，相位趨向於負九十度。

其簡化了的結論是：當輸入的w小於1/T時，系統的輸入是能大致跟隨輸出的；當輸入的w大於1/T時，系統的輸出是基本不能跟隨輸入的。在這裡，系統的帶寬就為 $omega_B=1/T$ 。

二階系統的例子類似，只不過其帶寬是由

$G(s)=frac{omega^2}{s^2+2zetaomega s+omega^2}$
中的 $omega$ 決定的。

3.帶寬大小的影響
由時域和頻域的兩個方面來看，系統的頻域帶寬越大，時域的響應速度也就越快，兩者是相輔相成的：

看到一個系統的頻域圖，是可以立刻腦補出來其時域階躍響應圖的形狀的，可以將其劃分為三個段：低頻段決定了系統穩態值，中頻段決定了瞬態響應，高頻段決定了其對於雜訊的敏感度。
比如下圖：

上面是頻域響應圖，紅色的比綠色的帶寬要大，兩個在中頻段都沒有峰，應該都沒有超調，畫出來的時域階躍響應圖應該是紅色的比綠色的要更快的到達穩態值。

雖然帶寬大的系統響應速度會快，也會帶來很多副作用，首先就是會對雜訊敏感。高頻雜訊是普遍存在的，如果系統的帶寬低，那麼就會對高頻雜訊的放大係數很低，系統不會受大影響，而帶寬高了，不僅對高頻的正常激勵信號有響應，也會對同處高頻段的雜訊有較大的響應。

再就是高帶寬系統需要更高速度的感測器和控制器，一般控制器和感測器的速度應該是被控對象的5-20倍。不僅是硬體成本高，而且對數值計算的精度也更高，對於延遲的忍耐度也更低。

帶寬指的是響應頻率寬度範圍，所謂的帶寬高指的是響應的截止頻率高。這個怎麼來解釋呢？一些都要從經典控制理論和高數說起。在經典控制理論中，還記不記得對於N型的系統來說，如果參考輸入的次數大於等於N時，則響應會有穩態誤差。這裡說的是穩態誤差，那麼其動態過程呢，肯定也存在誤差，而且是波動的。
接下來，我們從輸入方面來解釋。眾所周知，對於一個運動控制系統來說，其輸入曲線（可以是位移、速度、加速度曲線。為了更直觀的解釋，一般採用速度曲線來解釋。）是任意形狀的，那麼系統會怎樣響應這個輸入曲線的呢？我們在高數中學過傅里葉變換，將一段任意曲線轉變成一些周期函數（基底函數，一般去正弦或餘弦函數）的疊加。我們知道，實際物理系統都可以看做是線性系統或在某個範圍內近似看做是線性系統。對於線性系統，其響應可以有各個頻率的輸入的響應疊加而成。不知道說道這裡，大家頭暈了沒有？也就是說，將一個複雜的輸入曲線傅里葉變化成由很多個頻率的輸入，系統總的響應，則由這些頻率各自的響應進行疊加。
那麼，接下來就好解釋了。一個複雜的輸入曲線（以速度曲線為例來說明），將其進行傅里葉變換到頻域上，發現可由各個頻率的正弦函數疊加而成。而且輸入曲線的次數越高，其頻譜越寬。現在該明白什麼是頻譜了吧。一個矩形速度輸入曲線，理論上，其頻譜無限寬。高頻次輸入對於實際物理系統來說，其響應肯定要受到影響，甚至不響應。表現在系統總的響應來說，其實際輸出速度曲線與輸入曲線存在誤差。物理系統的性質不僅包含機械的，也包含電氣上的。機械上沒有什麼好說的，大多數機械系統都可以簡化成一個二型系統。電氣上來說，位置環、速度環、電流環的採樣頻率越高，則其響應誤差理論上越小。這對於電氣上的成本來說也越高。
很多伺服產品上都說響應頻率是多少k。一般指的是速度響應頻率。響應頻率越高，其響應輸入的誤差越小。當然其成本也越高。

說白了，帶寬高就是輸入值變化很快時，輸出仍能跟得上。

這是對頻率響應圖的描述，你理解頻率響應是啥意思就能理解為啥這樣說了。

這位老師把帶寬列成「途徑」，應該是因為很多控制設計方法里是可以直接調整帶寬的，所以可以用調帶寬來控制響應速度

上邊有大神從理論角度講了一下，我來說一下比較通俗的說法。

題主的文獻里說，提高輸出的響應速度有兩個途徑，提高帶寬和增加前饋。
提高帶寬本質上就是要讓系統的響應時間變小，響應時間小了就能有效的對頻率更高的輸入信號進行響應。
輸入了一個指令100mm，有可能1秒以後執行機構完成了100mm的動作，，也有可能5秒以後才完成。如果輸入指令不停的在100mm -100mm 100mm -100mm之間變化，這個變化的頻率最大多快，就是帶寬這個屬性體現出來的。
至於前饋，就是系統能猜出來下一步的輸入指令，或者猜出來未來一段時間的系統狀態，那提前做補償，當然也可以提高響應速度。

所謂的控制系統帶寬分為開環帶寬和閉環帶寬，一般用開環帶寬表示系統的響應特性；開環帶寬即開環傳遞函數伯德圖開環截止頻率（幅值過0dB對應的頻率）。閉環帶寬是指閉環傳遞函數幅值衰減到-3dB對應的頻率。兩者的關係是：wc&@李崇理論角度，控制大神已經給出了充分詳細的解答。嘗試從應用角度講一下。工程中衡量帶寬的手段有很多:單位階躍響應、機械特性分析、剛性等等。個人理解，帶寬就像是公路，帶寬越高，公路越寬，可以容納更多的車，各種各樣的車，大卡車小轎車自行車兩輪自平衡車獨輪車(對應可以通過各種頻率成分)。在伺服控制中，電流環帶寬默認足夠高了，一般談有實際應用意義的速度環帶寬。速度環帶寬高了，位置環就可以設置更高的增益，末端執行機構就可以更快的跟蹤各種稀奇古怪形狀(一般為三角形或者梯形)的位置指令，同時定位完成時間也更快，現實意義就是工件加工效率更高。也就是說帶寬高，你就可以用各種各樣的車來運貨，輸送效率就更高。

上面的大神 @李崇從時域和頻域兩方面理論方面進行了詳細分析。因本人工作主要是與運動控制和伺服相關，因此此答局限於運動控制和伺服方面。自控我是半路出家的，如有錯誤之處，還請大神們指正。以下答案在知乎另外一個問題工程上如何理解帶寬頻率？實際意義是什麼？為什麼大學學習過程中很少強調帶寬的概念？ - 知乎嘗試強答了

運動控制和伺服系統中的帶寬是指機電系統跟蹤輸入參考信號的能力。機電系統最終都可以處理為線性系統，線性系統則可以視為濾波器，且通常情況下為低通濾波器。這就意味著不是所有的頻率在系統響應中呈現。比如說一階低通濾波器，如果輸入信號擁有很寬的頻率範圍，但是其輸出只能是其輸入頻率中的一部分低頻，高頻部分被衰減甚至缺失。所以說帶寬決定了系統響應的頻率豐富程度。

更高的帶寬意味著提供給更為剛性的電機性能、降低跟蹤誤差、提供更快的瞬態響應時間，更強的抗干擾能力，但是同樣帶來缺點，對環路雜訊的放大，高頻響應干擾（意味著需要更高的加速度和力/力矩，意味能耗的增加，電機溫升增加等），高帶寬同樣意味著高性能的元件。具體應用中結合實際需求，進行折中考慮。

參考：

[1] http://www.motioncontroltips.com/faq-servo-motor-current-velocity-position-loops-bandwidths/

[2] http://www.motioncontroltips.com/why-is-the-bandwidth-of-a-servo-control-loop-important/

[3] Design Trend - What about Bandwidth?

[4] High-Bandwidth Servo-Drive Performance in a
Quantitative Comparison of Control Systems

[5] 盧伯英譯，Katsuhiko Ogata 著，現代控制工程（第五版）

關於理論，第一名的答案已經說的很清楚了。說一個形象一點的比喻，把控制系統比喻成知乎，帶寬比喻成吸納成員的限制。控制系統目標是穩定高效的輸出高質量的內容，如果帶寬大即加入知乎容易，則系統快速性提高即輸出內容效率高，但引入了大量雜訊即內容質量參差不齊，甚至有可能出現發散即各種虛假內容橫行甚至掩蓋了真實內容。如果帶寬小即註冊知乎有嚴格篩選那麼系統穩定性提高，但快速性降低。

「帶寬」是伺服系統中經常提到的技術指標，指的是伯德圖中幅值下降3db時對應的頻率點，通俗講就是如果輸入幅值為1頻率不斷變化的信號，當輸出信號幅值為0.707時對應的輸入信號頻率即為系統的帶寬。

「帶寬」只是提出了幅值上的要求，工程上還有更嚴苛的「雙十指標」，即頻率響應曲線中能夠同時滿足幅值衰減小於10%、相位滯後10度的頻率。

「帶寬」不完全取決於控制系統參數，還跟系統的剛度、轉動慣量、傳動鏈間隙等機械結構因素有關。目前，控制器的採樣率一般可以做到比較高，所以實際工程中「帶寬」往往受制於結構因素。

20170510更新：

最近看了《多變數反饋控制：分析與設計》這本書，裡面對反饋控制系統帶寬有一種新的定義方式，書中首先定義了靈敏度函數與互補靈敏度函數

如上圖所示的反饋控制系統，其閉環傳遞函數、靈敏度函數、互補靈敏度函數為：

S為輸入擾動到輸出的閉環傳遞函數，T為參考輸入到輸出的閉環傳遞函數。

「帶寬」可以定義為使控制有效的頻率範圍。對有效一詞的不同解釋可以引出不同的帶寬定義：(1) 對於反饋控制而言，控制有效即系統性能得到改善，即跟蹤誤差|e|/|r|=|S|合理地小，例如定義為|S|小於等於0.707我們就認為控制是有效的，系統性能得到了改善，因此靈敏度函數曲線自下向上穿越-3dB時的頻率Wb即為帶寬；

(2)控制有效也可以理解為控制可以顯著地改變系統的輸出響應，由y=Tr，即T足夠大我們就認為控制有效，如可以定義為T大於0.707，也就是互補靈敏度函數曲線自上向下穿越-3dB的頻率WbT即為帶寬，這種帶寬定義與其它領域的帶寬定義更為接近；

第一種定義方式更能反應控制系統的性能，因為它表徵了跟蹤誤差的大小，幅值下降與相位滯後均會導致跟蹤誤差變大；第二種定義方式只是反應了幅值下降跟相位變化沒有關係，如果系統幅值下降滿足要求但相位滯後大，那麼系統跟蹤誤差仍然會很大。

對於多數實際控制系統而言：Wb&

詳細資料可參考《多變數反饋控制：分析與設計》的2.4節。

高帶寬，說白了就是能夠穩定跟蹤頻率很高的輸入信號。這個概念是從頻域分析法裡面來的。懂相位裕度、幅值裕度，自然就懂了。

高帶寬基本就是說系統的快速性很好，亦即增益大、延遲小，以及被控系統在高速運行時不會有異常，比如機械系統的自激振蕩什麼的，而且感測器噪音小（否則會影響系統的穩定性或因為濾波的需求而引入更多的延遲）。

對於經典控制理論，即系統能夠響應的輸入最小頻率和最大頻率的範圍

好像題目啥時候被改了？
之前說的是濾波器吧？

首先，從濾波器的角度看。
任何一款濾波器在實際當中都是帶寬有限的，哪怕是高通濾波器，實際上所有無限高的頻率都不是能無幅度下降的通過的。也就是說所有濾波器都是低通或帶通濾波器。
那麼高頻信號不能通過的特性說明該濾波器對信號的輸出反應比較慢。比如輸入一個絕對理想的階躍信號，輸出信號的上升沿不可能是絕對的向上垂直的直線，靠近平穩響應的部分和垂直上升的部分也不可能是絕對的直角。
這說明了什麼哪？——說明輸出永遠追不上輸入。
好了，現在把這個「濾波器」換成其他任何一個系統傳函都是一樣的結論。
然後，再在這樣一個系統傳函的輸出信號端引一個信號回到輸入端做反饋。那麼就如題主引用的話一樣，任何一個反饋系統，響應速度都是有限的。——這個響應速度的快慢，就取決於系統的帶寬。

上兩圖，侵刪。[1] Fourier series visualisation with d3.js.
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
[3] 傅里葉分析之掐死教程（完整版）更新於2014.06.06 - 與時間無關的故事 - 知乎專欄）

（1）個人理解

1.所謂的控制，即是復現原信號。

2.信號可以從頻域觀察。頻域相同的兩個信號相同。

3.帶寬越大，意味著容許更多頻率通過。

（2）以輸入為階躍信號為例。

翻開任何一本經典控制理論教材，一定有以階躍信號為輸入的，你會發現輸出都長得和輸入差不多，這說明控制就是為了復現原信號。階躍信號在t=0時刻突變，故這個時刻有各種頻率，又階躍信號之後都是常數值，說明其大部分頻率是0，將階躍信號分解到頻域，得到其頻譜。為了復現階躍信號，我們就要還原其頻譜，如果帶寬越大，說明可以通過的頻率越多，所以還原信號就越逼真，若是從時間上看，即信號響應越快

說的特別好

帶寬越高，響應越靈敏，反之，你會覺得你的控制對象笨笨的

如果你認真看過模電，你就知道這些概念都是一樣的。就和中學的速度和加速度一樣。

控制研究中的 『帶寬』 怎樣理解？

控制研究中的『帶寬』怎樣理解？