為什麼許多規律極其簡單的數列卻仍未找到通項公式？

12-28

最簡單的一個例子：

為什麼這個式子至今沒有找到一個公式可以去計算呢？

這個問題特別困擾我，老師說，這個數列是無法求和的，到底為什麼如此簡單的一個數列卻無法求出通項公式呢？是人類至今還沒有找到，還是它可以被證明無法用一個公式來描述？

它為什麼一定要有通項公式……其實絕大多數級數的部分和都是沒有初等函數形式的通項公式的，有通項的反而是少數。跟積分有點像，所有初等函數在解析域上都可微且導數都是初等函數，但不一定有初等函數形式（或者叫做閉形式，也就是不含級數或極限的形式）的原函數，尤其是初等函數的商形式的函數經常沒有初等函數形式的原函數，如sin(x)/x。
某些函數級數求和的極限可以是任意的滿足特定條件的函數，比如復解析的函數都可以展開成洛朗級數（如果在單連通區域內解析就是泰勒級數），任意分段光滑的函數都能展開成傅立葉級數，既然極限可以沒有閉形式，自然部分和也不像是有閉形式的樣子了。

你和我這個回答中的題主一個問題.

不定積分理論不夠完美怎麼辦？

特殊函數里早就給這個和式留了個位置 $[H_n^m = sumlimits_{k = 1}^n {frac{1}{{{k^m}}}} ]$

然後順便從整數n延拓到實數x.

$[H_x^2 = sumlimits_{n = 1}^infty {{h_n}{x^n}quad } {h_n} = {( - 1)^{n + 1}}(n + 1)zeta (n + 2)]$

歐拉當年從來沒糾結過這種問題...

寫不出來又不是沒法研究...圈起來命個名這種事多簡單......

=====================================

其實吧，五次方程為何沒有根式解，不定積分為何寫不出原函數，求和為何沒有封閉形式，甚至尺規作圖為何畫不出來，摺紙為何折不出來,連桿系統的極限在哪裡.....

從擴域的角度上來講一個道理,域擴張塔能否到達.

簡而言之 運算方式決定表達範圍.

題主你好，我在高中的時候考慮過同樣的問題，不過我的問題相對簡單，即對於任意的正整數m, 試求如下級數的求和公式

$S_{m}=sum_{i=1}^{n} i^{m}$

對於正整數的m, 我找到了方法，將 $S_{m}$ 拓廣至函數 $f(m,x)$

$f(m,x)=sum_{i=1}^{n}i^me^{ix}$

它有如下的性質

$f(m,x)=frac{d}{dx}f(m-1,x)=frac{d^{m}}{dx^{m}}f(0,x)$

以及

$f(m,0)=S_{m}$

而

$f(0,x)=sum_{i=1}^{n}e^{ix}=frac{(1-e^{nx})e^{x}}{1-e^{x}}$

那麼你的問題在這個方法下就變成對於任意整數的m是否存在 $f(m,x)$ ?

正整數的m是沒有問題的，對f求導即可，然後取x=0，但是對於負整數的m, 則需要積分，我嘗試計算了一下，得到的結果十分有趣，如果題主會微積分的話，可以自行驗證。

所以我覺得這個問題可以變為我們是否只會計算 $f(0,x)$ ？或者我們是否可以對 $f(m,x)$ 解析延拓至任意的m，如果可以，這類問題就能得到解決。

我並非數學專業，不知道該如何延拓 $f(m,x)$ ，這是我對這個問題的一點小思考，希望有所幫助。

跑個題，首先這種數列求通項公式沒什麼太多意思。無窮和收斂 $frac{pi^2}{6}$ ，通項公式意義就不大了。

但是反過來，倒是對於所謂所有的正整數之和，他可以用來衡量收斂速度。

$1+2+...+n=zeta(-1)=-frac{1}{2pi^2}zeta(2)=-frac{1}{2pi^2}(1+frac{1}{4}+frac{1}{9}+frac{1}{16}+...+frac{1}{n^2})$

大概n=1000左右倒數平方和誤差小於1‰，也就是說，如果微觀粒子在1000個左右時，可以考慮為宏觀現象了。

對於股票來說，TICK級別上千的數據量，就可以考慮引力變斥力，微觀模型變宏觀模型了。

真要找到了通項公式…你們離發現所有質數也不遠了。再下一步就是要得出 P=NP 了。

不抖機靈了的回答就是，初等函數的集合只是我們方便的一個定義。理論上一個函數可以唯一地由它的 graph 來定義。即以 D 表示定義域，R 表示值域，則 (d, f(d)) 所構成的一個 D x R 的子集即是這個函數。比如你從歐氏空間、勾股定理、三角形出發來定義三角函數，和你從級數形式定義三角函數，只要他們的輸入和輸出完全一致，就應該看作一個函數。

進一步來說，之所以這麼痴迷於初等函數表示、痴迷於解析解，是因為這些函數在現有技術下能很快的時間內求值（要引入時間複雜度也不是不可以），以及通過解析解、通項公式、函數圖像這類東西，能很快的得出相關的性質。

這個等式可能沒有用，不過其中的排列組合背景還是令人著迷的

這不是數列，是級數。

這個級數收斂於 $frac{pi^2}{6}$ 。

還有，這個級數實際上是有前n項和公式的，只要引入polygamma函數就可以了。

$Psi_1(1)=frac{pi^2}{6},Psi_1(x+1)=Psi_1(x)-frac{1}{x^2}$

我們再令

$S_n=frac{pi^2}{6}-Psi_1(x+1)$

完事。

我也想知道，還有組合數學裡面的斯特林計數啥的遞推公式表達式為啥不能寫個函數表達出來？我有時候從熵角度來考慮過，不過沒思考出來坐等大大來解決

答案顯而易見是六分之pai的方

可以求和的數列都可以表示為某個高維度空間的有理實體，比如普通一次函數面積是個二維三角形，而二維正方形的疊加既是三維錐體也就是二次函數的面積，導數是對物體進行降維處理的手段，但很多函數在任何維度都沒有有理表現符合那個空間的某個幾何規則，也就是說可積函數可以在高維空間中轉化為那個空間的規則幾何體