為什麼數列an=n有求和公式而an=1/n沒有？什麼樣的數列能寫出求和公式？

12-28

題主高中，最近在學習數列，偶然間想到了這個問題。我的想法是，通項公式確定項數確定，和也就是確定的，為何又無法寫出呢。如果不拘泥於加減乘除加減乘除乘方開方，定義一些新的運算，又能否寫出其求和公式呢？

Library Genesis: Scientfic Articles

作為數學老師，我也剛好關心這個問題。上面的是我前一陣找到一篇關於這問題的文章，並在library genesis上找到的鏈接。可以完美解決你的問題。然而，目前我並看不懂。
打算一年內弄懂這篇文章。我還想做的問題是，差分方程何時有封閉形式(Closed-form expression)解。直至各種代數方程，超越方程，微分方程（含求函數的不定積分），積分方程，差分方程，各自何時，會有什麼形式的解（Algebraic expression，Closed-form expression，Analytic expression，Mathematical expression）。一個有意思的結果是，一元五次方程沒有初等函數表示的解，但有橢圓函數解。
附：不同解的形式比較（來自Closed-form expression）

我又來放廣告了。【亂出題的都進黑屋！】慢增長整整數列的通項公式

這是一個習題，了解了這個想法之後就很容找出一個初等表達了。

當然，我回答這個不是別的意思，我的意思是追求初等通項公式的意義不大，因為在實變範圍內有反三角這樣 bug 的存在。

這個有求和公式，具體見潘承洞，潘成彪的《解析數論基礎》第28頁

$sum_{n=1}^{N}{1/n} =logN+gamma +1/2N-sum_{j=1}^{m-1}{(2j-1)!b_{2j}/N^{2j} } -int_{N}^{infty } (2m)!(b_{2m} -b_{2m} (u))du/u^{2m+1}$
γ，歐拉常數,logN自然對數

這個勉強算吧
Ψ(n+1)+γ

Ψ(z): Digamma Function
http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html
γ: Euler-Mascheroni Constant
http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html

常見函數的有界長度的準確表達式沒有

不過用歐拉-麥克勞林公式可以給出足夠好的近似結果。

這個問題重點不在於封閉形式,也不在於初等解析
還有某個貼吧答案...我看見幾次了,每次都想把厚厚一本資訊理論直接拍他臉上...
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這個問題遠超高中知識範圍了,先從微積分說起吧
計算積分值大家都能想到牛頓-萊布尼茨公式,不過要用這個公式首先要有原函數
$int {x{{ ext{e}}^x}{ ext{d}}x} = {{ ext{e}}^x}left( {x - 1} ight) + C$
$int {frac{{{{ ext{e}}^x}}}{x}{ ext{d}}x}$ 為啥就沒有解析式?
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然後積分變求和,微分變差分,那就長成這樣:
$sum {n{2^n}Delta n} = {2^{n + 1}}left( {n - 1} ight) + 2 + C$
$sum {frac{{{2^n}}}{n}Delta n}$ 為啥沒有解析形式?

上一個問題的解答---------Liouville/Ostrowski定理
設f屬於某微分域K，E是K的初等擴域，若存在g∈E使得D(g)=f，則f是K中的Liouville和
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OK,所以我們來解決為何 ${frac{1}{n}}$ 沒有原函數
把所有的微分換成差分,想辦法定義差分域...微分域的話男神伽羅瓦幫忙幹掉了...
域K上的一個運算：△:K→K，若滿足
$egin{gathered} Delta (u + v) = Delta (u) + Delta (v) hfill \ Delta (uv) = uDelta (v) + Delta (u){ m E}(v) hfill \ end{gathered}$
△稱為差分運算元,E稱為平移運算元
則稱△為K上的差分運算，域K連同其運算元△構成一個差分域
若 $[Delta (v) = Delta (u) + u]$ ，則稱v是u的對數，u是v的指數。

在差分域K中，將能夠表示 $[f = Delta (g) + sumlimits_{i = 1}^n {{c_i}left( {Delta ({f_i}) + {f_i}} ight)} ]$ 的元素f稱為K中的△-Liouville和：
若f屬於K的某個初等擴域K"，且f有初等原函數，則f是K"中的△-Liouville和
然後就能用來直接判定一個求和式有沒有原函數啦!
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沒有什麼高等函數這種概念好吧,那個叫特殊函數,指約定的一類經常出現的級數,一般是複雜微分方程,差分方程,迭代方程的解...
允許特殊函數的話:
$int {frac{{{{ ext{e}}^x}}}{x}{ ext{d}}x} = Eileft( x ight) + C$
$sum {frac{{{2^n}}}{n}Delta n} = C - { ext{i}}left( {pi - { ext{i}}{2^{n + 1}}Phi left( {2,1,n + 1} ight)} ight)$

$Ei$ 讀作ExpIntegralEi
$Phi$ 讀作LerchPhi

$int {frac{1}{x}{ ext{d}}x} = ln x + C$
$sum {frac{1}{n}Delta n} = {H_n} + C$

$ln$ 讀作Log
${H_n}$ 讀作HarmonicNumber

可以看出差分明顯比微分難的多,差分方程比微分方程難到不知道哪裡去了....

高中的話, 前面幾個回答都跳級太大了, 不講些太深遠的玩意, 給個高中程度可以觀察的直觀現象
從數列迭代的方式可以看出些端倪, 若是迭代方式簡單, 大多可以用數學歸納法, 以找出通項公式
例如設c為常數
等差數列 a_(k+1) = a_k + c
等比數列 a_(k+1) = a_k * c
前述兩種數列的迭代式中, 加跟乘分別都是迭代一次就作一次基本算術
但調和數列就複雜了 a_(k+1) = 1 / (1 / a_k + 1) = a_k / (a_k + 1)
由於除法存在, 沒辦法類推等差跟等比數列的求解法: 在數學歸納法中, 把a_k集中到一邊, 其他項集中到另一邊, 不含a_k項的那一邊的就可以歸納出不含a_k項的通式
沒有說調和數列的和一定找不出通項公式, 只是說就算有通項公式, 求出的方法也不會像前兩種數列中僅用初等數學歸納法, 高中就會暫且跳過不細究了

題主本科微積分時會學到調和級數，這是個發散級數，連續形式下他的「和」是個積分——ln n，可以證明他的和小於這個積分
學的再深到複變函數的時候，會接觸到黎曼zeta函數，這個是zeta（1）
保持好奇心是好事，不過需要一些漫長而嚴格的東西

如果真的好奇，那麼可以告訴你， $zeta (0)=sum_{n=1}^{infty }{frac{1}{n^0} } =-frac{1}{2}$ 。「看起來，無窮個1加起來居然等於負二分之一」，有趣吧～然而上面是居然是有嚴格證明的（手段叫做解析延拓）。勾起你的「慾望」就做到這兒了～好好考個好大學，然後努力鑽研到這裡吧～別像我到了研究生才想起來自學這些好玩兒的東西……

題主很喜歡思考，贊一個

至於為什麼1/n沒有求和公式..這不是一個僅用高中知識就可解釋清楚的問題，況且樓主剛剛接觸數列...所以這裡不展開說。

這裡指出一個很可能是由於知識儲備不足造成的推斷錯誤，確定不代表初等解析。

所謂初等解析，可以簡單理解為表達式可以用高中學過的函數（指數，對數，多項式，三角）的複合進行表達。

事實上還有很多這樣的例子，經典的問題有已知所有參數的橢圓周長，橢球表面積，還有因為大劉火起來的三體問題，甚至看起來十分簡單的五次方程都沒有一般的求根公式。

是不是有一種摸到了人類知識邊緣的感覺？

調和級數近似等於ln n+一常數。這個常數約等於0.577

後面的發散，也有近似的求和公式，只是你知識不夠

誰告訴你沒有的，歐拉公式

沒錯，有限項的和當然是確定的，一項一項加到n項不就是你要的表達式啊。很好很初等哦。。。至於無窮項，這個是發散的調和級數，和是無窮大。歐拉有近似的計算。

求和公式是都能寫的出來的只要知道通項表達式。就拿對於 an=1/n, 那麼 sum = ∑(1/n)，算不算其和的表達式呢？
呃，沒注意到題主高中，以上僅供參考吧