研究傳遞函數的固有頻率的意義在哪裡？

12-28

對於設計控制器有什麼幫助嗎？

補充一下 @李崇的回答。

感覺你的答案並沒有說清楚180°相位的那個問題。首先，對於二階振蕩系統，對應共振頻率的相位應該是-90°而不是-180°，下圖為證：

這是一個共振頻率為1 rad/s的系統，共振頻率對應的相位是-90°。即便是從你自己畫的圖中也可以很明顯地看出不是-180°。也就是說，假如施予物體的力是頻率也是1 rad/s 的正弦波的話，可以觀測到物體位移的峰值比力的峰值晚1/4個周期。

再看你給的例子，不得不承認根據常理判斷確實是180°時效果最佳，那究竟哪裡錯了呢？其實沒錯啊，此時假如提供衝擊力的話相當於力的反向最大值（規定了左邊是正向）就是這裡了，即270°相位，那麼力確實是領先位移90°相位的。

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寫了半天，沒人看就沒勁了。假如有人贊的話我再來補充一些關於研究共振頻率意義的私貨。

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哈，既然這麼快就有人點贊了我就接著寫吧。

研究固有頻率對控制器的設計當然有用啦……我就從閉環穩定性方面簡單地說一下。我的研究課題涉及壓電效應器的控制，和很多系統類似（比如cantilever beam），都是highly resonant system，簡而言之就是共振很嚴重，切換個reference setpoint抖個半天才停下來。設計控制器的時候問題更嚴重。一般來講，給閉環系統的性能要求是帶寬要足夠高，超調和振蕩要小。對於我研究這個系統，行業標準是簡單的積分控制，即控制器的傳遞函數為k_I/s。

那麼問題來了。對於這樣的一個環路傳函，由於resonant peak的存在，它的增益裕度非常小。比如對於前面給出伯德圖的這個系統
$G(s)=frac{1}{s^2+0.1s+1}$
當積分控制器的增益僅僅為1的時候，開環的增益裕度就達到了-20dB，閉環不穩定：

要讓閉環穩定的話，k_I要調小10倍多才行。雖然這樣一來系統就穩定了，但閉環系統的帶寬就遠低於共振頻率了：

k_I=0.05時，增益裕度為6dB，但閉環帶寬只有0.05 rad/s（從開環crossover frequency估算得出），比系統共振頻率低了20倍。更普遍地來講，能實現的帶寬滿足這樣一個公式[1]：

其中w1是共振頻率，P是共振的峰值高度。因此，很顯然，對共振的研究甚至設計對於控制器的設計和最終系統的性能來講太重要了。

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今天先碼這麼多吧，有空的話再繼續寫文獻里都是怎麼處理共振帶來的問題吧。本人才疏學淺，難免有疏漏的地方，請各路大神輕拍。

[1] Fleming, Andrew J. "Dual-stage vertical feedback for high-speed scanning probe microscopy." Control Systems Technology, IEEE Transactions on 19.1 (2011): 156-165.

來答題了，昨晚手打保齡球時候受傷了不太方便，就隨手用畫圖隨便畫一下大家隨便看看吧，就不用專業畫圖工具了。

一般來說，固有頻率，或者在小衰減係數的情況下也基本等同於諧振頻率，要滿足兩個要求才可以：
(1)相對於其他的頻段，在此頻段的輸入幅值增益最高。
(2)在此頻率點，輸入的相位會有180度的延遲。

此兩個條件其實是相容的，舉個最簡單的例子，給你一個彈簧，彈簧上掛著一個球，你用手去不停的撥弄這個球，假設你每次使用的力量都是一樣大的，那麼怎麼樣才能讓這個球的擺幅最大？

為了簡化問題，忽略阻尼。球在穩態下是做簡諧運動的，那我們來定義球的位移為： $x(t)=Asin(omega t),omega=sqrt{k/m}$
我們再來看在運動中的相位：

360度的時候很明顯就是又回到0度時候的初始狀態了。想把球打得震蕩幅值很高，該在什麼時候下手？大家可以試試，就是在180度的時候下手去打。這個就是所謂的固有頻率的180度的相位延遲了。這個時候振幅最大，也就是固有頻率的高增益了。二者可謂是相輔相成的。

那麼這個固有頻率有什麼用呢？我試著給大家盡量舉全：
(1)避免固有頻率的高振幅增益給機械結構帶來傷害。士兵齊步走把橋震斷了的故事大家都知道吧。
(2)利用固有頻率的高增益來放大微小信號。天線里的LC振蕩電路雖然是電子結構，其實震蕩的原理跟機械是一樣的。

題主問的關於在控制系統裡面的應用：
(3)做低通濾波器：一般來說系統在高於固有頻率的信號反應都很微弱，可以用來做低通濾波。
(4)利用固有頻率做系統辨識。固有頻率，或者帶阻尼的情況下叫諧振頻率，是反應了系統的彈簧係數，質量還有阻尼的情況的，或者在電路裡面等效的概念是電阻電容和電感。在你不方便直接測量以上係數的時候，可以通過固有頻率/諧振頻率來研究系統的特性。
(5)還有 @高斯白提到的，來決定數字控制器的採樣頻率。一般來說，數字控制器的採樣頻率以系統固有頻率的5到20被為宜。太低了的話，根據香農採樣定理，系統的信號會混雜；太高了的話會帶來數字計算精度的問題。

用處之一，決定採樣頻率～

假設如果你是做應用層的，我覺得基本沒什麼用，我所接觸的應用層的PID之類都是評經驗值，很少去搞什麼傳遞函數，如果是研發層，那家好好研究吧，肯定有用

機械系統的固有頻率又叫模態頻率（參考模態分析理論），對於運動控制系統而言，一階模態頻率往往決定了系統的控制帶寬，因此需要提高系統的控制帶寬就要提高結構的一階模態頻率，通常固有頻率會導致共振，可以用notch陷波的方式抑制共振。