怎麼形象清晰地解釋「周期3意味著混沌」?

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【關鍵詞】：非線性科學、混沌動力學、符號動力學

謝謝邀請。我盡量說的清晰；不過畢竟是複雜的數學系統，可能不夠形象，還望見諒。

我們首先要明白兩點：
1、這裡的周期指的是自映射的周期點的周期；
2、這裡的混沌系統是離散混沌系統，即每次的映射的結果是可以分開的，它不是連續混沌系統。

對於一個閉區間的自映射 $f:J ightarrow J$
如果 $exists xin J,$ 使得 $f^{n} (x)=x$
也就是說J上的某個數，每次都拿這個映射操作一次，映射了n次就映射回了自身，那麼x就是J上的一個周期點。如果小於M次的映射都不能使得它映射回自身，而M次則可以，那麼x就叫周期M的周期點。

比如給26個字母建立個自映射，每個字母對應字母表的下一個，Z對應A。那麼A就是周期為26的周期點。

接下來我們要提到一個定理以作為鋪墊，Sharkovskii定理：對於R上的區間J的連續自映射，如果存在周期為3的周期點，那麼J內也存在周期為1,2,...N（N任意取）的周期點。需要注意的是：這裡是連續自映射，而不僅僅是自映射而已，通俗點講就是：當兩個原本離得很近的點x和y經過f的映射後變成x"和y"，那麼x"和y"離得也很近。

那麼為何周期3可以意味著混沌呢？

這要提到Li-Yorke定理，它其實也給出了混沌的一種定義:
閉區間J和連續自映射f，如果具備以下條件則可以被判定為混沌：
1、f的周期點的周期無上界；
2、f的定義域存在不可數子集S,滿足：
1） $forall x,yin S$ ,當 $x e y$ 時，有：
$lim_{n ightarrow infty }sup{|f^{n}(x)- f^{n}(y)|} >0$
2) $forall x,yin S$ ,有：
$lim_{n ightarrow infty }inf{|f^{n}(x)- f^{n}(y)|} =0$
3) $forall xin S$ 和任意周期點 $y$ ,有：
$lim_{n ightarrow infty }sup{|f^{n}(x)- f^{n}(y)|} >0$

通俗的翻譯一下後三條：
1)存在可數無窮多個穩定的周期軌道（這個不等式表明在S內，起點不同的x和y經過了n次映射，它們差絕對值的上界的極限反映它們走向了不同的道路，如果它們不穩定，則會被吸引到周圍的穩定的軌道上去，存在走向同樣的道路的情況，會使得那個極限趨於0而非大於0，後面的幾條可類似的理解）；
2）存在不可數無窮多個穩定的非周期軌道；
3）存在不穩定的非周期軌道。

而這兩個人證明：若存在周期3的周期點，則以上的條件均可證明滿足。（其中第一條由Sharkovskii定理保證，這是最顯然的）

那麼在這種混沌的定義之下，周期3就意味著混沌的存在了。

P.S.:當然這是對於一維的離散系統而言。對於連續的系統，混沌則出現在三維或以上，二維或以下則不會出現。因為對於二維連續動力系統而言，有Poincare-Bendixson定理：若極限集非空、有界、不包含平衡點，則一定是一條閉軌線。也就是說二維的極限集要麼是不動點，要麼是無窮點，要麼是閉軌道（閉軌可以是孤立的，那就是極限環；也可以不是孤立的，那就是中心點附近的那些閉軌），而沒有更複雜的情況了。

陳關榮在《混沌的故事》中講過，一個緊緻系統若是非周期、非收斂和非發散的，那麼就是混沌的。
http://www.its.caltech.edu/~matilde/LiYorke.pdf ，周期三蘊含混沌。
建議題主先驗算下蟲口模型，對什麼是混沌會有一個直觀的認識。倍周期分岔 _百度百科。
推薦混沌的入門書籍《從拋物線談起——混沌動力學引論》。從拋物線談起。該書介紹清晰易懂，又不失準確性。