為什麼說行列式是每個單位正方形在線性變換之後的面積？

12-28

今天在看「矩陣的意義?」這個問題是看到了這篇文章：隨記：我們需要怎樣的數學教育？，裡面有句原話就是「行列式的真正定義就一句話：每個單位正方形在線性變換之後的面積。」本科時學的真是不好，從矩陣乘法和線性變換還有行列式的值的角度想了半天也沒有想通，希望得到大牛指點

我是來打原PO臉的。

行列式的真正定義就一句話：每個單位正方形在線性變換之後的面積。

這句話根本不能算作一個定義，最多只能算作「幾何意義」或者「直觀解釋」。
最開始第零個問題，沒人告訴我行列式是只能定義在實數域上的吧。但是貌似實數上面才有面積一說，F_p上面的面積是啥？或者退一步，複數域上的面積是啥？
首先第一個問題，行列式根本不是單位正方形在線性變換之後的面積，而是有向面積。一個很簡單的問題，面積只能非負，行列式有正有負，怎麼可能呢？
然後第二個問題，既然說好了是有向面積，那麼什麼是有向面積呢？這就是這個定義最大的問題。如果是幾何意義或者直觀解釋，那麼並不需要邏輯上的嚴格性，但是作為定義這個是必須的。怎麼定義面積？測度。我是不介意在學高等代數之前先學實分析和測度論，但是各位讀者真的願意嗎？那麼面積有了，還有方向呢對吧，好吧除了用行列式以外我真的不知道如何判斷某個線性變換對應的面積是正是負……總之一點，有向面積根本不能作為一個定義，而要做定義，不回到逆序數或者遞歸這種定義不行。
接下來第三個問題，正方形。這是一個二維的圖形，線性變換把它變成平行四邊形所以求面積，沒問題。三維呢？正立方體和平行六面體的體積，可以的。四維呢？誰能想像四維的體積？五維呢？更高維呢？我覺得高維空間裡面的「體積」並不比逆序數和遞歸定義更加具體吧。
沒完呢，還有第四個問題，假設只考慮二維，並且有向面積這個定義沒有問題，那怎麼算呢？給你一個矩陣算一下行列式好嗎？對於二階矩陣，行列式就是主對角線之積減副對角線之積相信大家都知道，但是算平行四邊形的面積就不這麼簡單了吧。底乘高？省省吧。

總之，如果一本高等代數書上看到了把有向面積作為幾何意義或者直觀解釋我確實會很開心，但是如果書上行列式的定義只有這麼一句話我是不介意不遠萬里把書甩到作者的臉上的。

那麼最後說一下如何理解這個問題吧。樓上的解釋問題在於，不是所有線性變換都可以相似於實對角陣的，當然作為直觀解釋的直觀解釋也沒什麼問題了啦……

給另一個理解的思路吧。我也不知道什麼叫做有向面積，但是能夠猜到有向面積應該滿足若干個基本的性質。考慮n*n矩陣A.
首先第一個：對每個分量的線性性。也就是，把A看成n個列向量的拼合，那麼對於每個列向量，A對應的「有向面積」應當是其線性函數。這一點來自於對平面內平行四邊形的觀察。
然後第二個：如果交換A的兩個列向量，那麼"有向面積"應當變成相反數。這個性質是來源於「有向」這個詞。
好了，如果滿足上面兩條，那麼可以證明，我們定義的有向面積和行列式只差一個常數。
用稍微現代一點的話來說，那就是，對於n維線性空間，對應的0-n型反稱張量的維數是1。
那麼，如果再加入一個歸一化條件，也就是單位矩陣的"有向面積"恰好是1，那麼這時有向面積不是別的，就是行列式了。

最後多說一句，這個解釋哪怕在高等代數的課程裡面不講，在多元微積分的變數代換裡面不可能不講到的。

行列式的值=矩陣特徵值的乘積
特徵值等於在某個特徵向量下的拉伸的倍數
由於特徵向量是正交的，所以行列式的值=矩陣特徵值的乘積=面積變化的倍數

的確，這個解釋對於不能對角化的矩陣不太適用，不過可以通過擾動法，對矩陣加一微小變數，使其對角化，使變數趨於0，則體積的變化也趨於0，可以解釋不能對角化的情況

已有的答案不知道題主看懂了沒有，這裡試著用向量代數做個解釋
先看三維的情況
設a,b,c是空間中三個向量
那麼他們的混合積（a,b,c)=(a $imes$ b) $cdot$ c的絕對值就是由這三個向量張成的平行六面體的體積
（混合積跟行列式的關係Triple product）
為了直接討論行列式的值，或者說，為了處理體積是負數的情況
引出一個叫有向體積的概念
這三個向量成右手系則有向體積為正，成左手系則有向體積為負
這樣以後我們就可以說三階行列式的值就是它的三個列向量張成的平行六面體的有向體積
下面摘抄高代教材

設想在n維空間里給出了n個向量後，它們也能張成一個n維的平行多面體.儘管我們看不見n維的立體，但是以3維空間做藍本，我們可以想像得出這個n維空間的平行多面體.這個平行多面體也應該有有向體積，這個值就是由這個n個向量的坐標列向量所構成的n階行列式的值

結合題主提到的

行列式的真正定義就一句話：每個單位正方形在線性變換之後的面積

下面要說明的就是這跟線性變換有啥關係
在三維的情況下我們討論的就是單位正方體
先建個直角坐標系，既然是單位的，那麼就有一組標架，(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
正方體上每一個點，看成從原點出發的向量，都可以由這組標架表示
同時這組標架張成了我們的單位正方體
（直觀上你可以用這組標架來計算單位正方體的體積）
對一個正方體做線性變換
簡單來說就是對這些標架做伸縮和選擇
得到一組新的標架
由於在標架的選取上我們有特別的選擇技巧
線性變換在自然基下的矩陣 $A$ 的列向量a,b,c就是我們新的標架
於是我們得到了一組新的標架a,b,c，張成了一個平行六面體
計算它的體積自然就是(a $imes$ b) $cdot$ c，也即 $left| A ight|$

所以這句話也可以這麼說
行列式是一個n維平行多面體線性變換後有向體積的擴張係數

那篇文章的原作大約是學懂了線性代數，可是表述起來嘛=_=略粗

（不會Tex打不出矩陣所以線性變換那塊就偷懶了）

如果將行列式的每一列視為一個列向量，那麼行列式可以定義為關於這些列向量的一個多線性（multilinear），alternating（對換任意兩列結果變正負號）的函數（functional） $D(v_1,...,v_n): R^n imes ... imes R^n ightarrow R$ 。

二階行列式的直觀幾何意義就是平面直角坐標系裡，出發點在原點的兩個向量 $alpha =(a,c)$ 所圍成的平行四邊形的有向面積。從上面的推導，我們可以感悟「線性」的威力（任何向量可以分解為基底的線性組合，而線性函數也可以分解為基底函數的線性組合）。另外，在這裡，「有向」二字很關鍵，也是全部的玄妙所在（玄妙在何處，可從上面這個簡單例子中一窺端倪，進一步的還可以參看這篇文章從醉月湖的面積談起）。其實說穿了這裡的玄妙也很樸素、基本，按我的理解，所謂「定向」就是小學就熟悉的用挖補法求面積（據說中國古算亦擅長此道）的一種抽象。既然挖的操作和補的操作是「反向」操作，面積有定向豈不是非常自然的事了嗎？

相應的推廣到三維，高維，就是立體的有向體積了。如果很自然的我們令 $left| e_1,...,e_n ight| =1$ （即單位正方形的面積為一），則行列式的定義就圓滿了。

行列式的理論是多線性代數的開端，但發端於對人類最早的幾何度量--面積定義的抽象與提煉。結合（流形上的）多元微積分里微分形式（diff forms）的理論，則可以把整套的多元微積分以20世紀初的形式重寫，（現代的）stokes公式實際就是微積分基本定理的一般形式，從1維到n維具有統一的形式。