矩陣的譜半徑怎麼求？

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怎麼求解矩陣的譜半徑？

矩陣的譜或叫矩陣的譜半徑，在特徵值估計、廣義逆矩陣、數值分析以及數值代數等理論的建樹中，都佔有極其重要的地位；矩陣的譜半徑為矩陣的特徵值的模的最大值；

關於矩陣的譜（半徑）的一個重要性質即是：任意複數域上的矩陣的譜半徑不大於其任意一種誘導範數（請問，該性質可以用來幹嘛，用來對譜半徑進行近似估計）。

譜半徑與範數的關係：

1.定義：A是n階方陣，λi是其特徵值，i=1,2,…,n。則稱特徵值的絕對值的最大值為A的譜半徑，記為 $ho (A) = max_{1leq i leq n} {|lambda_{i}|}$ 。 (注意要將譜半徑與譜範數(2-範數)區別開來，譜範數是指A的最大奇異值，即A*A最大特徵值的算術平方根。譜半徑是矩陣的函數，但不是矩陣範數。)

2、譜半徑和範數的關係是以下幾個結論：

定理1：譜半徑不大於矩陣範數，即ρ(A)≤║A║。(即 A 的譜半徑是 A 的任意一種範數的下界；)因為任一特徵對λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。兩邊取範數並利用相容性即得結果。
定理2：對於任何方陣A以及任意正數e，存在一種矩陣範數使得║A║&<ρ(A)+e。
定理3(Gelfand定理)：ρ(A)=lim_{k-&>∞} ║A^k║^{1/k}。

利用上述性質可以推出以下兩個常用的推論：

推論1：矩陣序列 I,A,A^2,…A^k,… 收斂於零的充要條件是ρ(A)&<1。
推論2：級數 I+A+A^2+... 收斂到(I-A)^{-1}的充要條件是ρ(A)&<1。

譜半徑是矩陣特徵值模的最大值，而非最大特徵值

譜半徑即矩陣最大特徵值，簡單的矩陣可以求出所有的特徵值然後比較出最大者即為譜半徑。維數較大矩陣需要嘗試迭代演算法求。