怎麼理解數學中的級數？

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非數學專業，學過工科微積分，一直以來感覺級數很難理解。請各位大神能不能簡單地介紹一下級數的由來、作用。

備註：最近時間段的更新放在文章後邊，方便按時間段來看。

我先寫個學習級數部分的引入內容，分為三大部分：

無窮級數到底在研究什麼？
正項級數及根據定義判別正項級數是否收斂？
正項級數的比較判別法

後續有時間再繼續更新此文~

（一）無窮級數到底在研究什麼？

辣么長一串串數字，加在一起到底是幹啥用呢？

所謂級數，就是說無窮多個數相加在一起，這時候就叫他無窮級數。

百度百科上給出的解釋是這樣的：

寶刀君這裡獻獻醜，也給出級數的相關概念，如下所示：

注意，發散的級數是沒有和的，比如說，讓你算這樣一道級數求和的題：

針對這一道題，歷史上給出了3種不同的答案，而且每一種似乎還都挺有道理，不信你看：

第一種答案我們都很容易能想到，一正一負，加起來為0。

第二種答案是保留第一項，我把你後面的那些項加到一起，後面的加在一起是0，這樣整體得結果就是1.

第三種答案是說提出來一個符號，這樣括弧裡邊的相當於就是題目待求值S，1-S=S，得出結果為1/2.

那麼，到底哪個是正確的呢？

其實都是錯的！

因為無論答案是0,1，還是1/2，它都有個前提：級數必須是收斂的。

而你所給的這個級數，他是發散的，發散的級數根本就沒有求和的概念，因為是發散的，因此也不會遵守加法的結合律。

那麼，級數要收斂，它必須滿足的必要條件是什麼呢？

對這個必要條件，我們可以從兩個角度來理解：

A定義上：因為你這個級數是一直在累加求和，那麼第n項肯定是無窮小量，不然越加越大成無窮了。

B使用上：當你拿到一個級數，發現它的通項的極限不等於0或者說不存在時，那麼這個級數肯定是發散的。但是，這個條件也僅僅是必要條件，不是充分條件。

比如說對於調和級數，它就是發散的，書上證明調和級數發散的方法有很多，寶刀君在這裡給大家附一個簡單的證明方法，如圖：

如上圖所示，調和級數對應的就是紅色矩形的面積，好傢夥，你比下面的曲邊梯形的面積都還要大，而曲邊梯形的面積算出來已經是無窮大了，你調和級數還不是發散的？

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綜上所述，對於級數，我們的研究思路是：

無窮多個一般項加在一起，我關心的是你的和到底存在不存在？如果你求和加在一起是無窮，那麼去研究你是沒有任何意義的。

那麼，怎麼樣來求你無窮多個項加在一起的和是否存在呢？

有人就這樣想啦，我把你的前n項和求出來，因為你是無窮多個，那麼我對n取極限，讓n趨於無窮，如果limSn的極限存在，那此時就說你這無窮多項加在一起求和是存在的。

如果這個和的極限存在，這就說明這個級數是收斂的。如果這個極限不存在，那麼就說明這個技術是發散的。

因此，無窮級數研究的是數列極限存在與否的問題。

（二）正項級數及根據定義判別是否收斂

級數那麼多，我先學習其中一個最典型的，就是你啦—正項級數！

理解了級數的概念後，我們學習的第一個級數是：正項級數，按照定義，正項級數的通項Un是大於等於0的，這也就意味著：正項級數不是說每一項都必須是正的，某幾項也可以等於0呀。

換句話說：一個正項級數可以缺項的。

一談到級數，我們關心的就是它的斂散性的問題，那麼對於一個正項級數來講，如何判斷正項級數是否收斂呢？

我們從基本定義出發：我看你這個級數是不是收斂的，我就看你的前n項和的極限是否存在，即研究當n取無窮時，LimSn這個極限是不是存在的？如果我們把Sn看成一個新的數列的話，這個數列的每一項是S1，S2，S3，….，Sn，因為你是各項為正，故單調遞增，這就是正項級數的特點！

再繼續展開想啊，我們在學習第一章極限與連續時，有關極限的存在準則有兩個：一是單調有界數列必收斂；二是夾逼定理。而正項級數已經保證了單調遞增，那麼如果它是有上界的，就可以判斷出這個正項級數是收斂的。

（三）正項級數的比較判別法

有同學會講，你說起來倒是簡單啊，操作起來好像並不容易哦。

你給我每一個級數都按照定義來做，不把我累死啊！有木有啥簡便的方法啊？

當然有啊，我之前求和取極限，都是從自身出發，把每一項都加起來看你總和存在不存在的，這樣做太累了，如果我換個角度，我不求和啦，我不看你總數啦，我只選出「人大代表」，也就是我只取每個級數的「通項」，我就拿你這個通項去跟別人PK!

基於這樣的思想，引出了著名的「比較判別法」!!!

需要注意的是：比較判別法只適用於正項級數！小心啦，這個知識點雖然小，但是陷阱夠深，如果在題目里，命題人直接對一個沒說是否為正項級數的級數使用比較判別法判斷斂散性，那你就要理直氣壯的對命題人說了：呦呦，小瞧我試不試，少爺我就是不掉進你挖的坑裡！

上面提過，一個級數是否收斂的必要條件是：你的通項的極限值為0，也就是個等價無窮小。現在用的是「比較判別法」，我要跟別人比較啊！一決高下時，難免會分出個你搶我弱，不過這裡比較的是：兩個級數的通項趨於0速度的快與慢！如果用極限形式表示，那麼這就是一個0比0型的求極限的問題：

寶刀君對上面這張圖做幾句解說：

A、當L為正數時，這兩級數是一路貨色，具有相同的斂散性！

B、當L為0時，你返回去看是誰比誰來著，是Un比Vn，那就說明此時的Un是Vn的高階無窮小，Un趨於0的速度更快，此時如果趨於0速度慢的級數Vn是收斂的，那麼快的級數Un肯定是收斂的！簡而言之：慢的都收斂了，我快的肯定收斂！

C、當L為正無窮時，這說明分母Vn此時是趨於0的速度比較快的啊！此時如果這個「快的」都發散了，那我Un這個「慢的」不用說，肯定就是發散的！

總結一下：通過上面的描述，我們可以看出：比較判別法及其極限形式的實質就是「跟別人（參照物）比！」，通過與其他人的比較，從而得出自己的斂散性。

那這個「參照物」選誰呢？

茫茫級數中，到底選哪幾個級數，才能讓我知道自己到底是不是收斂的呀？

別灰心，前輩們都幫你整理好了，我們這些後人只管拿來用就好了。實驗統計（歷年考試真題的統計），常用的比較級數有倆：分別是等比級數（也叫幾何級數）和P級數，也就是說一談到Vn，你就找他們兩就夠了！

市面上的參考書上還會給出其他廣義P級數來展示其完整性，在我看來這完全沒必要，只會給你增加記憶負擔，你就記住這兩個就行了，足以去打仗了（考試了）！

（四）總結

級數本來是研究無窮多項加在一起，看你的和的極限存在不存在的，現在只需要將每個級數的「代表」：通項Un或者Vn拿出來就可以了，而一個級數是否收斂的必要條件是它的通項要趨於0，也就是說它這個通項一定是無窮小，因為你一直在累加求和，那麼第n項肯定是無窮小量，不然越加越大成無窮了。

因此，級數收斂的問題就轉化為2個無窮小量的比較，就看你這兩個無窮小量趨於0速度的快與慢。通過比較判別法的極限形式，我們知道，如果慢的收斂了，那麼快的肯定是收斂的，如果快的都發散了，那麼慢的肯定是發散的。

比較判別法的特點就是，我現在判斷級數Un是否收斂，我需要找一個參照物（找別人），通過比較，得出自己是不是收斂的。那麼參照物如何找，你只需要記住兩個級數就可以了：等比級數和P級數！

2017年7月4日第二更（可以戳以下鏈接進行查看）

王者榮耀！級數、極限和泰勒公式三大王桃園三結義搞事情啊！！！ - 知乎專欄

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過去算東西，就是得一項項逼近的。先算出一個差不多的數，然後後面一項一項去修正。這就是級數。

數學史上，有一種很重要的思想，就是看到個函數不知道怎麼算，就想辦法把它表示成冪級數（加強版的多項式，畢竟數學家對多項式比較熟），然後對其中的每項進行各種各樣的操作，然後再拼起來。這就是牛頓那個年代數學家們說的analysis（分析，分析學）的本意——如果一個完整的東西不知道拿它怎麼辦，就把它拆成好處理的各項。現在微分方程教材里還會講這樣的方法。複變函數也很體現這個思想。

刷一遍數分就知道了，，，但我也是後來學了復變和傅立葉分析後才真正理解的

你小學時就學過冪級數了，無限循環小數就是等比級數求和。為什麼總把熟悉的事物當陌生。

-----naive 抖機靈

不清自來，最近剛好在看這一塊。
個人的理解是可數集上的無窮積分。
以p級數為例
我們都知道p大於1的時候級數絕對收斂
而x在0到1左開右閉區間上是發散的
為什麼偏偏是1作為分界點呢？
手機碼字太麻煩直接上圖吧

為什麼要大於一，因為不大於一的話，x就懟不到分母上去了，懟不到分母上就沒法在無窮區間上收斂了。至於你問為啥他倆有關？積分就是求和的過程，而級數則是離散點的求和過程，把積分設成一個新的函數，把級數的和設成一個Sn的數列它們的極限通過Heine定理就可以統一起來了。
當然這只是我的理解。有紕漏和錯誤的地方望各位大神指出。
其實還有挺多想說的，只是用手機碼字實在不便，以後有新的有意思的理解再繼續回答吧。補充一下，Heine定理在這裡只是理解性的把他們統一，並沒有說它們的極限就一定是一致，不用過分解讀這個。

如果學習過線性代數就知道，x的整數次冪可以理解為線性空間的一組線性無關的基，係數可以理解為相應的坐標。這樣每個多項式對應一個線性空間，可以定義加法以及標量乘法的運算。泰勒展開式和傅里葉展開式本質上是一樣的，對同一個空間選擇了不同的基而已，泰勒展開式的基是函數的1到n階導數，傅里葉級數的基是三角函數。

補充:因為存在各種非常複雜的函數，為了研究這些複雜的函數，需要一個簡單的工具去逼近複雜的函數，這個工具就是級數。例如計算sin(ln2)，手工根本沒法計算，如果展開為級數，就可以通過人工來計算了。

級數散斂定義

柯西審斂定理

舊稱哥西準則

比較審斂法

比較審斂法的極限形式

比值審斂法、達朗貝爾判別法

根值審斂法、柯西判別法

極限審斂法

萊布尼茨定理

高斯判別法

顧名思義，就是分級的數。有些人簡單的理解為無窮數列的和，是不準確的，忽略了最重要的東西。

我來說個簡單點的吧。如果學習到了級數，那麼肯定就學習過數列吧。那麼對數列的理解應該沒有疑問吧。說白了，數列就是一種簡單的級數。如果你願意，把級數就看成你之前學過的數列也行。而數列就是高中和大學知識的銜接點，但是我們學習數列的時候沒有到高等數學那種程度，所以級數的概念無法引出，那怎麼辦呢？不妨就把這個簡單的級數先取個名字稱之為「數列」吧。然後我們只學習比如等差數列或者等比數列的簡單性質（類似於通項或者前n項和），對於其前n項和是否收斂，因為我們高中也沒學極限，所以就不研究了。因此我說高中其實已經學習了級數，只不過是當做數列來學習的，而且學習的都是極其簡單的性質。

那麼從這個角度看，不應該覺得級數有多麼複雜難理解，其本質跟你高中學習過的數列並無二致。只不過到了大學了，你要從高等數學的角度，從極限的角度來研究他了，然後也不能再叫他數列了，要把他在數學體系中的正統的名字「級數」給取回來。僅此而已，然後相應的就要學習他的其他較為複雜的性質了。

部分和的極限