概率論和實變函數（測度論）有什麼聯繫？

12-28

上周院里要開研究題目的時候和小夥伴們去找了導師請求給點建議，然後其中三分之二的時間都被導師大師耳提面命了一番要「注重基礎概念」，and 告訴我們說數學之美在於很多東西研究到最後會發現說其實是同一樣的，比如說概率論里的隨機變數對應的其實就是測度論的可測函數（貌似是這麼說的？）云云。。。就是。。。類比了一大堆的東西讓我們從基礎定義上理解，「為什麼是這麼定義？數學的公理化體系。。。」 balabala。。。。。我很難形容但是聽到這個論調時那種醍醐灌頂的感受，但是由於學識淺薄實在是無法大深入地聯繫起我大數院現在所學的知識，什麼數學分析高等代數複變函數乃至現在的實變概率論等等。（院里基地班的老師聽說是拋開了課本用的實變來講概率論，好生羨慕啊。。。）

現如今也就知道概率論的公理化體系是基於測度論建立的，其他的。。。。請求大神指教&>_&<

沒有測度論和有測度論的概率論，大概可以類比微積分和（以定義了實數完備性為主要區別）的數學分析吧。測度論是現代概率論的地基，是嚴格定義很多事情的前提。地基深可以把房子蓋高，但建出多漂亮的房子是概率論自己的事情。
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好吧還是展開說一說。按照我本科和PhD所在學校的教學設置，在沒有測度論的前提下，一般可以開概率論和應用隨機過程。這些課會包含古典/幾何概型，常見分布，不證明的大數定律和中心極限定律，馬氏鏈，泊松過程，條件期望和鞅，甚至一點點布朗運動。對不以隨機分析和花式scaling limit為方向的人來說，這些已經足夠開始科研了。但其實這裡很多事情我們都說不清：比如連續變數的條件概率，比如馬氏過程常返性中涉及的無窮樣本軌道，比如強大數定律a.s.和i.o.……而測度論算是填上了這個背景里的坑。

但之所以我們還是興緻勃勃的研究概率論，是因為概率論除了Borel代數上的有限測度有很多概率直觀才有的概念，而這些概念往往不需要測度論就可以了解：
上應隨時的CDY老師曾經說過，做泛函分析的人們認為馬氏鏈不過是離散空間上的馬氏半群/轉移矩陣的冪，讓他們來研究一下停時看看……
再比如zero大大說的獨立性，延伸一下便是鞅和選樣定理這個每次用到都覺得神奇的構造。
又或者布朗運動是定義在全體連續函數上的Wiener測度，但幾乎處處考慮的都是處處不可微的連續函數，我不知道有多少分析的人，會對這樣性質不友好的函數感興趣。概率里會有不變原理，會有重對數律。

事實上，正如廣大非數學專業的人們不知道實數系完備定理還是可以使用微積分，學數學的人們也不知道還有多少會每天用到這些。測度論對於概率論也是這麼一回事，沒學到不用心急，一旦學過以後知道就好了。我老闆就曾經感慨過，他已經好幾年沒有用過測度論了。（不過看在他最近做了有關TASEP的東西，也許要收回這句話了吧）

個人觀點，其實題主沒有必要羨慕一上來就講實變概率論的班級。我很感謝本科教我概率論的ZFX老師，她一開始就把概率的獨有的概念告訴了我們。她在概率論期中出了一道來關於滲流模型需要單調耦合的思想才能解決的附加題。還講了用概率母函數的不動點解決分支過程的滅絕概率。這些技巧我現在還不時會用到。倒是兩年之後她講基於測度論的高等概率論時，那些fancy的大數定律證明，學過一遍之後基本都忘記了……

概率論和實變函數（測度論）有什麼聯繫？老實說，建立在測度論上的概率論，無非就是全空間是有限度量下的實分析，它們某種程度上來說就是一個東西

但是！概率論還是概率論而不是實分析，就因為一個很重要的原因：概率論有獨立性

以上對話來自於某調和分析老師和我一學概率論的同學，默默表示不明覺厲。

測度論忘得差不多了……就還記得測度空間的那三個元素……

舉幾個簡單的例子：

1.扔一個fair coin（公平的硬幣？），出現正面和出現反面的概率都是二分之一。基本的概率論就能解釋，很直觀的「概率論」。

2.我要是扔無窮次硬幣呢？在扔無窮次硬幣的情況下，實際上可能出現的情況也是無窮多種的，那麼特定的情況發生的概率（比如出現全是正面） $P=frac{1}{infty} =0$ .

3.還是扔無窮次硬幣的情況，我想要前三次都是正面的概率要怎麼算？因為每一個獨立的情況出現的概率都是0，是不是我就要把這些0加一起呢？結果還是0？很明顯不是。

在這種情況下，就需要用上測度論了。在我看來測度論就是你有一個樣本空間，裡面是所有可能發生的隨機事件，然後你有一個函數P（概率測度）將樣本空間里的某些子集映射到實軸上某條連續的線段上（準確的說應該叫borel set，博雷爾子集，一般是[0,1]內的某個點或者某條線段吧）。這樣做的最大好處是可以將離散的事件對應到「連續的」一個集合（線段）當中，有了連續性就可以隨便操作了，加減乘除隨意。而且每一個實軸上的線段（子集）都有與之對應的樣本空間的意義。

這麼個例子應該是一個比較直觀的解釋了？

一年多前學的了，解釋的不好勿噴……歡迎討論。

我覺著吧，如果我能看看數學史什麼的應該不至於說這些東東都得自己想。前人的智慧是無窮的，我相信某某數學家（甚至愛好者）早就把這些東東聯繫起來了，但素有木有人能給我一個鏈接或者書名神馬的讓我吸收一下前輩們的精神食糧那嚶嚶嚶。。。

利益相關：這個問題是我問的&>_&<。。。。。本人數學系在讀生一枚，成績學渣類，雖然喜好閱讀但是從來沒到喜歡看數學類課外書（and課本）的地步，專業相關的閱讀量實在是搓。。所以。。。如果有錯神馬的，請各位知友指正，謝謝大家~~

這個問題實在是折磨了我很久。。。數學這磨人的小妖精。。這幾天在複習的時候實在是坐不住了，來來回回地看定義 and 各種資料試圖建立起一些比較清晰的概念譜系。以下是找了一丟丟資料+思考後自己的一點點想法，若有誤盡請拍磚（喵~）

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說明：括在[ ]內的內容表示「和測度論聯繫的要點，但暫不解釋，請看下文」。下劃線意為測度論相關。

1. 首先，讓我們看看概率空間(Ω, F, P)。
課本君一筆帶過，「稱個三元總體(Ω, F, P)為概率空間，其中Ω是樣本空間，F是事件域，P是概率」。= = 好吧恕我愚鈍，我想不起來這幾個東東具體是怎麼「公理化」定義的了。嗯，各種翻書。

· Ω是樣本空間，為樣本點的全體。這就是說，Ω是一個非空集合，其中的元素即為樣本點君們ω∈Ω。 [Ω是一個測度為1的測度空間！]

· F是事件域，為事件的全體，是由Ω的一些子集構成的集類（即Ω的冪集）。同樣的，他也是非空子集。

聯繫一下Ω君和F君，(Ω, F)合起來稱為可測空間，在這個空間上我們來定義P. （My課本從F上來定義的P。）

· P是概率。實質上是定義在F上的一個函數。 [實質上，它的值為一個測度！！]

P需滿足以下三個條件: 非負性，規範性和可列可加性。
其中，規範性如此：
2) P(Ω) = 1 (結合上兩個[ ]的內容啊同志們~~)

也就是說，如果我們把這個P看成「計算測度」的函數的話，這個東東的意思就表示了樣本空間Ω的測度為1 !!

2. 然後，引入隨機變數(random variable), 簡寫r.v.

隨機變數X(ω)也是一個(單值)函數，定義於概率空間(Ω, F, P)上 ,滿足
{ω : X(ω) ∈ Ω} ∈ F

也就是說，X是一個從Ω到R的映射，X: Ω → R （ω →X(ω) ∈ B），其中B為R上任一Borel點集。

既然X(ω)是一個點集的子集，從測度論角度來說，它肯定有一個測度。

還記得上面說把P這個函數看成「算測度」的么？這個時候P就有用了。

3. 來看看」以P表示測度「是怎麼用的（從此開啟各種分布函數之旅）

舉個栗子：
對於事件A 「隨機變數 X 的值為正」，可以表示為這樣一個樣本點集合：
{ω ∈ Ω : X(ω) &> 0}
把它簡寫為 {X&>0}, 則這個事件對應的概率P(A) = P({X&>0}) 我們經常也會簡寫為 P(X&>0)
那麼 P(X&>0) 這個東東實質上就是集合 {ω ∈ Ω : X(ω) &> 0} 的測度。（或者說，它實質上是一個函數，這個函數的值為{ } 的測度。）

眼熟？眼熟就對了。分布函數就是這麼定義的。

看我大課本腫么說：

Def：
稱 F(x) = P{ X(ω) &< x} , -∞ &< x &< +∞
為隨機變數X(ω) 的分布函數

...........公理化結構搭建起來了之後就有無限的可能..........

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鑒於我只複習到分布函數的定義，我也就只能寫這麼多了。。。。抱頭溜走。。。

我回答另一個知乎問題【概率是什麼？Sigma algebra, Borel field 是什麼意思，意義何在？】剛好也適合這個問題，再補充一部分給你：

測度論是概率論的理論基礎，所以概率中的一些概念抽象化就是對應的測度論中的概念。

概率是要度量「事件發生的可能性」的大小，事件的抽象化描述就是集合，需要考察「事件的全體」，對應到測度論就是「集合系」。」事件發生的可能性「是對事件的一種度量，對應到測度論就是「集合的測度」。

不是每個事件都可以定義其概率（發生的可能性的大小）的，對應的就是不是每個集合都可以定義測度，可以定義測度集合就是可測集。同時，事件必然要涉及到事件的組合運算（複雜事件是可由基本事件表示出來），對應的就是集合的交、並、差、余、極限的運算到複雜集合，所以又需要保證做可列次這些運算不能超出全體範圍（即可測集的範圍要足夠大，以保證集合的可列次交、並、差、余、極限的運算，之後還在裡面）

那麼什麼樣的集合系，才能保證其中的集合是可測集（可以定義測度，又對那些運算封閉）呢？測度論中講了，只要集合系是σ-代數（也叫σ-域）就可以了。σ-代數的基本定義是：1. 全集在裡面；2. 裡面每個集合的余集在裡面；3. 裡面任意可列個集合的並集在裡面。有了這三條基本定義，就可以推出：空集、可列次交、並、差、上限集、下限集運算之後都能在裡面。就滿足需要了。

所以，集合X+該集合上的一個σ-代數F，（X，F）就是一個可測空間了，即可以定義測度的空間（F中任一集合都可以定義其測度（某種度量））。進一步再定義了測度μ，那麼（X, F, μ）就是測度空間。

對應到概率論中，樣本空間Ω，事件域F（是個σ-代數），概率測度P，放一起（Ω，F，P）就是概率測度空間。概率測度P是滿足特殊要求的一種測度：P(Ω)=1.

Borel Feild就是Borel σ-代數，表示實數軸上的σ-代數，可由實軸上的所有開集生成（的σ-代數），也可由實數軸上所有的(-∞,a]這樣的區間生成（σ-代數），是相等的。按σ-代數前面說的，實數軸上開集、閉集的至多可列次交、並、差(余)、上限集、下限集、極限集的運算，都超不出該Borel σ-代數的範圍。

Borel σ-代數（我用Br表示）有什麼用？其實概率論中的隨機變數，對應測度論中的可測函數，而可測函數就是從可測空間（X，F)到（R，Br）的可測映射。

再說說隨機變數，前面說了概率論中要用集合表示事件，但事件五花八門，怎麼統一用一種簡單的集合表示呢？這就用到映射的概念，建立一種從樣本空間（基本事件的全體）到實數軸的映射（一一對應）就可以了，這種映射就是隨機變數。有了它，基本事件映射到實數軸上就是的基本區間，基本事件經過運算生成的複雜事件，映射到實數軸上就是實數軸上Borel σ-代數中的集合。

因為有了這個對應關係，要度量「事件發生的可能性的大小」（即概率測度），只要度量「實數軸上Borel σ-代數中的集合」就可以了（前面說了Br因為是σ-代數是可以定義測度的，給Br中的集合定義概率測度就行了）。

所以，隨機變數的測度論語言定義是這樣的：設（Ω，F，P）為概率測度空間，若對實數軸上Borel σ-代數中的任一集合（稱為Borel集）B，都有 {w∈Ω: X(w) ∈B} ∈F，則稱X(w)為隨機變數。

總之，隨機變數就是建立了「隨機事件」到「實數軸上Borel σ-代數」的一種對應，並且保證了建立了這種對應的隨機事件都是可以定義概率測度的。

既然隨機事件{w∈Ω: x(w) ∈B}屬於F，那麼可以有概率，即P{w∈Ω: x(w) ∈B}是有意義的，為了簡單，概率中就記P{w∈Ω: X(w)∈B} = P{X ∈B} 了。

特別地，若取B=(-∞,x), 則事件{X∈B}的概率

P{X∈B} = P{X≤x} := F(x)

就定義成隨機變數X的分布函數。因為對任意的區間(a,b], 都可表示成

P{X ∈(a,b] } =
P{a&

進而，由這樣的區間經過至多可列次交、並、差運算的複雜的實數軸上的Borel集都可以用F(x)給出其概率。

當然，隨機變數也可以定義為從樣本空間到平面R2上的映射，就是二元隨機變數。

一句話，概率是一種特殊的測度。

概率論是測度論的特例，之所以引出概率論是為了研究隨機問題

想想概率能否作為事件域上的測度

度量空間為 object, 可測函數為 arrow, 構成一個範疇... (逃