ε-N語言中ε到底動不動，如何理解ε不是數而是趨於0的正量？

12-27

請你忘記「趨於0」這個想法。

$varepsilon$ 並不是「趨於0」，也不是「非常非常小」，而是「任意取」。

「任意取」 $varepsilon$ ，我都能找到滿足條件的 $N$ 。如果你開心，可以把 $varepsilon$ 取得很大，沒關係的，只要我能找到對應的 $N$ ，收斂性就沒有被證偽。

（當然，如果一個小的 $varepsilon$ 能找到對應的 $N$ ，那再大一點的 $varepsilon$ ，這個 $N$ 也夠用。所以我們在實踐上更需要討論很小的 $varepsilon$ 。）

題外話：我高中物理老師曾經引用過某人說的話「理解要執行，不理解也要執行，在執行中理解。」

意思是說，你在學習的時候可能會遇到不太好理解的東西。勤想勤問當然是好的，但有時也可以先把不理解的東西直接拿去用，用得多了很可能自然就理解了。

數學中哪有什麼自己會動的東西。

$forall epsilon . p(epsilon)$ 只是在說這麼一件確定的事：對任意的 $epsilon$ ，都有 $p(epsilon)$ 。

大概就是證明了「只要你告訴我你想多接近，我就給你個範圍，這裡面都有這麼接近」這麼一件事情，這件事情當然是靜態的。

當你給了不同的「想多接近」需求，他總能滿足需求。但這裡動的是你的需求，而不是這個命題本身。

你覺得函數 $f(x)$ 裡面的 $x$ 到底動不動呢？

不是epsilon在動，是你「抬杠」的心在動。請看。

如何表達我有無窮多的錢？請你隨便出個數，我的存款一定比這個數大。

如何表達X無限接近於Y？請你隨便出一個正數，X與Y的距離一定比這個正數小。

描述極限的語言基本就是如此。關鍵不是「動不動」的問題，而是「隨便出」的問題。你隨便出一個數我都能比你大，那麼我就是趨向無窮了，你隨便出一個正數這X與Y的距離都比這個數小，那麼X就是無限趨近於Y了。至於為什麼有「動」的說法？看下列對話。

「我有趨近無窮多的錢。」
「什麼是趨近無窮？」
「就是你隨便出一個數，我都有比這個數更多的錢。」
「額，比如，你有10000塊？」
「比這多。」
「你有1000000塊？」
「繼續，比這多。隨便出，you name it.」
「你能比36526875668.多嗎？」
「繼續。」
「你一定比這個小吧，946731887618768187649764887...」
「繼續，隨便，別停。」
「好了我懂了。」

同理，描述趨向一個定值的極限也可以這麼理解。這個epsilon就是一個讓你隨便出的量，它告訴你，我這個極限強就強在你怎麼隨便出，我都能滿足你。你心想，不會吧。於是趨向無窮的量，你會不斷拿更大的值考察它——反正我隨便出，它不是自稱無論怎麼都比我大嗎，那我隨便拿越來越大的值和它抬杠。於是看起來，這個量就像是向「大」的方向無限運動一樣。至於說X趨向Y，等價於X與Y的距離總比你隨便出的正數小。你想不會吧，這麼神奇，於是拿越來越小的數試探它。看起來它就像是向零的方向運動一樣。其實運不運動無所謂，關鍵是「隨便出」，你抬杠的意願會讓它看起來「運動了」一樣。

不用理解，因為這句話是錯的，而且錯得很低級。

如果有人告訴你「epsilon 不是正數而是趨於0的『正量』」，那這人多半是個民科，or worse

「epsilon是任意的正數」，學過小學語文的人分析一下主謂賓都知道，這句話可以縮減為「epsilon是數」。Case closed.

以及，沒有epsilon-N語言和epsilon-delta語言，哪兒來「趨向於」這三個字的定義呢。

語文、數學和體育，至少不能跟同一個老師學。

不謝邀。拒絕討論。

$epsilon$ 任給。

在陶哲軒的《Analysis》里提到過一種理解。（似乎是）
我以通項為x_[n]=1/n的序列舉例，它的極限是0。
用epsilon-N語言描述：
對於任意的正數epsilon，都能找到一個正整數N，當n&>N時，成立：
|x_[n]-0|&什麼意思呢？
我們先使用了epsilon來控制x_[n]和0之間的接近程度（距離），之後觀察x_[n]和0之間是不是真的能接近到這個程度。
這是什麼意思呢？
實際操作，我需要x_[n]和0之間的距離縮小到1/10（這意味著|x_[n]-0|&<1/10）。現在來驗證能不能滿足這個接近程度，發現可以找到N=10，當n&>N時，是滿足要求的。
我想要x_[n]和0之間的距離縮小到1/100（這意味著|x_[n]-0|&<1/100），也能找到N=100，當n&>N時，是滿足要求的。
可以採取和上面一樣的方法一次一次縮小它們之間的距離，不管它們的距離有多接近，我依然可以要求它們更接近，以至於我想讓它們有多接近就有多接近（任意接近），這時候如果還能找到N，能夠滿足要求，我們就承認x_[n]和0確實是任意接近的，就說0是x_[n]的極限。
這就是epsilon-N語言。
從這種理解來回答問題：
epsilon是不是「動」的？
要先知道epsilon是什麼。epsilon是用來衡量一個序列和一個數的接近程度的，當你想讓它們是1/10接近，那epsilon就固定是1/10。這時候它是不「動」的，當你不斷縮小接近程度的時候，epsilon在這個過程里不斷地縮小，它隨著你的要求而改變。但是一旦你確定你的要求，它又固定了。

如何理解epsilon不是一個數而是趨於0的正量？
你不斷地提出要求來縮小序列和一個數的距離，現實中無論你提多少次，這個過程是有限的，無法來描述無限，為此，epsilon肯定不是一個固定的數，因為這是無法描述任意接近的。

最後幾點：
1.我覺得數學定義是理解的，不同的理解產生不同的解釋方式，但最終是殊途同歸的。
2.有限和無限是兩個不一樣的世界，但是我們用有限去描述或者定義無限。
3.「無限」這種說法是不方便理解的，比如「無限接近」，我覺得改成「任意接近」更好。
4.epsilon-N語言每天有空的時候連讀二十遍也許某一天就突然理解了。
謝謝閱讀。

你可能選錯了教科書，當年我的書上也是胡扯什麼動不動的，誤人子弟。

可以依次取ε=1/k，其中k為自然數，一個一個增加就是了——這對於極限的定義並沒有改變。

這不就體現出「運動」了么…以「極限值A」的水平線為中央線，上下兩個水平線y=A±1/k對稱地越來越「窄」，同時相應確定的n=N豎直線也越來越往右跳

我一直想找個什麼軟體做個能實現交互的flash似的演示圖來著…一直沒抽出時間研究。

就是滑鼠拖動縱軸方向上的A+ε水平線縮小其與A水平線的距離，N豎直線自動跳到第一個使得n=N以後的an都在A±ε之間的n處

ε-N和ε-δ將語言描述數學符號化！

把原來說不清楚的任意逼近，無限接近，使用兩個簡單的不等式刻畫了。

$lim_{n ightarrow+infty}a_n=A(lim_{x ightarrow x_0}f(x)=A)$

不等式 $n>N(0<|x-x_0|<delta)$ 控制了輸入端（自變數），刻畫了自變數所滿足的範圍。

不等式 $|a_n-A|<varepsilon(|f(x)-A|<varepsilon)$ 控制了輸出端（因變數），由 $varepsilon$ 的任意性，就可以刻畫因變數離 $A$ 的接近程度（任意接近，要有多接近，就有多接近）。

拿最簡單的序列極限的定義來舉例，存在實數A，對任意的ε&>0，存在N∈自然數，當n&>N時，|an-A|&<ε。既然說一個序列收斂，那麼當n趨於∞時，序列也一定逼近某一個實數，這樣的話序列與這個實數的差任意小，小到你懷疑人生，這樣呢，我們事先給出一個任意小的ε，無論我們給出的ε有多小，只要它固定了，那麼一定會有非常大的n，使an和A的差比你事先給定的ε要小，畢竟n?∞時，an無限逼近A。

應該是可以「任意」取值，但是一旦「取定」，就無法再變化。

把N或者respectively， δ，想做是一個關於epsilon和x的二元函數

每一個epsilon對應一種情況，n個代表n種情況，連起來好像在動，但實際上你分析了n種情況，epsilon是沒有在動的。

對於任意一張難度的卷子，學霸都能考滿分。
決定因素是學霸的水平，卷子只是測試用的。
類似的，極限就是：我就是那麼近，你不管取多近我都能滿足的意思。

我的理解很膚淺，就是把它看成無窮小，如果小的都能成立，自然大也可以成立。

就像你戴著帽子順著一個很深井往下走，無論你多麼接近井底，你的帽子總比你高，你的鞋底總比你低。

伊普西龍是個過程，本來就不是個數。

這個東西讀作對任意……總存在………

哪有會動的東西？

不是很理解一群人為什麼糾結「任意」。
簡單地說，他們兩個是一對，之間的關係是函數本身。ε任意取，可以形象的理解為，在一個數軸上，ε可以不間斷的從∞到0一個一個往裡代，而不會影響結果。
但要注意，ε不需要是無窮小。
再簡單地說，ε是取值為非負的一個變數（雖然它表示的是個常數）

epsilon是任意取的值，不存在趨近與0的說法