是否存在一個級數的∑an使得任何其他級數,只要通項大於它的都發散,小於的都收斂?

12-27

bn/an=0 則bn收斂,
bn/an=無窮, 則bn發散?

不存在。這裡只討論正項級數，任意項級數不存在比較審斂法。

（du Bois Reymond定理）對於任意一個給定的收斂正項級數 $[sumlimits_{n = 1}^infty {{a_n}} ]$ ，一定存在一個收斂正項級數 $[sumlimits_{n = 1}^infty {{b_n}} ]$ ，使得 $[mathop {lim }limits_{n o infty } frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = 0]$ ，反之，（Abel定理）對於任意發散正項級數 $[sumlimits_{n = 1}^infty {{a_n}} ]$ ，一定存在發散正項級數 $[sumlimits_{n = 1}^infty {{b_n}} ]$ ，使得 $[mathop {lim }limits_{n o infty } frac{{{b_n}}}{{{a_n}}} = 0]$ 。

證明：

考慮收斂正項級數的余項 $[{R_n}]$ ，容易知道 $[{R_n}]$ 單調減趨於0，令 $[{b_n} = sqrt {{R_{n - 1}}} - sqrt {{R_n}} ]$ ，記 $[{R_0} = sumlimits_{n = 1}^infty {{a_n}} ]$ ，容易驗證它滿足 $mathop {lim }limits_{n o infty } frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = mathop {lim }limits_{n o infty } frac{{{R_{n - 1}} - {R_n}}}{{sqrt {{R_{n - 1}}} - sqrt {{R_n}} }} = mathop {lim }limits_{n o infty } sqrt {{R_{n - 1}}} + sqrt {{R_n}} = 0$ ，並且 $[sumlimits_{k = 1}^n {{b_k}} = sqrt {{R_0}} - sqrt {{R_n}} le sqrt {{R_0}} ]$ ，從而找到了需要的 $[{b_n}]$ 。

同時，對於發散級數 $[sumlimits_{n = 1}^infty {{a_n}} ]$ ，可以找 $[{b_n} = frac{{{a_n}}}{{{S_n}}}]$ 。此時 $[mathop {lim }limits_{n o infty } frac{{{b_n}}}{{{a_n}}} = 0]$ 不言自明。考慮柯西收斂準則證明 $[sumlimits_{n = 1}^infty {{b_n}} ]$ 發散：

由於 $[sumlimits_{n = 1}^infty {{a_n}} ]$ 發散，所以對任意n，容易找到一個p，使得 $[frac{{{S_n}}}{{{S_{n + p}}}} < 1/2]$ ， $[frac{{{a_{n + 1}}}}{{{S_{n + 1}}}} + ... + frac{{{a_{n + p}}}}{{{S_{n + p}}}} > frac{{{a_{n + 1}} + ... + {a_{n + p}}}}{{{S_{n + p}}}} = 1 - frac{{{S_n}}}{{{S_{n + p}}}} > frac{1}{2}]$ ，這樣就知道它是發散的了。

這說明無論是判斷收斂還是判斷發散，都不存在一個級數能作為「收斂最快/發散最慢」的標準。

PS，原題問的是數列，我想數列之間判別收斂根本都不需要比值判別法。所以我修改了題目。

如果題主希望問的是通過比值法，用一個數列來判斷另一個數列極限是否存在，那這樣的題目描述是不合適的。對於比值極限 $[{mathop {lim }limits_{n o infty } frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = l>0}]$ ，按定義展開即為 $[left| {frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} - l} ight| < varepsilon ]$ ，取合適的 $[varepsilon ]$ （如 $[varepsilon = frac{1}{2}l]$ ）展開這個式子，在保證 $[{{a_n}, {b_n} > 0}]$ 情況下，有 $[{a_n} < frac{3}{2}l{b_n}]$ ，這樣兩邊求和才能得到 $[sumlimits_{n = 1}^infty {{a_n}} ]$ 收斂性與 $[sumlimits_{n = 1}^infty {{b_n}} ]$ 之間收斂性的關係。至於用它來判別數列的極限是否存在？那顯然是沒有道理的。