標記 n 維空間中任意一個點/向量一定要用 n 個坐標嗎？

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首先數軸上任意一個點最常用的就是用他對應的的那個實數來「標記」。二維平面上的點可以用直角坐標系，極坐標系；三維的的有空間直角坐標系，球，圓柱，還可以變換到其他空間去。但是多重積分中的雅可比行列式貌似總是 n→n 這樣換元。
是否標記 n 維空間中任意一個點總需要 n 個參數？
是否可以用少於 n 個參數標記 n 維空間中的某一個點？
或者用多於 n 個參數標記 n 維空間中的點但不重複？
再問一個: n 維空間的所有的點是否能完美地，不重複地變換到 n-1 維去？
上述所有「點」均可以換位「向量」

請幫我解決下疑惑......還請照顧一下我才高三

「是否可以用少於n個參數標記n維空間中的某一個點？
或者用多於n個參數標記n維空間中的點但不重複？」

——還真的是可以的。然而，這樣的記法會顯得很不「完美」。

從哪個角度來講，這都是特別好的問題，越是看似顯然，卻能夠深入到不同領域的基礎。以下放寬語言嚴謹性，但會盡量保證內容嚴謹。讀者僅需知道一下連續映射、單射、滿射、一一映射的概念。

(「一一」二字看起來永遠都像破折號啊～心塞。)

我們記n維歐幾里德空間為R^n，是由一組n個可以獨立取值的實數坐標一一對應描述的空間。任意給定一組n個實數(x1,…,xn)，則唯一對應這個空間里的一個點。

事實上，對於不同的m和n，R^n和R^m之間存在一一映射。數學上講，叫做它們具有相同的cardinality.

證明方法是很有趣的，其實若能證明R和R^2存在一一映射，便可歸納至高維。尤其是，它不涉及高深的數學(只要你會把實數寫成小數形式就行了～微笑～)，題主完全可以理解。請見鏈接中第一個回答。

Examples of bijective map from $mathbb{R}^3
ightarrow mathbb{R}$

那麼我們move on，「n維空間的所有的點是否能完美地，不重複地變換到n-1維去？」

這就神秘了。什麼叫做「完美」呢？

為什麼說像上面這樣的映射不完美呢？其實題主提到了積分中的坐標變換(通過雅可比行列式)，那麼答案是明顯的。它們之間的變換，應當連續，甚至光滑。而之前那個映射，不連續。

從數學上來講，我們的問題變成了：對於不同的m和n，是否存在R^m與R^n之間的一一映射，它是連續的，並且逆映射也連續？(同胚映射)
(註：由於我們對於該映射及其逆映射提出了相同的連續性要求，因此僅需要對n&>m或者n&

它不存在。

拓撲學中有一個定理，叫做Invariance of Domain。

Brouwer』s fixed point and invariance of domain theorems, and Hilbert』s fifth problem

將截圖中的推論(corollary)翻譯過來，說的是對於n&>m，R^n中的任意開集都沒有到R^m中的連續單射，因此R^n與R^m就更不要提連續的一一映射了。

值得注意的是，常見的拓撲學教材(包括截圖中的陶哲軒博客)都把該結論(R^n與R^m不存在同胚映射)稱作是「intuitively obvious」，即直觀上顯然，從而襯托出「數學不能相信直觀」，「直觀上顯然不代表數學上顯然」的重點。而題主作為高三學生能自動把這件事當作一個不平凡的問題看待，實在不一般！

上面答案都沒提到一點……
題主想保持哪些性質
如果就一般雙射，只要集合元素個數不一樣
連續映射的m維和n維不一樣有同調的證明
題主自己也說了微分同胚做不到
所有問題第一步是先怎麼刻畫成為一個數學問題

還是有方法的，只需要一個實數即可,只要把構造映射把R^n與R一一映射就可以了，而你需要的只是把R^2與R一一映射的黑科技即把(x,y),與c進行一一映射即可

f(x,y)=c=...(y的十位)(x的十位)(y的個位)(x的個位).(y的十分位)(x的十分位)(y的百分位)(x的百分位).....

可以理解為把x和y的每一位穿插起來合成的數,而且顯然這是能做到一一映射的...很作弊的構造方法

例如f(√2,pi)=31.1441145291236556325......

3 .1 4 1 5 9 2 6 5 3 5....

1. 4 1 4 2 1 3 5 6 2....

興許這個數字不能用常規的表示方法來表示,但是這個數字確實是存在的,而且逆向也只能得到√2和pi這兩個數字

用這個向量作基就行了

n維可以完美映射到n-1維，但是這種變化是不可逆的。比如最小完美哈希。