關於高數題目的假設問題？

12-27

如圖，第七題，一開始限定|x-2|&<1,得出了如圖答案，如果我限定|x-2|&<0.5,就會得出另外一種答案，那答案是不是就會有無數種呢~這樣的解題方法真的嚴謹嗎

謝邀。
題目本身很簡單，但我想「借題發揮」一下。這種題目實際上說明了本科以上數學和高中階段數學的很大一個不同。高中階段的數學，很多情況都是求解出一個確切的答案——比如說某個數，某條直線的方程，等等。很多人對高中數學題答案的時候，直接看自己的答案和標準答案是否一致就作罷了，也不去細究中間過程是否正確，邏輯鏈條是否合理——很多時候還會出現「錯誤的過程算出正確的答案」的情況。但是本科數學呢，強調的是邏輯，強調的是論證。比如這個題目，他要考察的並不是「你能不能算出一個固定的delta的值」，而是「你能不能論證你得到的delta值確實滿足題目要求」。這個題目，你隨便說一個很小的數字，比如說delta=1/100000，顯然是符合題目要求的。但是你要說清楚為什麼delta=1/100000滿足題目要求，要把這個論證過程寫下來，這才是出題者想要看到的答案。說白了，這是一個「主觀題」，你要給出的答案，不是一個單純的數字，而是一段論證。

這個題目當然也可以加強，比如問使得|y-4|&<0.001成立的最大的delta是多少。加上「最大」這個條件以後，delta的取值才唯一，否則如原題delta有無數多種允許取值。這個最大的delta也不難算，直接解不等式-0.001&好了，有人可能會問，那這個題目直接問最大的delta是多少不就結了，那我就可以直接寫個數字上去就完事了，幹嘛要拐彎抹角地要我先去論證delta的存在性。因為這個題目的函數非常簡單，如果函數比較複雜，你根本求不出最優的delta的解析表達式；但這不要緊，我們知道delta存在就行了，他具體等於幾，不重要。在真正的數學研究裡面這種情況很常見。比如分析、 PDE裡面，我們經常會看到"存在一個常數使得下列不等式成立"這樣的句子，對我們關心的問題而言，這個常數的具體表達式往往不重要，重要的是我們知道存在這樣一個常數滿足我們期望的性質就行了。從一個個具體的數字過渡到一段段抽象的論證，這也是數學的抽象性的一種體現。

ε-δ描述里，只需要證明有這樣的δ就行，一般不用去找到「最好」的那個。
當然這個題這個問法其實有點不恰當，我覺得這個題的問法應該要求找到所有符合條件的δ。

當然可以不限定啊
|x^2-4|=|x+2||x-2|=|x-2+4||x-2|&<=|x-2|^2+4|x-2|&<0.001
然後就是解二元一次方程嘛，這樣取出來就是上確界了

關於本題，其他答主已經解釋得很好了。關於大學數學的教材，不得不說槽點太多，行文基本是按照作者的視角，而不是讀者的視角來寫的。非常難自學。就像高贊答案所說，大學數學主要考察邏輯論證，但教材本身卻寫著「不妨假設|x-2|&<1 」，又不給任何說明，為什麼要這樣假設。

等到答主學習到後面的部分還會碰到類似的問題。比如積分的dx，dx是啥玩意？d又是什麼？dx怎麼就能轉化成dt的？題主多保重。

這道題非常有意思，如果當初我學函數極限的時候看到這道題，可能就不會花很長時間去理解了。

如果限定|x-2|&<0.5，可求出δ≈0.00022&>0.0002（題目中的δ），這個時候你體會一下，哪一個δ更嚴格，或者說是更好？

我們再回到函數極限的定義：如果存在A，使對任意給定的ε&>0，可以找到δ&>0，當0&<|x-x0|&<δ時成立|f(x)-A|&<ε——δ刻畫的是x離x0充分小。因此，當然是δ=0.0002更好，甚至，我們還能找到比0.0002更好的數字。但是，對於我們而言，δ不一定要取到最好。

對於函數極限的證明而言，最重要的問題就是：找δ。隨著題目的難度增加，δ很難找到最好的那一個，因此我們會放棄尋找最好的那一個（因為有可能找不到，或者計算量非常大），因為在這個定義來說，只要找到就可以了。

不妨看一下這道證明題：證明lim(x趨向於2)x^2=4

對於任意的ε&>0，要找δ&>0，使當0&<|x-2|&<δ，有|x^2-4|&<ε，且|x^2-4|=|x+2||x-2|

加上條件：|x-2|&<1，所以1&

所以|x^2-4|&<5|x-2|&<ε，所以|x-2|&<ε/5

（如果條件改為|x-2|&<0.5，那麼|x-2|&<ε/4.5，但是對於任意給定的ε來說，除以多少都沒有關係，就算是|x-2|&<2ε也是一樣的，因為對於任意的ε&>0而言，我總是能取更更更更小的數）

取δ=min{ε/5, 1}，當0&<|x-2|&<δ時，有|x^2-4|&<ε，即證極限。

正如大神所說，本科以上的數學與高中數學大為不同了。如果我們對這個定義有任何不理解的地方，都會造成對解答過程的不理解之處。我個人認為對定義與定理的充分理解是很有必要的，不像高中以計算為主，能得出正確答案即可，有的方法可能都不是很了解（我記得在高中求數列通項的時候，有一個特徵根法，但是當時完全只知如何用，卻不知為何可以這樣用）。

有的時候，用嚴謹的語言去證明一個看上去很必然的命題也是一件挺好玩的事。

實際上題目的意思是要你找出一個滿足題目條件的δ，而這樣的δ有無數個。實際上，取任意δ&<(4.001^0.5-2)均滿足題目條件，所以限定不同的|x-2|可以得出不一樣的答案。

另一個角度來說一下，這個題無非是便於初學者理解概念時的基礎題目，極限相關，當δ無限趨近於零時，但凡的δ值都滿足條件，無數個值，真正考試不會這樣出的。

不知道有沒有像我這種對極限的假設一點不懂卻很精通求極限的題目的人。畢竟考研數學也是很高的分數