柯西中值定理的幾何意義是什麼？請賜教！！！？

大神這兩個字放在這裡讓人不敢回答

先給出定義是一種禮貌：

如果函數 及 滿足在閉區 上連續；在開區間 內可導，對任意 ，那麼在 內至少有一點 使等式 成立

維基百科

1 幾何模型

這種幾何模型並不難建立，和之前我回答過的 如何解釋洛必達法則 ，裡面用的技巧一樣，就是通過參數方程進行構造（畢竟洛必達法則就是柯西中值定理證明的，兩者怎麼會不像啊），即變成 ：

圖畫出來之後問題就變得簡單了，柯西中值定理就退化為了拉格朗日中值定理，即：

在這裡，我犯了愚蠢的錯誤，謝謝 @tornado2333和 @nullun的指出和賜教。

2 需要單獨講的一點

柯西中值定理中有一個條件，就是 為什麼要存在？

因為我們剛才通過拉格朗日中值定理推出來了柯西中值定理，如果 ，比如 (其中 在x=0處存在0點）， 圖像中會出現導數不存在的點：

而拉格朗日中值定理要求整個開區間可導，所以必須有這個條件。

還有一個原因，就是：

感謝 @何苦的糾正。

3 還有一個困惑

為什麼條件是 連續， 可導？這個也值得寫篇文章來說說，挖個坑，請聽下回分解。

不知道我的回答大家滿意不滿意。我希望某些同學，不要為了賣弄而賣弄，而且起到誤導作用。

有一個力學小實驗，平伸兩根食指，把一根筷子平放其上，兩手向中間緩慢移動，最後兩根手指接觸的地方就是筷子的重心

柯西中值定理與此類似，一段連續且沒有溝坎的曲線的變化率，一定是這段曲線上某個點的變化率。