數學為什麼能由那幾條公理推導出這麼多的公式？

12-27

個人感覺高中數學中的「技巧」本質就是數學變換，數學變換就是用一些公式去替換其他的公式。但這些公式追根溯源還是由那幾條公理推導出來的。

1:為什麼區區幾條公理可以演變出這麼多的公式？
2:從資訊理論的角度，可以計算出由公理推導出的公式的數量和信息量（就是比特）嗎？
3:如何透徹數學變換的思想，數學變換本質是什麼？
4:本人即將進入數學系，但對數學演繹的本質一直搞不懂，可以推薦一些相關的書籍嗎？

現在做數學題感覺都是靠直覺和記題型

本人數學博士，研究方向為分析和偏微分方程。
下面我回答以下你給出的問題。

1. 其實數學裡面真正的「公理」很少，絕大部分結果都是可以被證明出來的，我沒研究過數理邏輯就不不亂說了。數學最重要的東西是研究概念，和「發現」這些概念之間的「關係」。 關係可以是公式，論斷，不等式估計。舉例，我定義了「連續」，「黎曼可積」，「可導」之後，就自然會有問題，一個函數的這三個性質會有什麼關係？這些關係不是我們創造的，是我們發現的，因為只要概念被定義出來了，聯繫就在那裡，靜靜等待我們的發現。 為什麼可以推出那麼多「公式」，因為我們創造了很多很多的「定義」。只要我們給一個新的定義以生命，它就不可避免的要和其他定義產生羈絆，這是命運啊！

2. 我不懂什麼叫資訊理論，但是直覺告訴我，你也不懂，不要亂用你不懂的定義。

3. 掌握數學變換不是高等數學本質的問題，數學變換隻是一個思維方法，並不本質。不要覺得掌握這個就能大殺四方了。如果你看清楚我以上論述，本質是去定義一個新的概念，並且研究這些概念之間的本質聯繫。作為數學的初學者，你要經常思考這樣這樣一個問題：
「為什麼要引入這個定義？它有什麼優點和缺點，這個定義是「最好的」嗎？這個定義和其他概念之間有什麼關係」
一個「連續」就可以玩出下面幾個變化：
弱連續，弱*連續，強連續，運算元拓撲連續，一致連續，在範數下的連續，
積分：
黎曼積分，勒貝格積分，伊藤積分，Bocher積分
導數：
古典微分，廣義函數意義上的微分，測度的微分

4. 要掌握數學演繹，我覺得不需要去讀什麼專門的書（羅素之類的），只要你好好的學習高等代數和抽象代數，基本就能理解號數學演繹了，你之所以沒有掌握好數學演繹是因為高中數學沒什麼很多的定義。側重點也是在應用數學工具去解決一些特意的題目。其實沒什麼價值。

5. 給入門者的幾個建議：
a.重視概念，重視概念，重視概念！
b.要養成嚴謹的邏輯思維。
c 構建自己的思維宮殿：把掌握的知識和概念在腦海內串聯在一起，把它們變成自己血肉的一部分，人類在掌握新技能後，大腦在「物理結構」上是會改變的。

謝邀。
我個人的理解：數學的邏輯根基雖然會回溯到公理，但是數學裡面真正精彩的地方，還是在於中間的推導過程、計算過程。公理和定理不過是一個個點，真正重要的是把他們連接起來的橋樑。數學裡面一個定理之所以重要，往往不是因為他本身的陳述多麼重要，而是因為由他出發的橋樑比較多。而怎麼去搭橋，這就需要各種天才的數學idea，也包括題主提到的直覺——直覺在數學裡面是個很寶貴很重要的東西，優秀的數學家往往不僅有強大的數學推理能力，也有敏銳的數學直覺，碰到一個還沒解決的問題，他們大概能感覺到解決問題的方向在哪裡，哪些方向成功的可能性大，哪些方向的可能性小。

其實對前沿的數學分支，往往是在發展完善以後才會被公理化的。因為你一開始提出的定義，公理，可能並不完整，並不能包含很多有意思的情形。往往是數學家發現了很多有意思的結論——在此過程中他們可能不斷修改某個數學概念的定義，使這個概念越來越準確、或者越來越廣義——然後發現這些結論之間構成一個系統性的知識網路，然後他們開始簡化整個邏輯體系，抽象出幾條基本的公理來描述整個體系，也就是所謂的「公理化」。比如拓撲學，拓撲學絕對不是一開始就有拓撲空間的三條公理的，連續函數也不是定義成「開集的逆是開集」這種比較廣義的形式的。一開始人們並沒有拓撲空間的定義，後來人們發現了越來越多的拓撲空間和連續函數的例子，比如區間、曲線、曲面、流形等等，才覺得這些東西都有共同的特點，於是就總結出拓撲空間的三條公理來描述這些共同的特點（也要得益於20世紀初出現的集合論的語言使得數學家有條件寫出這三條公理），總結出一般的連續函數的定義。然後拓撲學裡面同調論的公理體系也是個例子。一開始人們只是研究各種具體的同調，後來才總結出同調就是滿足某幾條性質的拓撲空間範疇上的一族函子，也就是同調的公理化定義。

因為除了公理和定理還有定義，定理和公式"更多地"是包含在定義裡面的。

各式各樣的定義用相同的公理可以推導出千變萬化的定理和公式; 但如果脫離了各種定義，那幾條公理幾乎推不出任何東西。

這就跟從0，1，還有加法推導出全體自然數一樣啊

由於是學物理的所以專業的書就沒有得推薦了，不過看過的一本不錯的數學類讀物就是Carl.B.Boyer寫的數學史(A History of Mathematics)，裡面系統地講了從數進位到近世數學的發展歷史，內容雖然廣泛但是也非常專業呢
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回答不小心寫太長了。。。結論放在前面好了: 每一個由基向量張成的空間下的坐標，都指向一個確定的點，這就是公理，命題和定理的關係。

正文:
為什麼幾條公式能夠推出那麼多定理，因為這是數學本身是建立在邏輯上的結果。數學追求的是邏輯過程，無論給出的公理集合是怎麼樣奇怪的，只要它們互相之間沒有矛盾，那麼都可以去討論，同時正確的過程給出的結論都是正確的。

用物理來類比的話，想像這個世界就是公理的集合，我們構建的實驗儀器就是命題，對儀器的操作及結果就是我們證明命題的過程。比如一個鐵球，我在這裡扔，它落地了。那裡扔，落地了。。。經過很多次實驗後，我可以 *總結* 出一個定律:鐵球鬆手必落地。

這個類比到這裡就不是非常準確了，因為我們的過程是基於有限次實驗的經驗的話，那我們永遠不知道無數次扔鐵球後是不是一定不會有鐵球不落地的情況發生，我們只能說我們扔過的鐵球都落地了，並且扔的過程的很多變數比如落地時經不經過桌子，鐵球是不是被鏈子栓起來之類的我們都沒辦法討論。

而數學的*實驗過程及結果*是用邏輯嚴格推理出來的，也就沒有控制變數這一說，這保證了無數次的證明過程，命題都能給出一樣的結果，這就是定理。另外用線性代數比喻，公理就是空間的基，也就是一組不共線的非零向量(想了一下似乎共線或為零也沒問題，體系不完備而已);而定理就是空間內的任意一個位置。只要是空間內的點，都可以用一組該基下的坐標表示，這組坐標這就是命題。每一個該空間下的坐標，都指定一個確定的點，這就是公理，命題和定理的關係。

形式上看，是因為給一般的集合定義了新的結構。也就是說，最初的ZF或者ZFC等研究的是一般集合的性質，但是如果在此基礎上定義了新的結構（也就是圈定了相對特殊的一類集合）之後，它們就有了更多的性質（更多的定理、公式……）就不奇怪了。比如，定義了啥叫開集，就有了拓撲；把開集映射到歐式空間中，就有了流形；然後就有了幾何。定義了啥叫「矢量」及其運算就有了矢量空間；進一步增加了「距離」概念就成了內積空間；然後就有了泛函，等等。

當然，這是邏輯上的順序，而人類認識的順序卻是另一回事：在很多意義上，現有數學體系的大部分其實是在研究實數集R的性質。所以上面那話就應該是我們觀察到實數集有啥性質，就得到靈感給最初的那些一般集合上賦予什麼結構。「幾何」其實是在研究R^n上一些「連續」的性質。矢量空間實際上是推廣R上一些「線性」性質和「加法」運算而得到的。而群論則是「乘法」的推廣。。。

有興趣的話，請學習近世代數(群論)，數理邏輯課程。

這個問題很有意思卻很難有人能夠講清楚，我當然也不能。

僅僅說一下我自己的感覺吧，我從前一直相信數學純潔的美，就是所說的僅憑几條公理能推出好多美妙的結論乃至構建一個王國。這時候的數學對我來說像一個迷宮遊戲，從入口找到出口就可以了。再後來慢慢發現不是這樣，很多美妙的結論根本找不到根源的假設，隨著對各個分支的涉獵就覺得數學不再那麼優雅那麼純潔，倒更像是一個拼圖遊戲。

謝謝邀請。
很多數學概念和理論內容是來自對物理的研究。
為了這些研究而進行各種的公式推演。可以說，這是一種自上而下的研究方式——應用上需要那些公式而進行的推導。而不是推導了花樣繁多的公式再從裡面找需要的。

很多的數學概念是來自實際需求，比如說虛數、複數等等。
就是說，這些東西並不是客觀存在的，也不是永恆的需求。

http://wiki.mbalib.com/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E9%80%BB%E8%BE%91
形式邏輯

謝邀
真理是一不是多，哪怕是整個哲學體系，也是從存在開始的。

看看元素周期表裡的那幾個元素，看看這個世界，再看看你自己就明白了。

這個問題以前看到過，覺得是很有意思，一直放在腦子裡盤。沒有令我滿意的回答。

我從物理的角度說一點自己的觀點。

數學最初脫胎於物理。舉一個事實：直到牛頓時代的數學家，仍普遍拒絕複數和負數的存在。可見，早期的數學思維，完全是為物理而服務。至於抽象化和嚴謹化，是19世紀後的事。

所以，數學的出身註定決定了數學的一些殘餘的特質：普遍而言的數學，總是指向「問題」的。

對數學發展的動機，來源於對現實的探索而產生的疑問。數學的發展不是像公理化體系那樣由原理開始完成，而是發現有趣的結論後，探索這些結論背後的數學本質，這就是把數學歸納為邏輯系統的開始。

至此，原先發現的結論就成為定理，最後總結出的數學本質就成為公理。公理的意義在於讓人能更清楚地看清體系的數學結構。

是的，如果從公理體系的角度來講，所有定理的信息均蘊含在簡單的公理之內。但簡單「公理」的表述，並不是指向問題——它離問題太遠了。定理並不比公理多更多信息；但從解決問題的角度，定理離解決問題更近，在這一方面，它有其獨特作用。

關於題主提出的公理推導中信息量的概念，真的是很有意思的思索（比如理論力學中從哈密頓方程導出哈密頓-雅可比方程，信息在一個方程丟失後，會在另一個方程復活，很有意思），我也好奇，不知道具體前人是否有著述。

瀉藥
本人數學系本科在讀，題主的疑問我曾經也思考過，所以：
那麼先說說我關於技巧的觀點吧，變換不僅僅是【數學變換就是用一些公式去替換其他的公式。但這些公式追根溯源還是由那幾條公理推導出來的。】，在一個命題中，更是將條件與條件相融合來推得結論的方法，可以說是一種數學思想，其次，這種代換中也不只是一個邏輯推理的過程，例如高中的一些變換矩陣，在坐標變換中，只是式子方程的代換和改變，但卻有些實際的幾何意義，旋轉翻折之類。
而更深的問題，比如數學的本質是什麼，以及數學是什麼，或是數學變換的本質？這個真的不好說，這是一個數學家，哲學家，數學哲學家一直討論至今的問題，所以你也可以看到，數學史上的三大學派之爭，結構主義，形式主義，直覺主義，題主有興趣可以看些數理邏輯方面的書，其實，這些問題都是屬於數理邏輯。
至於用量來衡量，題主是想說用幾個公里來推得全部命題嗎？這個事情上世紀希爾伯特做過，不過後來被哥德爾的不完備定理擊碎了，我建議題主可以多讀讀數學史，不然，太專業了也看不懂。
之後說說，我自己的觀點吧，我覺得數學也只是我們人類藉以來認識這個世界的一門學科，和物理一樣，一個數學工作者，也不是為了研究數學而研究數學，數學是為了推動科學發展而產生的學科。就像M.克萊因於《數學：確定性的喪失》一書中這下的，（此為大意，原話忘了）如今的數學家應該像物理學家，從不在意數學推理的嚴密性一樣，不應過於關注數學的本質，只要是合理的就應該使用，而事實上也是如此。ps：此書寫的很好，可以看看。
關於解題的話，可以看看波吉亞的《怎樣解題》，至於直覺和記題型，我想說很不幸基本就是這樣。
最後，不過不得不說，天分或是直覺還是影響挺多的，具體可見拉馬努金，格羅滕迪克。
以上，望採納。

感謝樓主邀請。
由於我是IT出身，目前從事金融行業，雖然會和數學公式偶爾打打交道，但畢竟沒有很深厚的數學功底，我就從其他方面來和樓主聊聊天吧。
可以看出，樓主問的這些問題很具體，其實都映射出樓主焦慮的內心，和對將要進入專業的迷惑。
這應該是一個很正常的狀態，我想從事各行各業並有所建樹的人，都會有這麼一個過程。從最開始的興奮，到初步接觸以後的迷茫，到中期對行業本質的探究，最後成為這個行業大拿。
我想，之所以每個行業的牛人屈指可數，更多的是「死」在了中期探究的路上。因為這個路，真的太難走了，就像很多人會激勵自己的一樣，必須要耐得住寂寞。
可以感受到，樓主問的這些問題，都是在嘗試理解數學的本質。這樣的求知慾真的很讓人羨慕，也特別催人奮進。
而樓主只要保持這種追求真理、追求本質的心，我覺得你所擔心的這些問題，都會隨著你學習的深入慢慢自己體會，得出結論。

題外話：我在進入大學，學習IT技術時，也有過類似的迷茫，所以我轉行做了金融。進入金融以後，又有一樣的感覺。那時候，我才發現，這不是哪個職業的問題，是我自己的問題，必須要忍受住這些焦慮和寂寞，才可以在一個領域紮根、深耕。而我一開始的學習金融行業的選擇，也是看很多行業大牛的各種著作，有些入門的書籍真的很有幫助，有些則是高度太高，完全理解不了。隨著，自己慢慢學習和理解，你會發現，很多之前要去諮詢別人的疑惑，慢慢都會有自己成熟的意見和想法。

最後，還是恭喜樓主將要進入大學校園！路漫漫其修遠兮，汝將上下而求索~從容可能會比焦慮讓你更加優雅的來適應新的學習和生活:) 目前，你最重要的應該是調整心態，而不是發愁你問的這些問題。

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補充一點，很多東西都是要先「熟」，才能生「巧」。慢慢這些公式爛熟於心，你也就會慢慢理解它的用法。

就說說最後一個問題吧，E.Landau有一本《分析基礎》，大概是講如何從Peano公理出發建立自然數的算術，然後建立有理數、實數、複數的，可以在這個暑假或者大一的時候看看，可能對你有幫助。
Hilbert還有一本《幾何基礎》，第一部分大概就介紹了歐氏幾何的公理體系，而且如何用它們推導出我們熟悉的幾何和分析中的結論。可能也會對你有幫助。
如果還有時間可以看一些數理邏輯的書，了解一點命題邏輯或許也會加深一些對數學基礎的理解。
不過需要小心的是一開始就看太抽象的東西（比如第一本書）不一定能夠完全理解，甚至可能曲解作者的意圖。總之不要太執著於這些關於數學基礎的問題，大一踏踏實實地學一點思維習慣和技術性的東西，有些現在很困擾你的問題或許到以後學深了就會明白了。

我感覺數學裡面公式很多是因為數學的分支學科多,從而各種工具很多:比如de Rham上同調和singular上同調就是以不同的對象作為研究工具.數學依賴於公式來表達是在尋求一種相較於文字的簡單美,至於計算過程複雜導致公式很多很長則又歸結於方法的問題(比如Landau證明Liouville就很簡潔,但一般複分析書上又不會用這個方法).

數學還追求恰到好處地抽象許多同質對象形成新的概念,以此建立更高觀點的數學.而這勢必會有各種工具的引進.

數學變換更多的時候是在尋找不變數或者建立不同量之間的明確關係.

公理是不是有限的不知道，但是定理肯定是無窮多個的（看人類能想得出什麼來了）。定理就是公理+定義的組合，在某些公理和給定的定義之下，得出一個什麼樣的結論（定理），這個結論能有多深，這是數學要研究的東西。

你會發現其實每個定理基本都有一個大前提（定義，或者說是環境），比如當我定義了自然數和自然數加法（這個定義其實很有趣，我們是mathematical method這門課上學的，不知道你以後會在什麼課上了解到），那麼除了0加任何數等於任何數本身是定義以外，任何兩個正整數相加之和都可以看作是一個定理。

所以你該明白了吧，定理的數量是無窮多的。

只是我們一般只挑選一些「看上去有趣」的定理列在文獻中罷了。

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另外題主說做題目基本靠直覺，其實這就涉及到人是怎麼思考的了，我傾向於說人是從已知的經驗和知識當中抽取組合然後逐個判斷這個組合是否能解決這個問題，如果不能，那就想下一種組合，如果能，那就拿出來解決問題。。所以說為什麼智商高的人腦容量大，因為腦容量大所以大腦思維速度快（參考內存之於電腦），所以他枚舉的速度快，所以他會比一般人更快地想到解法。

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再補充一點吧，我本科學的是數學，現在在學計算機科學，關於資訊理論這個說法，其實我覺得樓主根本不懂資訊理論到底講的是什麼。資訊理論其實它的數學模型就是一一映射，如果你用一種工具去記錄信息，每一條信息都必須對應一個記錄它的獨一無二的形象，才可以由這個形象去反推他所記錄的信息。
比如我定義0對應否，1對應是，那麼無論是你看到的描述是「是否」還是看到記錄的圖樣是「01」，你都可以推斷出他們分別對應什麼。但是如果你在大街上遇到一條狗，然後今天回去寫了個日記說，我在大街上碰到狗了。那麼這樣描述就有問題了，你在哪條大街上，碰到了什麼狗。所以雖然你可以根據信息（你在大街上碰到狗這件事）用文字去記錄，但是你不能由你的文字去反推出今天這件事的全貌，你只能確定說你今天在「某一條」大街上碰到了「某隻狗」。

資訊理論的量化一般研究的其實就是確切描述一類信息需要多少比特去記錄它，一般來說用的比特越多記錄地就越詳細（但也不盡然，你可以優化你的映射演算法以使得記錄用到的比特數減少，這也就是你平時把一個文件壓縮成rar包的時候電腦在做的事，如果用現實世界的東西打個比方的話，把繁體字簡化成簡化字就是一種信息壓縮。但這個減少量是有極限的）。

本質是因為數學是一種人造科學。

很多人以為數學是「自然科學」，即是客觀獨立存在的，其實不是的，數學是「人造科學」，是基於邏輯演繹的。這種本質決定了由少數公理推出了那麼多的公式。

其它不太清楚，單說說定理數量
一類問題有一類研究對象，這一類研究對象可以組合出的特徵數量，就是可能被定義的東西的數量。
比如平面幾何，研究二維空間中點線關係，能組合成無窮種東西，比如你定義一個特殊的七十七邊形，你總能找到它的某個特點，然後命名為張三定理，所以只要你心情好，能創造無窮定理。

如果研究的對象是1，2，3之間的加法關係，1+3什麼的超出討論範圍，則定理只有1+1=2，1+2=3。

資訊理論給不了幫助，看我一臉無賴的樣子